Элементы абстрактной и компьютерной алгебры. Учебное пособие
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§3. НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ
ɋɜɨɣɫɬɜɚ ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɝɨ ɨɛɳɟɝɨ ɞɟɥɢɬɟɥɹ ɰɟɥɵɯ ɱɢɫɟɥ
ɉɟɪɟɱɢɫɥɢɦ ɫɜɨɣɫɬɜɚ ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɝɨ ɨɛɳɟɝɨ ɞɟɥɢɬɟɥɹ ɂɯ ɞɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɨ ɪɟɤɨ
ɦɟɧɞɭɟɦ ɩɪɨɞɟɥɚɬɶ ɫɚɦɨɫɬɨɹɬɟɥɶɧɨ
ʜʝʓ ǡ ɟɫɥɢ
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ʜʝʓ ǡ ʜʝʓ ǡ
ʜʝʓ ǡ ή ʜʝʓ ǡɟɫɥɢ
ȿɫɥɢʜʝʓ ǡ ɬɨʜʝʓ ǡ ʜʝʓ ǡ
ȿɫɥɢ ɬɨʜʝʓ ǡ ʜʝʓ ǡ
ʜʝʓ ǡ ʜʝʓ ǡ
ɋɜɨɣɫɬɜɨ ɜɵɬɟɤɚɟɬ ɢɡ ɫɜɨɣɫɬɜɚ ɩɨɫɤɨɥɶɤɭ ή
ɂɡ ɞɚɧɧɵɯ ɫɜɨɣɫɬɜ ɜɵɬɟɤɚɟɬ ɱɬɨʜʝʓ ǡɧɟ ɡɚɜɢɫɢɬ ɧɢ ɨɬ ɩɨɪɹɞɤɚ ɫɥɟɞɨɜɚ
ɧɢɹ ɱɢɫɟɥ ɢ ɧɢ ɨɬ ɢɯ ɡɧɚɤɨɜ
ɉɨɷɬɨɦɭ ɛɟɡ ɩɨɬɟɪɢ ɨɛɳɧɨɫɬɢ ɦɵ ɦɨɠɟɦ ɫɱɢɬɚɬɶ ɱɬɨ ɱɢɫɥɚ ɢ ± ɧɚɬɭɪɚɥɶ
ɧɵɟ ɢ ɚ ɜ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɬɟɥɹʜʝʓ ǡɛɭɞɟɦ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɬɶ ɬɨɥɶɤɨ
ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɨɟ ɱɢɫɥɨ
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А.В.Царев,Г.В.Шеина. ЭЛЕМЕНТЫ АБСТРАКТНОЙ И КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ
Ⱥɥɝɨɪɢɬɦɵ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɇɈȾ ɞɥɹ ɰɟɥɵɯ ɱɢɫɟɥ
Ɇɵ ɪɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɫɥɟɞɭɸɳɢɟ ɱɟɬɵɪɟ ɚɥɝɨɪɢɬɦɚ
АлгоритмЕвклида
Ⱥɥɝɨɪɢɬɦ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɝɨ ɞɟɥɟɧɢɹ ɫ ɨɫɬɚɬɤɨɦ
ɉɭɫɬɶ ɱɢɫɥɚ ɢ ± ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɟ ɢɥɢ Ɋɚɡɞɟɥɢɦ ɫɧɚɱɚɥɚ ɱɢɫɥɨ ɧɚ ɱɢɫɥɨ ɫ ɨɫɬɚɬɤɨɦ ɡɚɬɟɦ ɪɚɡɞɟɥɢɦ ɧɚ ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɣ ɨɫɬɚɬɨɤ ɞɚɥɟɟ ɩɪɨɞɨɥ ɠɚɟɦ ɞɟɥɟɧɢɹ ɫɨɝɥɚɫɧɨ ɫɯɟɦɟ
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ɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɧɟɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥ ڮ
ɑɟɪɟɡ ɤɨɧɟɱɧɨɟ ɱɢɫɥɨ ɲɚɝɨɜ ɩɨɥɭɱɢɦ ɧɭɥɟɜɨɣ ɨɫɬɚɬɨɤ
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ɉɪɢɦɟɧɢɦ ɫɜɨɣɫɬɜɨ ɢ ɩɨɥɭɱɢɦ ɫɢɫɬɟɦɭ ɪɚɜɟɧɫɬɜ
ʜʝʓ ǡ ʜʝʓ ǡ ʜʝʓ ǡ ʜʝʓ ǡ ڮ
ʜʝʓ ǡ ʜʝʓ ǡ
Ɂɚɦɟɱɚɧɢɟɑɚɫɬɧɵɦ ɫɥɭɱɚɟɦ ɚɥɝɨɪɢɬɦɚ ȿɜɤɥɢɞɚ ɞɥɹ ɇɈȾ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɚɥɝɨɪɢɬɦ
ɜɵɩɨɥɧɹɸɳɢɣ ɜɦɟɫɬɨ ɞɟɥɟɧɢɹ ɫ ɨɫɬɚɬɤɨɦ ɜɵɱɢɬɚɧɢɟ ɗɬɨɬ ɚɥɝɨɪɢɬɦ ɪɚɛɨɬɚɟɬ
ɬɚɤ ɠɟ ɤɚɤ ɚɥɝɨɪɢɬɦ ȿɜɤɥɢɞɚ ɧɨ ɧɚ ɤɚɠɞɨɦ ɲɚɝɟ ɜɦɟɫɬɨ ɞɟɥɟɧɢɹ ɫ ɨɫɬɚɬɤɨɦ
ɜɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ ɜɵɱɢɬɚɧɢɟ Ⱦɥɹ ɫɨɫɟɞɧɢɯ ɱɢɫɟɥ Ɏɢɛɨɧɚɱɱɢ ɷɬɢ ɚɥɝɨɪɢɬɦɵ ɞɟɣ
ɫɬɜɭɸɬ ɨɞɢɧɚɤɨɜɨ
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§3. НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ
ɉɪɢɦɟɪȼɵɱɢɫɥɢɦ ɧɚɢɛɨɥɶɲɢɣ ɨɛɳɢɣ ɞɟɥɢɬɟɥɶ ɱɢɫɟɥ ɢͺͻ
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Ɏɢɛɨɧɚɱɱɢ ɫɥɭɱɚɣ ɫɚɦɨɝɨ ɧɟɷɮɮɟɤɬɢɜɧɨɝɨ ɞɟɣɫɬɜɢɹ ɚɥɝɨɪɢɬɦɚ ȿɜɤɥɢɞɚ
Ɋɚɫɲɢɪɟɧɧɵɣ ɚɥɝɨɪɢɬɦ ȿɜɤɥɢɞɚ
ɋ ɡɚɞɚɱɟɣ ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɹ ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɝɨ ɨɛɳɟɝɨ ɞɟɥɢɬɟɥɹ ɬɟɫɧɨ ɫɜɹɡɚɧɨ ɫɥɟɞɭɸɳɟɟ
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Ⱥɥɝɨɪɢɬɦ ȿɜɤɥɢɞɚ ɩɨɡɜɨɥɹɟɬ ɜɫɟɝɞɚ ɧɚɣɬɢݑɢݒ
ɋɧɚɱɚɥɚ ɪɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɫɚɦ ɚɥɝɨɪɢɬɦ ȿɜɤɥɢɞɚȾɥɹ ɭɞɨɛɫɬɜɚ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɣ ɢɡɦɟ
ɧɢɦ ɧɭɦɟɪɚɰɢɸ ɱɚɫɬɧɵɯ ɢ ɨɫɬɚɬɤɨɜ
ɑɢɫɥɚݑɢݒɛɭɞɟɦ ɧɚɯɨɞɢɬɶ ɫɩɭɫɤɚɹɫɶ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ ɩɨ ɚɥɝɨɪɢɬɦɭ ȿɜɤɥɢɞɚ
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ɂɡ ɩɟɪɜɨɝɨ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ ɢɦɟɟɦ Ɂɚɬɟɦ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ ɜɵɪɚɠɚɟɦ
ɨɫɬɚɬɤɢ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ
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ɜ ɜɢɞɟݑ ݒ
ȼɵɜɟɞɟɦ ɮɨɪɦɭɥɵ ɫɜɹɡɵɜɚɸɳɢɟ ɦɟɠɞɭ ɫɨɛɨɣݑ ɂɦɟɟɦ
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ݑ ݑ ή ݑ
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Ɍɟɩɟɪɶ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɦɨɠɧɨ ɨɫɭɳɟɫɬɜɥɹɬɶ ɩɨ ɫɯɟɦɟ ɧɟɦɧɨɝɨ ɧɚɩɨɦɢɧɚɸɳɟɣ
ɫɯɟɦɭ Ƚɨɪɧɟɪɚ
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ɇɚɱɢɧɚɟɦ ɫ ɤɥɟɬɤɢ ɝɞɟ ɡɚɩɢɫɚɧɨȂ ɭɦɧɨɠɚɟɦ ɟɝɨ ɧɚݒ ɢ ɞɨɛɚɜɥɹɟɦ ɤ ɫɨ
ɞɟɪɠɢɦɨɦɭ ɤɥɟɬɤɢ ɝɞɟ ɡɚɩɢɫɚɧɨݒ Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɣ ɡɚɩɢɫɵɜɚɟɦ ɤɚɤ
ݒ
Ⱦɥɹ ɟɞɢɧɨɨɛɪɚɡɢɹ ɫɱɟɬɚ ɱɬɨɛɵ ɮɨɪɦɭɥɭݑ ݑ ή ݑ ɦɨɠɧɨ ɛɵɥɨ
ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶ ɢ ɞɥɹ ɮɨɪɦɭɥɭݑ ݑ ɡɚɩɢɲɟɦ ɜ ɜɢɞɟ
ݑ ݑ ή ɚ ɮɨɪɦɭɥɭݒ ݒ ɡɚɩɢɲɟɦ ɜ ɜɢɞɟ
ݒ ݒ ή ȼɜɟɞɟɦ ɧɭɥɟɜɭɸ ɫɬɪɨɤɭ ɬɚɛɥɢɰɵ ɜ ɤɨɬɨɪɭɸ ɡɚɩɢɲɟɦ
ݑ ǡݒ ɉɨɹɫɧɢɦ ɤɚɤ ɜɵɝɥɹɞɢɬ ɬɚɛɥɢɰɚ ɧɚ ɩɪɢɦɟɪɟ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹʜʝʓ ǡʹ Ǥ
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ɜ ɫɬɨɥɛɰɟ Ȃɧɚɱɢɧɚɹ ɫɨ ɫɬɪɨɤɢ ɩɨɹɜɹɬɫɹ ɱɢɫɥɚʹǡ ʹǡ ǡ ͵
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А.В.Царев,Г.В.Шеина. ЭЛЕМЕНТЫ АБСТРАКТНОЙ И КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ
ȼ ɫɬɪɨɤɟ ɫ ɧɨɦɟɪɨɦɡɚɩɢɫɵɜɚɟɦ ɜ ɫɬɨɥɛɟɰݑɱɢɫɥɨݑ ɚ ɜ ɫɬɨɥɛɟɰݒɡɚ
ɩɢɫɵɜɚɟɦݒ ɷɬɢ ɱɢɫɥɚ ɛɭɞɭɬ ɨɞɢɧɚɤɨɜɵ ɜɨ ɜɫɟɯ ɬɚɛɥɢɰɚɯ ɞɥɹ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ
ݑɢݒɜ ɪɚɫɲɢɪɟɧɧɨɦ ɚɥɝɨɪɢɬɦɟ ȿɜɤɥɢɞɚ
ȼ ɫɬɪɨɤɭ ɧɨɦɟɪɡɚɩɢɫɵɜɚɟɦݑ ݒ ʹȾɚɥɟɟ ɜɵɱɢɫɥɹɟɦ ɱɢɫɥɚ
ɩɨ ɫɯɟɦɟ ɩɪɢɜɟɞɟɧɧɨɣ ɧɚ ɪɢɫɭɧɤɟ ɜɵɲɟ
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Ȼɢɧɚɪɧɵɣ ɚɥɝɨɪɢɬɦ
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɞɜɚ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɯ ɱɢɫɥɚ ɢ ȼɵɞɟɥɢɦ ɜ ɢɯ ɪɚɡɥɨɠɟɧɢɢ ɧɚ ɩɪɨ
ɫɬɵɟ ɫɨɦɧɨɠɢɬɟɥɢ ɫɬɟɩɟɧɶ ɩɪɨɫɬɨɝɨ ɱɢɫɥɚʹɨɬɫɸɞɚ ɢ ɛɢɧɚɪɧɵɣ ɜ ɧɚɡɜɚɧɢɢ
ɚɥɝɨɪɢɬɦɚ ɬɨ ɟɫɬɶ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɦ ɢɯ ɜ ɜɢɞɟ ʹ ʹ ɝɞɟ ɱɢɫɥɚ ɢ
± ɧɟɱɟɬɧɵɟ ɉɭɫɬɶ ǡݐɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɫɜɨɣɫɬɜɨ ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɝɨ ɨɛɳɟɝɨ ɞɟɥɢɬɟɥɹ ɦɨɠɟɦ ɡɚɩɢɫɚɬɶʜʝʓ ǡ ʹ ʜʝʓ ǡ
ɉɭɫɬɶ ɞɥɹ ɭɞɨɛɫɬɜɚ ! Ɍɨɝɞɚʜʝʓ ǡ ʜʝʓ ǡ
˚ˈ˕ːˑˈ
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§3. НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ
ɉɪɟɞɫɬɚɜɢɦ ɪɚɡɧɨɫɬɶ ɜ ɜɢɞɟ ʹ ɉɨ ɫɜɨɣɫɬɜɭ ɦɨɠɟɦ ɡɚɩɢɫɚɬɶ
ʜʝʓ ǡ ʜʝʓ ʹ ǡ ʜʝʓ ǡ Ǥ
ɉɨɫɬɭɩɚɹ ɞɚɥɶɲɟ ɚɧɚɥɨɝɢɱɧɵɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɧɚ ɤɚɠɞɨɦ ɲɚɝɟ ɛɭɞɟɦ ɩɨɥɭɱɚɬɶ ɩɚɪɭ
ɧɟɱɟɬɧɵɯ ɱɢɫɟɥ ɨɞɧɨ ɢɡ ɤɨɬɨɪɵɯ ɫɨɜɩɚɞɚɟɬ ɫ ɩɪɟɞɵɞɭɳɢɦ ɚ ɞɪɭɝɨɟ ɦɟɧɶɲɟ
ɟɝɨ ȼɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɩɪɨɞɨɥɠɚɸɬ ɞɨ ɬɟɯ ɩɨɪ ɩɨɤɚ ɱɢɫɥɚ ɧɟ ɫɪɚɜɧɹɸɬɫɹ ɢ ɬɨɝɞɚ
ʜʝʓ ǡ ȼ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɩɨɥɭɱɢɦʜʝʓ ǡ ʹ
ɉɨ ɷɮɮɟɤɬɢɜɧɨɫɬɢ ɞɚɧɧɵɣ ɚɥɝɨɪɢɬɦ ɧɟ ɯɭɠɟ ɚɥɝɨɪɢɬɦɚ ȿɜɤɥɢɞɚ Ɉɞɧɚɤɨ ɛɢ
ɧɚɪɧɵɣ ɚɥɝɨɪɢɬɦ ɢɦɟɟɬ ɬɨ ɩɪɟɢɦɭɳɟɫɬɜɨ ɱɬɨ ɩɪɢ ɟɝɨ ɪɟɚɥɢɡɚɰɢɢ ɢɫɩɨɥɶɡɭ
ɸɬɫɹ ɬɨɥɶɤɨ ɭɦɧɨɠɟɧɢɟ ɢ ɞɟɥɟɧɢɟ ɧɚ ɱɢɫɥɚʹ ɚ ɜ ɞɜɨɢɱɧɨɣ ɫɢɫɬɟɦɟ ɭɦɧɨɠɟ
ɧɢɟ ɧɚ ± ɷɬɨ ɩɪɢɩɢɫɵɜɚɧɢɟ ɧɭɥɹ ɫɩɪɚɜɚ ɚ ɞɟɥɟɧɢɟ ɧɚʹ ± ɭɞɚɥɟɧɢɟ ɧɭɥɟɣ
ɉɪɢɦɟɪɉɭɫɬɶ ɢ ͺͻɌɨɝɞɚ ʹ ή ͻ
ʜʝʓ ǡͺͻ ʜʝʓ ʹ ήͻǡͺͻ ʜʝʓ ͻǡͺͻ ʜʝʓ ͻǡͺ ʜʝʓ ͻǡ
ʜʝʓ ǡ ʜʝʓ ǡ
ɉɪɢɦɚɪɧɵɣ ɚɥɝɨɪɢɬɦ
ɇɚɡɜɚɧɢɟ ɚɥɝɨɪɢɬɦɚ ɫɜɹɡɚɧɨ ɫ ɪɚɡɥɨɠɟɧɢɟɦ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥ ɜ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɢ
ɫ ɨɫɧɨɜɧɨɣ ɬɟɨɪɟɦɨɣ ɚɪɢɮɦɟɬɢɤɢ ɧɚ ɩɪɨɫɬɵɟ ɩɪɢɦɚɪɧɵɟ ɫɨɦɧɨɠɢɬɟɥɢ
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɞɜɚ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɯ ɱɢɫɥɚ ɢ Ɋɚɡɥɨɠɢɦ ɢɯ ɧɚ ɩɪɨɫɬɵɟ ɫɨɦɧɨɠɢ
ɬɟɥɢ ή ǥή ή ǥή ǡ א ɗɬɨ ɪɚɡɥɨ
ɠɟɧɢɟ ɧɟ ɤɚɧɨɧɢɱɟɫɤɨɟ ɩɨɫɤɨɥɶɤɭ ɩɨɤɚɡɚɬɟɥɢ ɫɬɟɩɟɧɟɣ ɦɨɝɭɬ ɛɵɬɶ ɧɭɥɟɜɵɦɢ
ȼ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟʜʝʓ ǡ ǡ ǡ ήǥή ǡ
ɋɥɨɠɧɨɫɬɶ ɞɚɧɧɨɝɨ ɚɥɝɨɪɢɬɦɚ ɫɨɫɬɨɢɬ ɜ ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɢ ɪɚɡɥɨɠɟɧɢɹ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɨɝɨ
ɱɢɫɥɚ ɜ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟ ɫɬɟɩɟɧɟɣ ɩɪɨɫɬɵɯ ɱɢɫɟɥ
Ⱦɥɹ ɬɨɝɨ ɱɬɨɛɵ ɷɬɨ ɪɚɡɥɨɠɟɧɢɟ ɩɨɥɭɱɢɬɶ ɫɧɚɱɚɥɚ ɧɚɯɨɞɢɦ ɜɫɟ ɩɪɨɫɬɵɟ ɱɢɫɥɚ
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А.В.Царев,Г.В.Шеина. ЭЛЕМЕНТЫ АБСТРАКТНОЙ И КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ
ɨɬ ɞɨ ξ Ⱦɥɹ ɤɚɠɞɨɝɨ ɩɪɨɫɬɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɬɚɤɨɝɨ ɱɬɨʹ ɧɚɯɨɞɢɦ
ɪɚɡɥɨɠɟɧɢɟ ɝɞɟ ɱɢɫɥɚ ɢ ɜɡɚɢɦɧɨ ɩɪɨɫɬɵ ɢɫɩɨɥɶɡɭɹ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚ
ɬɟɥɶɧɨ ɥɢɛɨ ɞɟɥɟɧɢɟ ɧɚ ɥɢɛɨ ɞɟɥɟɧɢɟ ɧɚ ɫ ɨɫɬɚɬɤɨɦ ȼ ɢɬɨɝɟ ɩɨɥɭɱɚɟɦ ɢɫ
ɤɨɦɨɟ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɟ
ɉɪɢɦɟɪ ʹ ή ͻ ͺͻ
ʹ ή ͻ ʹ ή ͵ Ⱦɥɹ ɱɢɫɥɚͺͻɩɪɨɜɟɪɹɟɦ ɬɨɥɶɤɨ ɩɪɨɫɬɵɟ ɱɢɫɥɚʹǡ͵ǡ ǡ Ǥ
ɉɨɥɭɱɚɟɦ ɱɬɨ ɱɢɫɥɨͺͻ± ɩɪɨɫɬɨɟ ɉɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɟ ή ǥή
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ʹ ή ͵ ήͺͻ ʹ ή ͵ ή ͺͻ
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ɂɧɞɢɜɢɞɭɚɥɶɧɵɟ ɡɚɞɚɧɢɹ
ɋ ɩɨɦɨɳɶɸ ɚɥɝɨɪɢɬɦɚ ȿɜɤɥɢɞɚ ɪɚɫɲɢɪɟɧɧɨɝɨ ɚɥɝɨɪɢɬɦɚ ȿɜɤɥɢɞɚ ɛɢɧɚɪɧɨɝɨ ɢ
ɩɪɢɦɚɪɧɨɝɨ ɚɥɝɨɪɢɬɦɨɜ ɧɚɣɞɢɬɟ ɧɚɢɛɨɥɶɲɢɣ ɨɛɳɢɣ ɞɟɥɢɬɟɥɶ ɱɢɫɟɥ ɢ ȼɵ
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§3. НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ
ɇɚɢɛɨɥɶɲɢɣ ɨɛɳɢɣ ɞɟɥɢɬɟɥɶ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ
Ɂɚɞɚɱɚ ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɹ ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɝɨ ɨɛɳɟɝɨ ɞɟɥɢɬɟɥɹ ɚɤɬɭɚɥɶɧɚ ɧɟ ɬɨɥɶɤɨ ɞɥɹ
ɤɨɥɶɰɚ ɰɟɥɵɯ ɱɢɫɟɥ ɧɨ ɢ ɞɥɹ ɤɨɥɶɰɚ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ
ɂɡ ɤɭɪɫɚ ɚɥɝɟɛɪɵ ɢɡɜɟɫɬɧɨ ɱɬɨ ɜ ɤɨɥɶɰɟ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ ɧɚɞ ɩɨɥɟɦ ɦɨɠɧɨ ɩɪɨɢɡ
ɜɨɞɢɬɶ ɞɟɥɟɧɢɟ ɫ ɨɫɬɚɬɤɨɦ Ɉɬɫɸɞɚ ɫɥɟɞɭɟɬ ɱɬɨ ɟɫɥɢ ɩɨɥɟɦ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɩɨɥɟ ɪɚ
ɰɢɨɧɚɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥ ɢɥɢ ɤɨɧɟɱɧɨɟ ɩɨɥɟ ɬɨ ɜɨɡɦɨɠɧɨ ɪɟɚɥɢɡɨɜɚɬɶ ɚɥɝɨɪɢɬɦ ȿɜ
ɤɥɢɞɚ ɞɥɹ ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɹʜʝʓɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ ɜ ɬɨɦ ɱɢɫɥɟ ɢ ɟɝɨ ɪɚɫɲɢɪɟɧɧɭɸ ɜɟɪ ɫɢɸ Ⱦɥɹ ɛɢɧɚɪɧɨɝɨ ɚɥɝɨɪɢɬɦɚ ɚɧɚɥɨɝɚ ɜ ɤɨɥɶɰɟ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ ɧɟɬ
ɉɪɢɦɚɪɧɵɣ ɚɥɝɨɪɢɬɦ ɪɚɛɨɬɚɟɬ ɞɥɹ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ ɧɨ ɞɥɹ ɟɝɨ ɪɟɚɥɢɡɚɰɢɢ ɧɟɨɛɯɨ ɞɢɦɨɭɦɟɬɶɪɚɫɤɥɚɞɵɜɚɬɶɦɧɨɝɨɱɥɟɧɧɚɧɟɩɪɢɜɨɞɢɦɵɟɦɧɨɠɢɬɟɥɢȼ ɫɥɭɱɚɟ ɩɨɥɹ ɷɬɚ ɡɚɞɚɱɚ ɝɨɪɚɡɞɨ ɫɥɨɠɧɟɟ ɫɚɦɨɣ ɡɚɞɚɱɢ ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɹʜʝʓȿɝɨ ɦɨɠɧɨ
ɨɫɭɳɟɫɬɜɢɬɶ ɞɥɹ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ ɧɚɞ ɩɨɥɟɦ Ⱦɥɹ ɤɨɥɶɰɚݔɚɥɝɨɪɢɬɦ ɪɚɡɥɨɠɟ
ɧɢɹ ɧɚ ɧɟɩɪɢɜɨɞɢɦɵɟ ɦɧɨɠɢɬɟɥɢ ɪɟɚɥɶɧɨ ɨɫɭɳɟɫɬɜɢɦ ɜ ɨɫɧɨɜɧɨɦ ɞɥɹ ɦɧɨɝɨɱɥɟ ɧɨɜ ɫɬɟɩɟɧɢ ɧɟ ɜɵɲɟ ɱɟɬɵɪɟɯ
ɑɚɫɬɧɵɣ ɫɥɭɱɚɣ ɚɥɝɨɪɢɬɦɚ ȿɜɤɥɢɞɚ ɫ ɜɵɱɢɬɚɧɢɟɦ ɜɦɟɫɬɨ ɞɟɥɟɧɢɹ ɫ ɨɫɬɚɬɤɨɦ ɬɚɤɠɟ ɩɥɨɯ ɩɨɫɤɨɥɶɤɭ ɩɪɢ ɜɵɱɢɬɚɧɢɢ ɫɬɟɩɟɧɶ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ ɧɟ ɨɛɹɡɚɬɟɥɶɧɨ ɭɦɟɧɶɲɚɟɬɫɹ
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɜ ɫɥɭɱɚɟ ɤɨɥɶɰɚݔɢɫɩɨɥɶɡɭɟɬɫɹ ɬɨɥɶɤɨ ɚɥɝɨɪɢɬɦ ȿɜɤɥɢɞɚ ɢ ɧɟɤɨɬɨɪɵɟ ɟɝɨ ɦɨɞɢɮɢɤɚɰɢɢ ɩɨɜɵɲɚɸɳɢɟ ɷɮɮɟɤɬɢɜɧɨɫɬɶ ɷɬɨɝɨ ɚɥɝɨɪɢɬɦɚ
ɗɮɮɟɤɬɢɜɧɨɫɬɶ ɚɥɝɨɪɢɬɦɚ ȿɜɤɥɢɞɚ ɜ ɫɥɭɱɚɟ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ ɧɢɠɟ ɩɨɫɤɨɥɶɤɭ ɢɫ
ɩɨɥɶɡɭɸɬɫɹ ɪɚɰɢɨɧɚɥɶɧɵɟ ɱɢɫɥɚ ɜɦɟɫɬɨ ɰɟɥɵɯ ɋɥɚɛɵɦ ɦɟɫɬɨɦ ɚɥɝɨɪɢɬɦɚ ȿɜ
ɤɥɢɞɚ ɞɥɹ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɬɨ ɱɬɨ ɦɨɝɭɬ ɩɨɹɜɥɹɬɶɫɹ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɵ ɫ ɛɨɥɶ
ɲɢɦɢ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚɦɢ ɤɨɬɨɪɵɟ ɤ ɬɨɦɭ ɠɟ ɧɭɠɧɨ ɫɨɤɪɚɳɚɬɶ ɚ ɞɥɹ ɷɬɨɝɨ ɧɭɠɧɨ
ɜɵɱɢɫɥɹɬɶʜʝʓɱɢɫɥɢɬɟɥɹ ɢ ɡɧɚɦɟɧɚɬɟɥɹ ɍɥɭɱɲɟɧɢɟ ɞɨɫɬɢɝɚɟɬɫɹ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ
ɪɟɞɭɤɰɢɢ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ ɟɫɥɢ ɪɟɱɶ ɢɞɟɬ ɨ ɤɨɥɶɰɟݔ
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А.В.Царев,Г.В.Шеина. ЭЛЕМЕНТЫ АБСТРАКТНОЙ И КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ
Ɉɬɞɟɥɶɧɵɣ ɢɧɬɟɪɟɫ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɬ ɡɚɞɚɱɚ ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɹ ʜʝʓ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ ɢɡ
ɤɨɥɶɰɚݔɌɪɭɞɧɨɫɬɶ ɨɞɧɚɤɨ ɢɦɟɟɬɫɹ ɢ ɡɞɟɫɶ Ɉɧɚ ɫɨɫɬɨɢɬ ɜ ɬɨɦ ɱɬɨ ɜ ɤɨɥɶɰɟ
ݔɧɟ ɜɫɟɝɞɚ ɜɵɩɨɥɧɢɦɨ ɞɟɥɟɧɢɟ ɫ ɨɫɬɚɬɤɨɦ Ɍɟɦ ɧɟ ɦɟɧɟɟ ɜ ɤɨɥɶɰɟݔɜɨɡ
ɦɨɠɧɨ ɪɚɡɥɨɠɟɧɢɟ ɜ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟ ɧɟɩɪɢɜɨɞɢɦɵɯ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ
ɜ ɤɨɥɶɰɟݔɦɨɠɧɨ ɧɚɯɨɞɢɬɶʜʝʓɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ
Ⱦɥɹ ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɹʜʝʓɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ ɜ ɤɨɥɶɰɟݔɦɨɠɧɨ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶ ɚɥɝɨɪɢɬɦ ȿɜɤɥɢɞɚ ɞɥɹ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ ɢɡ ɤɨɥɶɰɚݔȼ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɟʜʝʓɪɟɚ ɥɢɡɭɟɬɫɹ ɩɨ ɫɥɟɞɭɸɳɟɣ ɫɯɟɦɟ
ɉɭɫɬɶǡ א ݔȾɟɥɚɟɦ ɢɯɩɪɢɦɢɬɢɜɧɵɦɢɜɵɧɨɫɹʜʝʓɜɫɟɯ ɤɨɷɮɮɢɰɢ
ɟɧɬɨɜ ɷɬɢɯ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ ɬɨ ɟɫɬɶ ɩɪɢɜɨɞɢɦ ɢɯ ɤ ɜɢɞɭ ɝɞɟ
ɢ ± ɩɪɢɦɢɬɢɜɧɵɟ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɵ ȼɜɟɞɟɦ ɜɟɥɢɱɢɧɭ ʜʝʓ ǡɬɨ
ɟɫɬɶʜʝʓɜɫɟɯ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɜ ɢ ɜ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ
ɉɨ ɚɥɝɨɪɢɬɦɭ ȿɜɤɥɢɞɚ ɧɚɯɨɞɢɦ ʜʝʓ ǡ ɩɪɢɱɟɦ ɜɵɛɢɪɚɟɦ ɢɡ
ɧɚɢɦɟɧɶɲɢɯ ɨɛɳɢɯ ɞɟɥɢɬɟɥɟɣ ɬɨɬ ɤɨɬɨɪɵɣ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɰɟɥɨɱɢɫɥɟɧɧɵɦ ɢ
ɩɪɢɦɢɬɢɜɧɵɦ ɉɨɫɥɟ ɷɬɨɝɨ ɦɨɠɧɨ ɜɵɱɢɫɥɹɬɶ ʜʝʓ ǡ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ
ʜʝʓ ǡ ή
ɉɪɢɜɟɞɟɦ ɩɪɢɦɟɪ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ʜʝʓ ɜ ɤɨɥɶɰɟ ݔ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɚɥɝɨɪɢɬɦɚ
ȿɜɤɥɢɞɚ
ɉɪɢɦɟɪȾɥɹ ɪɚɫɲɢɪɟɧɧɨɝɨ ɚɥɝɨɪɢɬɦɚ ȿɜɤɥɢɞɚ ɞɥɹ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ ɦɨɠɧɨ ɩɨɥɶɡɨ
ɜɚɬɶɫɹ ɬɨɣ ɠɟ ɫɯɟɦɨɣ ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɹ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ ݑ ɢ ݒ ɞɥɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ
ݑ ݒ ʜʝʓ ǡɱɬɨ ɢ ɞɥɹ ɱɢɫɟɥ
ɇɚɩɪɢɦɟɪ ɞɥɹ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ ݔ ݔ ɢ ݔ ݔ ɢɦɟɟɦ
ݔ Ǣ ݔ ݔ ݔݔ Ǣ ݔ ݔݔǢ
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