Элементы абстрактной и компьютерной алгебры. Учебное пособие
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§5. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
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Ɉɬɦɟɬɢɦ ɱɬɨ ɟɫɥɢ ɩɨɪɹɞɨɤ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ ɞɪɭɝɨɣ ɧɚɩɪɢɦɟɪݖ ݔ ݕɢɥɢ
ݖ ݕ ݔɬɨ ɩɨɥɭɱɚɸɬɫɹ ɪɟɞɭɰɢɪɨɜɚɧɧɵɟ ɫɢɫɬɟɦɵ ɞɪɭɝɨɝɨ ɜɢɞɚ
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ɪɟɞɭɤɰɢɣ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɫɢɫɬɟɦɚ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɚɹ ɢɞɟɚɥɭ ݔ ݕǡݔ ݕ Ǥ
Ɉɞɧɚɤɨ ɟɫɥɢ ɢɫɯɨɞɧɚɹ ɫɢɫɬɟɦɚ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɭɠɟ ɪɟɞɭɰɢɪɨɜɚɧɚ ɬɨ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ
ɩɪɢɦɟɧɹɬɶ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɵ Ɍɨɝɞɚ ɢɫɩɨɥɶɡɭɸɬɫɹ ɛɚɡɢɫɵ Ƚɪɺɛɧɟɪɚ ɢ ɚɥɝɨɪɢɬɦ
Ȼɭɯɛɟɪɝɟɪɚ
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А.В.Царев,Г.В.Шеина. ЭЛЕМЕНТЫ АБСТРАКТНОЙ И КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ
Ɂɚɞɚɧɢɹ ɞɥɹ ɫɚɦɨɫɬɨɹɬɟɥɶɧɵɯ ɪɚɛɨɬ
Ɋɟɲɢɬɟ ɫɢɫɬɟɦɵ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɪɟɞɭɤɰɢɢ
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ɛɚɡɢɫɨɜ Ƚɪɺɛɧɟɪɚ ɢ ɚɥɝɨɪɢɬɦɚ Ȼɭɯɛɟɪɝɟɪɚ
ɉɨɧɹɬɢɟ ɛɚɡɢɫɚ Ƚɪɺɛɧɟɪɚ ɛɵɥɨ ɜɜɟɞɟɧɨ ɜ ɝɨɞɭ ɚɜɫɬɪɢɣɫɤɢɦ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɨɦ
Ȼɪɭɧɨ Ȼɭɯɛɟɪɝɟɪɨɦ ɛɵɜɲɢɦ ɫɬɭɞɟɧɬɨɦ Ƚɪɺɛɧɟɪɚ Ȼɭɯɛɟɪɝɟɪ ɩɪɟɞɥɨɠɢɥ ɤɨɧ
ɫɬɪɭɤɬɢɜɧɭɸ ɩɪɨɰɟɞɭɪɭ ɩɨɫɬɪɨɟɧɢɹ ɛɚɡɢɫɚ Ƚɪɺɛɧɟɪɚ ɜ ɜɢɞɟ ɷɮɮɟɤɬɢɜɧɨɝɨ ɤɨɦ
ɩɶɸɬɟɪɧɨɝɨ ɚɥɝɨɪɢɬɦɚ ɜɩɨɫɥɟɞɫɬɜɢɢ ɩɨɥɭɱɢɜɲɟɝɨ ɧɚɡɜɚɧɢɟ ɚɥɝɨɪɢɬɦɚ Ȼɭɯɛɟɪ
ɝɟɪɚ ɉɪɢɜɟɞɟɦ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɵɟ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɢ ɬɟɨɪɟɦɵ
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§5. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
ɈɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟɆɧɨɝɨɱɥɟɧɵ ǡǥǡɧɚɡɨɜɟɦɛɚɡɢɫɨɦ Ƚɪɺɛɧɟɪɚ ɢɞɟɚɥɚǡǥǡ ɟɫɥɢ ɫɬɚɪɲɢɣ ɦɨɧɨɦɥɸɛɨɝɨ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚɢɞɟɚɥɚ ɞɟɥɢɬɫɹ ɧɚ
ɫɬɚɪɲɢɣ ɦɨɧɨɦ ɤɚɤɨɝɨ ɧɢɛɭɞɶ ɢɡ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ ǡǥǡ
ɉɪɢɦɟɪȾɥɹ ɝɥɚɜɧɨɝɨ ɢɞɟɚɥɚ ɩɨɪɨɠɞɚɸɳɢɣ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ɫɨɫɬɚɜ
ɥɹɟɬ ɛɚɡɢɫ Ƚɪɺɛɧɟɪɚ
ɉɪɢɦɟɪȿɫɥɢ ݔ ǡ ݔ ɬɨ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɵ ǡ ɫɨɫɬɚɜɥɹɸɬ ɛɚɡɢɫ Ƚɪɺɛ ɧɟɪɚ ɢɞɟɚɥɚ ݔ ǡݔ Ⱦɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɨ ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɵɣ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ɢɞɟɚɥɚ ± ɷɬɨ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ɨɬɥɢɱɧɵɣ ɨɬ ɤɨɧɫɬɚɧɬɵ ȿɝɨ ɫɬɚɪɲɢɣ ɦɨɧɨɦ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞݔ ݔ ɩɪɢɱɟɦ ɱɢɫɥɚ ɢ ɧɟ ɪɚɜɧɵ ɧɭɥɸ ɨɞɧɨɜɪɟɦɟɧɧɨ ȿɫɥɢ ɬɨݔ ݔ ɞɟɥɢɬɫɹ ɧɚ ɫɬɚɪɲɢɣ ɦɨɧɨɦݔ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ ɟɫɥɢ ɬɨ ɢݔ ݔ ɞɟɥɢɬɫɹ ɧɚ ɫɬɚɪɲɢɣ ɦɨɧɨɦݔ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ
Ɉɬɦɟɬɢɦ ɱɬɨݔ ǡݔ ǡݔ ݔ ± ɬɚɤɠɟ ɛɚɡɢɫ Ƚɪɺɛɧɟɪɚ
ɉɪɢɦɟɪɉɪɢɜɟɞɟɦ ɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɵɣ ɩɪɢɦɟɪ Ⱦɥɹ ɢɞɟɚɥɚ ݔ ǡݔ ɢɦɟɟɬɫɹ
ɞɪɭɝɨɣ ɛɚɡɢɫݔ ݔ ǡݔ ݔ Ɉɞɧɚɤɨ ɨɧ ɧɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɛɚɡɢɫɨɦ Ƚɪɺɛɧɟɪɚ ɩɨ
ɫɤɨɥɶɤɭ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧݔ ɢɦɟɟɬ ɫɬɚɪɲɢɣ ɦɨɧɨɦݔ ɤɨɬɨɪɵɣ ɧɟ ɞɟɥɢɬɫɹ ɧɢ ɧɚ ɫɬɚɪ
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Ɂɚɦɟɱɚɧɢɟȿɫɥɢ ǡǥǡ± ɛɚɡɢɫ Ƚɪɺɛɧɟɪɚ ɢɞɟɚɥɚ ǡǥǡ ɬɨ ɤ ɧɟɦɭ
ɦɨɠɧɨ ɞɨɛɚɜɢɬɶ ɥɸɛɨɣ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ א ɢ ǡǥǡǡɬɚɤɠɟ ɛɭɞɟɬ ɛɚɡɢɫɨɦ Ƚɪɺɛ
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ɪɚɜɟɧ
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А.В.Царев,Г.В.Шеина. ЭЛЕМЕНТЫ АБСТРАКТНОЙ И КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ
ɋɬɚɧɞɚɪɬɧɵɣ ɛɚɡɢɫ Ƚɪɺɛɧɟɪɚ ɜɫɟɝɞɚ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ Ɉɧ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɩɨɫɬɪɨɟɧ ɩɨ
ɚɥɝɨɪɢɬɦɭ Ȼɭɯɛɟɪɝɟɪɚ ɤɨɬɨɪɵɣ ɛɭɞɟɬ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧ ɧɢɠɟ
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ɟɬɫɹ ɥɢ ɫɢɫɬɟɦɚ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɫɨɜɦɟɫɬɧɨɣ ɬɨ ɟɫɬɶ ɢɦɟɟɬ ɥɢ ɨɧɚ ɪɟɲɟɧɢɹ ɚ ɬɚɤɠɟ
ɨɩɪɟɞɟɥɹɬɶ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɥɢ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɪɟɲɟɧɢɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɢɯ ɭɪɚɜɧɟ
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Ɍɟɨɪɟɦɚɋɢɫɬɟɦɚכɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɢɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɧɚɞ ɩɨɥɟɦ ɤɨɦɩɥɟɤɫɧɵɯ ɱɢ
ɫɟɥ ɧɟ ɢɦɟɟɬ ɪɟɲɟɧɢɣ ɬɨɝɞɚ ɢ ɬɨɥɶɤɨ ɬɨɝɞɚ ɤɨɝɞɚ ɛɚɡɢɫ Ƚɪɺɛɧɟɪɚ ɫɨɞɟɪɠɢɬ
ɤɨɧɫɬɚɧɬɭ ɨɬɥɢɱɧɭɸ ɨɬ ɧɭɥɹ
Ɇɨɠɧɨ ɫɮɨɪɦɭɥɢɪɨɜɚɬɶ ɬɚɤɠɟ ɫɥɟɞɭɸɳɭɸ ɬɟɨɪɟɦɭ
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Ⱦɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɨ ɜ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɢɦɟɟɦ ןא ɩɪɢɱɟɦן ɇɨ ɬɨɝɞɚ ɜ ɫɨɨɬ ɜɟɬɫɬɜɭɸɳɟɣ ɫɢɫɬɟɦɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣכɢɦɟɟɬɫɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ֞ן ɨɱɟ
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§5. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
ɋɬɚɪɲɢɣ ɦɨɧɨɦ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ ɟɫɬɶݔ ɉɨ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɸ ɛɚɡɢɫɚ Ƚɪɺɛɧɟɪɚ ɢɦɟɟɬɫɹ ɬɚɤɨɣ ɷɥɟɦɟɧɬ ɜ ɷɬɨɦ ɛɚɡɢɫɟ ɱɬɨ ɫɬɚɪɲɢɣ ɦɨɧɨɦ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ ɞɟɥɢɬ ɫɬɚɪɲɢɣ ɦɨɧɨɦ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ ɉɨɷɬɨɦɭ ɫɬɚɪɲɢɣ ɦɨɧɨɦ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ ɟɫɬɶ
ɫɬɟɩɟɧɶ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣݔ
Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɨ ɞɥɹ ɨɫɬɚɥɶɧɵɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ ݔ ǡǥǡݔ ɧɚɣɞɭɬɫɹ ɷɥɟɦɟɧɬɵ ɛɚɡɢɫɚ
Ƚɪɺɛɧɟɪɚ ɫɬɚɪɲɢɟ ɦɨɧɨɦɵ ɤɨɬɨɪɵɯ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɫɬɟɩɟɧɹɦɢ ɷɬɢɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ
Ⱦɨɫɬɚɬɨɱɧɨɫɬɶɉɭɫɬɶ ǡǥǡ ± ɬɚɤɢɟ ɷɥɟɦɟɧɬɵ ɛɚɡɢɫɚ Ƚɪɺɛɧɟɪɚ ɢɞɟɚɥɚ ǡǥǡ ɱɬɨ ɫɬɚɪɲɢɣ ɦɨɧɨɦ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ ɪɚɜɟɧݔ ǡ ǡǥǡ
ȼ ɫɢɥɭ ɥɟɤɫɢɤɨɝɪɚɮɢɱɟɫɤɨɝɨ ɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɢɹ ɨɞɧɨɱɥɟɧɨɜ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ɧɟ ɫɨɞɟɪ
ɠɢɬ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯݔ ǡǥǡݔ ɬɨ ɟɫɬɶ ɨɧ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ
ݔ ݔ ڮ ݔ
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ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɨɣ ɦɨɠɟɬ ɩɪɢɧɢɦɚɬɶ ɥɢɲɶ ɤɨɧɟɱɧɨɟ ɱɢɫɥɨ ɡɧɚɱɟɧɢɣ
Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɨ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ɡɚɜɢɫɢɬ ɥɢɲɶ ɨɬ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯݔ ɢݔ ɏɨɬɹ ɦɧɨ
ɝɨɱɥɟɧ ɢ ɫɨɞɟɪɠɢɬ ɞɜɟ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɟ ɫɚɦ ɷɬɨɬ ɮɚɤɬ ɟɳɟ ɧɟ ɞɚɟɬ ɝɚɪɚɧɬɢɢ
ɱɬɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɪɟɲɟɧɢɣ ɤɨɧɟɱɧɨ ɇɚɩɪɢɦɟɪ ɞɥɹ ɫɢɫɬɟɦɵ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ
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ɢɦɟɟɬɫɹ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɪɟɲɟɧɢɣ ɜɢɞɚݔ Ǣ Ǥɗɬɨ ɩɪɨɢɫɯɨɞɢɬ ɨɬɬɨɝɨ ɱɬɨ ɜɬɨɪɨɣ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ɫɢɫɬɟɦɵ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ
ݔ ݔ ݔ ݔ ݔ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɦɵɣ ɤɚɤ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ɨɬ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣݔ ɫɬɚɧɨɜɢɬɫɹ ɬɨɠɞɟɫɬɜɟɧɧɨ ɪɚɜɧɵɦ ɧɭɥɸ ɩɪɢݔ ȼ ɧɚɲɟɦ ɫɥɭɱɚɟ ɬɚɤɨɝɨ ɧɟ ɩɪɨɢɫɯɨɞɢɬ Ⱦɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɨ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ
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Ɍɨɬ ɮɚɤɬ ɱɬɨ ɦɨɧɨɦ ݔ ɩɨ ɭɫɥɨɜɢɸ ɬɟɨɪɟɦɵ ɟɫɬɶ ɫɬɚɪ ɲɢɣ ɦɨɧɨɦ ɨɡɧɚɱɚɟɬ ɱɬɨ ɨɫɬɚɥɶɧɵɟ ɫɥɚɝɚɟɦɵɟ ɦɨɝɭɬ ɫɨɞɟɪɠɚɬɶ ɬɨɥɶɤɨ ɫɬɟɩɟɧɢ
ݔ ɩɪɢ
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А.В.Царев,Г.В.Шеина. ЭЛЕМЕНТЫ АБСТРАКТНОЙ И КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ
ɉɨɷɬɨɦɭ ɫɬɚɪɲɢɣ ɦɨɧɨɦ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ ɧɢ ɩɪɢ ɤɚɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɢɹɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ
ݔ ɧɟ ɨɛɪɚɳɚɟɬɫɹ ɜ ɧɨɥɶ Ɇɧɨɝɨɱɥɟɧɵ ɜɨɡɧɢɤɚɸɳɢɟ ɩɪɢ ɩɨɞɫɬɚɧɨɜɤɟ ɡɧɚɱɟɧɢɣ
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ɫɬɜɟɧɧɨ ɧɭɥɸ ɢ ɩɨɷɬɨɦɭ ɢɦɟɸɬ ɥɢɲɶ ɤɨɧɟɱɧɨɟ ɱɢɫɥɨ ɤɨɪɧɟɣ
ɇɨ ɩɟɪɟɦɟɧɧɚɹݔ ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɥɢɲɶ ɤɨɧɟɱɧɨɟ ɱɢɫɥɨ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɢ ɩɨɬɨɦɭ ɡɧɚɱɟɧɢɹ
ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣݔ ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɚɬ ɨɛɴɟɞɢɧɟɧɢɸ ɦɧɨɠɟɫɬɜ ɤɨɪɧɟɣ ɤɨɧɟɱɧɨɝɨ ɱɢɫɥɚ
ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ ɬɨ ɟɫɬɶ ɤɨɧɟɱɧɨɦɭ ɦɧɨɠɟɫɬɜɭ Ɋɚɫɫɭɠɞɚɹ ɚɧɚɥɨɝɢɱɧɨ ɦɵ ɩɨɤɚɡɵ
ɜɚɟɦ ɱɬɨ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɟݔ ǡǥǡݔ ɦɨɝɭɬ ɩɪɢɧɢɦɚɬɶ ɥɢɲɶ ɤɨɧɟɱɧɨɟ ɱɢɫɥɨ ɡɧɚɱɟ
ɧɢɣ Ɍɟɨɪɟɦɚ ɞɨɤɚɡɚɧɚ
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ɲɟɧɢɣ ɞɨɥɠɧɨ ɛɵɬɶ ɧɟ ɦɟɧɶɲɟ ɱɟɦ ɱɢɫɥɨ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵɯ ɜ ɫɢɫɬɟɦɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ
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ݔ ǡǥǡݔ
ɪɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɢɞɟɚɥ ǡǥǡ ɢ ɞɨɫɬɪɨɢɦ ɟɝɨ ɞɨ ɛɚɡɢɫɚ Ƚɪɺɛɧɟɪɚ ɷɬɨɝɨ ɢɞɟɚɥɚ
ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ Ⱦɥɹ ɜɫɹɤɨɣ ɩɚɪɵ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ ǡ ɫɬɪɨɢɦ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ
ǡ ɢ ɪɟɞɭɰɢɪɭɟɦ ɟɝɨ ɩɨɤɚ ɧɟ ɩɨɥɭɱɢɦ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ǡ ɜɩɨɥɧɟ ɪɟɞɭɰɢ
ɪɨɜɚɧɧɵɣ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ ǡǥǡȿɫɥɢ ǡ ɬɨ ɞɨɛɚɜɥɹɟɦ
ɟɝɨ ɜ ɛɚɡɢɫ ǡ
Ⱦɥɹɫɢɫɬɟɦɵɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ ǡǥǡ ɩɨɜɬɨɪɹɟɦɭɤɚɡɚɧɧɭɸɩɪɨɰɟɞɭɪɭɞɨɬɟɯ
ɩɨɪ ɩɨɤɚ ɧɟ ɩɨɥɭɱɢɦ ɛɚɡɢɫ ɫɨɫɬɨɹɳɢɣ ɢɡ ɜɩɨɥɧɟ ɪɟɞɭɰɢɪɨɜɚɧɧɵɯ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ
96
§5. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Ɂɚɦɟɱɚɧɢɟȼɵɲɟ ɦɵ ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɥɢ ɱɬɨ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɟ ɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɵ ɫɥɟɞɭɸ
ɳɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦݔ ݔ ڮ ݔ Ɍɨɝɞɚ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɵɣ ɛɚɡɢɫ Ƚɪɺɛɧɟɪɚ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ
ɢ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɟɧ ɂɧɨɝɞɚ ɭɞɨɛɧɟɟ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɬɶ ɨɛɪɚɬɧɨɟ ɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɢɟ
ݔ ݔ ڮ ݔ Ɍɨɝɞɚ ɜɨɡɧɢɤɧɟɬ ɞɪɭɝɨɣ ɛɚɡɢɫ Ƚɪɺɛɧɟɪɚ
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɫɥɟɞɭɸɳɢɣ ɩɪɢɦɟɪ
ɉɪɢɦɟɪɊɟɲɢɦ ɫɢɫɬɟɦɭ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ
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ɍɩɨɪɹɞɨɱɢɦ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɟ ɬɚɤ ɱɬɨݔ ݔ ǤɌɨɝɞɚ ɫɢɫɬɟɦɭ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ
ʹݔ ݔ ݔ ݔ ɢݔ ݔ ɩɨɞɱɟɪɤɧɭɬɵ ɫɬɚɪɲɢɟ ɦɨɧɨɦɵ ɦɨɠɧɨ ɪɟɞɭɰɢɪɨ
ɜɚɬɶ ɬɨ ɟɫɬɶ ɧɚɣɬɢ ǡ ǣ
ݔݔ ʹݔ ݔ ݔ ݔ ֜ ݔ ݔ ʹݔ ݔ
ݔ ݔ
Ɇɧɨɝɨɱɥɟɧ ɦɨɠɧɨ ɪɟɞɭɰɢɪɨɜɚɬɶ ɞɚɥɶɲɟ
ݔ ݔ |
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ɉɨɥɭɱɚɟɦ ɪɚɜɧɨɫɢɥɶɧɭɸ ɫɢɫɬɟɦɭ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ
ݔ ʹݔ ݔ ݔ
ɂɡ ɷɬɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɜɢɞɧɨ ɱɬɨ ɢɦɟɟɬɫɹ ɤɨɧɟɱɧɨɟ ɱɢɫɥɨ ɪɟɲɟɧɢɣ
97
А.В.Царев,Г.В.Шеина. ЭЛЕМЕНТЫ АБСТРАКТНОЙ И КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ
ɉɟɪɜɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɫɢɫɬɟɦɵ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ ݔ ֞ ݔ
ɂɦɟɟɬɫɹ ɩɹɬɶ ɤɨɦɩɥɟɤɫɧɵɯ ɪɟɲɟɧɢɣ ɞɥɹݔ ɨɞɧɨ ɢɡ ɧɢɯݔ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸ ɳɟɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɫɢɫɬɟɦɵ ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ Ǣ Ɉɫɬɚɥɶɧɵɟ ɱɟɬɵɪɟ ɪɟɲɟ
ɧɢɹ ɢɦɟɸɬ ǡ ɝɞɟ ǡǥǡ ɢ ǡǥǡ ± ɷɬɨ ɨɫɬɚɥɶɧɵɟ ɤɨɦɩɥɟɤɫɧɵɯ ɤɨɪɧɹ
ɢɡ ɟɞɢɧɢɰɵ
Ɇɧɨɝɨɱɥɟɧɵݔ ʹݔ ɢݔ ݔ ɫɨɫɬɚɜɥɹɸɬ ɛɚɡɢɫ Ƚɪɺɛɧɟɪɚ
ɉɪɨɜɟɪɢɦ ɷɬɨ ȼɵɱɢɫɥɢɦ ݔ ʹݔ ǡݔ ݔ ɢ ɡɚɬɟɦ
ɩɨɥɧɨɫɬɶɸ ɪɟɞɭɰɢɪɭɟɦ ɟɝɨ ɱɟɬɵɪɟ ɪɟɞɭɤɰɢɢ
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ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ ɫɨɝɥɚɫɧɨ ɚɥɝɨɪɢɬɦɭ Ȼɭɯɛɟɪɝɟɪɚ ɩɨɥɭɱɟɧ ɛɚɡɢɫ Ƚɪɺɛɧɟɪɚ
Ɂɚɦɟɱɚɧɢɟ Ⱦɥɹ ɞɪɭɝɨɝɨ ɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɢɹ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ ɨɬɜɟɬ ɜɵɝɥɹɞɢɬ ɬɚɤ
ɛɚɡɢɫ Ƚɪɺɛɧɟɪɚ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ
ʹݔ ݔ ǡ ͵ݔ ݔ ݔ
Ɉɞɧɚɤɨ ɩɨɥɭɱɢɬɶ ɷɬɨɬ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɫɥɨɠɧɟɟ
98
§5. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
ɍɩɪɚɠɧɟɧɢɹ
Ɋɟɞɭɰɢɪɭɣɬɟ ɚ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧݔ ݔ ݔ ݔ ݔ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚݔ ݔ ʹݔ ݔ
ɛ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧݔ ݔ ݔ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚݔȾɚɧɵ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɵ ݔ ݔ ݔ ݔ ǡ ݔ ݔ ݔ ݔ ɇɚɣɞɢɬɟ
ɜɩɨɥɧɟ ɪɟɞɭɰɢɪɨɜɚɧɧɵɣ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ɞɥɹ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ ݔ ݔ ݔ ݔ ݔ ɩɨ ɫɢɫɬɟɦɟ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ ǡ
Ɉɬɜɟɬ ݔ
ɇɚɣɞɢɬɟ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ɞɥɹ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ ǡ
ɚ ݔ ݔ ݔ ݔ ݔ ǡ ݔ ݔ ݔ
ɨɬɜɟɬ ݔ ݔ ݔ ݔ ݔ ݔ ɛ ݔ ݔ ݔ ݔ ݔ ǡ ݔ ݔ ʹݔ ݔ Ǣ
ɨɬɜɟɬ ݔ ݔ ݔ ݔ ʹݔ ݔ
ɜ ͵ݔ ݔ ݔ ݔ ǡ ݔ ݔ ݔ ݔ ɝ ݔ ݔ ݔ ݔ ݔ ǡ ݔ ݔ ݔ ݔ ݔ ݔ
Ⱦɨɤɚɠɢɬɟ ɱɬɨ ɞɥɹ ɢɞɟɚɥɚ ǡ ɝɞɟ ݔ ɢ ݔ
ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɵ ǡ ɧɟ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɛɚɡɢɫɨɦ Ƚɪɺɛɧɟɪɚ
ɇɚɣɞɢɬɟ ɛɚɡɢɫ Ƚɪɺɛɧɟɪɚݔ ݔ ɞɥɹ ɢɞɟɚɥɚ ɫɢɫɬɟɦɵ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ
ݔ ݔ ݔ ݔ ݔ
ɇɚɣɞɢɬɟ ɛɚɡɢɫ Ƚɪɺɛɧɟɪɚݔ ݔ ݔ ɞɥɹ ɢɞɟɚɥɚ ǡ ɝɞɟ ɚ ݔ ݔ ʹɢ ݔ ݔ
ɨɬɜɟɬ ݔ ʹݔ Ǣ ݔ ݔ ʹݔ ɛ ݔ ݔ ɢ ݔ ݔ
ɨɬɜɟɬ ݔ ݔ Ǣݔ ݔ
Ⱦɥɹ ɫɢɫɬɟɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɯ ɢɞɟɚɥɚɦ ɭɩɪɚɠɧɟɧɢɣ ɢ ɨɩɪɟ ɞɟɥɢɬɟ ɫɨɜɦɟɫɬɧɨɫɬɶ ɤɨɧɟɱɧɨɫɬɶ ɢɥɢ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨɫɬɶ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɪɟɲɟɧɢɣ
99
Ɉɬɞɟɥɟɧɢɟ ɤɨɪɧɟɣ
ɈɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟɄɨɪɟɧɶ ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɨɝɨ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚݔ א ݔɫɱɢɬɚɟɬɫɹɨɬɞɟ
ɥɟɧɧɵɦɧɚ ɨɬɪɟɡɤɟǡɟɫɥɢ ɧɚ ɷɬɨɦ ɨɬɪɟɡɤɟ ɧɟɬ ɞɪɭɝɢɯ ɟɝɨ ɤɨɪɧɟɣ
ɋɢɫɬɟɦɚ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ ɒɬɭɪɦɚ ɤɨɬɨɪɨɣ ɩɨɫɜɹɳɟɧɵ ɞɚɥɶɧɟɣɲɟɟ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɢɹ
ɩɨɡɜɨɥɹɟɬ ɩɪɨɢɡɜɟɫɬɢ ɨɬɞɟɥɟɧɢɟ ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɵɯ ɤɨɪɧɟɣ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚݔF ɞɟɣ ɫɬɜɢɬɟɥɶɧɵɦɢ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚɦɢ ɬɨ ɟɫɬɶ ɞɥɹ ɤɚɠɞɨɝɨ ɢɡ ɤɨɪɧɟɣ ɭɤɚɡɚɬɶ ɝɪɚɧɢɰɵ ɦɟɠɞɭ ɤɨɬɨɪɵɦɢ ɧɚɯɨɞɢɬɫɹɬɨɥɶɤɨ ɨɞɢɧɷɬɨɬ ɤɨɪɟɧɶ ȿɫɥɢ ɷɬɢ ɝɪɚɧɢɰɵ ɞɨɫɬɚ ɬɨɱɧɨ ɛɥɢɡɤɢ ɬɨ ɥɸɛɨɟ ɱɢɫɥɨ ɦɟɠɞɭ ɧɢɦɢ ɦɨɠɧɨ ɫɱɢɬɚɬɶ ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɵɦ ɡɧɚɱɟ ɧɢɟɦ ɷɬɨɝɨ ɤɨɪɧɹ
Ȼɭɞɭɬ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɵ ɞɜɟ ɡɚɞɚɱɢ
xɧɚɣɬɢ ɨɛɳɟɟ ɱɢɫɥɨ ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɵɯ ɤɨɪɧɟɣ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ
xɧɚɣɬɢ ɱɢɫɥɨ ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɵɯ ɤɨɪɧɟɣ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ ɜ ɩɨɥɭɢɧɬɟɪɜɚɥɟǢ
Ⱦɥɹ ɪɟɲɟɧɢɹ ɷɬɢɯ ɡɚɞɚɱ ɢɫɩɨɥɶɡɭɸɬ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ ɒɬɭɪɦɚ
ɉɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ ɒɬɭɪɦɚ
ɉɭɫɬɶɢɦɟɟɬɫɹɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ɫɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɵɦɢɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚɦɢɆɵɛɭɞɟɦ
ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɬɶ ɱɬɨ ɭ ɧɟɝɨɧɟɬ ɤɪɚɬɧɵɯ ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɵɯɤɨɪɧɟɣ Ɇɨɠɧɨ ɞɨɤɚ
ɡɚɬɶ ɨɛɵɱɧɨ ɷɬɨ ɞɟɥɚɟɬɫɹ ɜ ɨɫɧɨɜɧɨɦ ɤɭɪɫɟ ɚɥɝɟɛɪɵ ɱɬɨ ɜ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɦɧɨɝɨ
ɱɥɟɧ ɢ ɟɝɨ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɚɹ ɧɟ ɢɦɟɸɬ ɨɛɳɢɯ ɤɨɪɧɟɣ ɉɨɫɬɪɨɢɦɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶ
ɧɨɫɬɶ ǡ ǡǥǡ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ ɒɬɭɪɦɚɩɨ ɫɥɟɞɭɸɳɟɦɭ ɚɥɝɨɪɢɬɦɭ
ɞɚɥɟɟ ɤ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚɦ ɢ ɩɪɢɦɟɧɹɟɦ ɚɥɝɨɪɢɬɦ ȿɜɤɥɢɞɚ ɧɨ ɜɫɹɤɢɣ ɪɚɡ ɦɟ
ɧɹɟɦ ɡɧɚɤ ɭ ɨɫɬɚɬɤɚ ɬɨ ɟɫɬɶ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɦ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ɜ ɜɢɞɟ
ɝɞɟ ɟɫɬɶ ɨɫɬɚɬɨɤ ɨɬ ɞɟɥɟɧɢɹ ɧɚ ɡɚɬɟɦ
100