Элементы абстрактной и компьютерной алгебры. Учебное пособие
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§5. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
xא ɟɫɥɢ א ɚ א Ⱦɪɭɝɢɦɢ ɫɥɨɜɚɦɢ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɚɞɞɢɬɢɜɧɨɣ ɩɨɞɝɪɭɩɩɨɣ ɤɨɥɶɰɚ ɢ ɜɵɞɟɪɠɢ ɜɚɟɬ ɭɦɧɨɠɟɧɢɟ ɧɚ ɷɥɟɦɟɧɬɵ ɤɨɥɶɰɚ
ɉɪɢɦɟɪɵ
ȼ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɤɨɥɶɰɚ ɪɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɤɨɥɶɰɨ ɰɟɥɵɯ ɱɢɫɟɥ ɉɨɞɦɧɨɠɟɫɬɜɨʹ
ɰɟɥɵɯ ɱɢɫɟɥ ɚ ɬɚɤɠɟ ɩɨɞɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɱɢɫɟɥ ɤɪɚɬɧɵɯ ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɨɦɭ ɰɟ
ɥɨɦɭ ɱɢɫɥɭ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɢɞɟɚɥɚɦɢ ɜ ɤɨɥɶɰɟ
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɨɟ ɩɨɥɟ Ɂɚɦɟɬɢɦ ɫɧɚɱɚɥɚ ɱɬɨ ɩɨɞɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɫɨ
ɫɬɨɹɳɟɟ ɢɡ ɧɭɥɹ ɢ ɜɫɟ ɩɨɥɟ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɢɞɟɚɥɚɦɢ ȼɩɪɨɱɟɦ ɧɭɥɟɜɨɣ ɷɥɟɦɟɧɬ
ɢ ɜɫɟ ɤɨɥɶɰɨ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɢɞɟɚɥɚɦɢ ɜ ɥɸɛɨɦ ɤɨɥɶɰɟ Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɵɣ
ɢɞɟɚɥ ɩɨɥɹ ȿɫɥɢ ɨɧ ɧɟ ɫɨɞɟɪɠɢɬ ɧɟɧɭɥɟɜɵɯ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɬɨ ɢɞɟɚɥ ɧɭɥɟɜɨɣ
ɉɭɫɬɶ ɜ ɢɞɟɚɥɟ ɢɦɟɟɬɫɹ ɧɟɧɭɥɟɜɨɣ ɷɥɟɦɟɧɬ א ɉɨɫɤɨɥɶɤɭ ɜ ɩɨɥɟ ɫɭ
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Ɂɧɚɱɢɬ ɜ ɩɨɥɟ ɧɟɬ ɢɞɟɚɥɨɜ ɨɬɥɢɱɧɵɯ ɨɬ ɧɭɥɟɜɨɝɨ ɢ ɜɫɟɝɨ ɩɨɥɹ
ɉɭɫɬɶ ± ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɨɟ ɤɨɦɦɭɬɚɬɢɜɧɨɟ ɤɨɥɶɰɨ ɢ א Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɦɧɨ
ɠɟɫɬɜɨ ȁ א ɉɪɨɜɟɪɢɦ ɱɬɨ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɢɞɟɚɥɨɦ Ⱦɟɣɫɬɜɢ
ɬɟɥɶɧɨ א ɢ א ɞɥɹ ɥɸɛɵɯ
ǡ א ɂɞɟɚɥ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹɝɥɚɜɧɵɦ ɢɞɟɚɥɨɦɤɨɥɶɰɚ
ɉɪɢɦɟɪɑɟɬɧɵɟ ɱɢɫɥɚ ɢ ɱɢɫɥɚ ɤɪɚɬɧɵɟ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɝɥɚɜɧɵɦɢ ɢɞɟɚɥɚɦɢ
ɤɨɥɶɰɚ
ɁɚɞɚɱɚȾɨɤɚɠɢɬɟ ɱɬɨ ɜ ɤɨɥɶɰɟ ɥɸɛɨɣ ɢɞɟɚɥ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɝɥɚɜɧɵɦ
ɉɭɫɬɶ ɫɧɨɜɚ ± ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɨɟ ɤɨɦɦɭɬɚɬɢɜɧɨɟ ɤɨɥɶɰɨ Ⱦɥɹ ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɵɯ
ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ǡǥǡ א ɪɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ
ǡǥǡ ڮ ȁ ǡǥǡ א Ǥ
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А.В.Царев,Г.В.Шеина. ЭЛЕМЕНТЫ АБСТРАКТНОЙ И КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ
Ȼɭɞɟɦ ɝɨɜɨɪɢɬɶ ɱɬɨ ɢɞɟɚɥ ǡǥǡ ɩɨɪɨɠɞɟɧɷɥɟɦɟɧɬɚɦɢ ǡǥǡ ɚ ɷɥɟ
ɦɟɧɬɵ ǡǥǡ ɛɭɞɟɦ ɧɚɡɵɜɚɬɶɛɚɡɢɫɨɦɢɞɟɚɥɚ
ɁɚɞɚɱɚȾɨɤɚɠɢɬɟ ɱɬɨ ɜ ɤɨɥɶɰɟ ɥɸɛɨɣ ɢɞɟɚɥ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɝɥɚɜɧɵɦ
Ɂɚɞɚɱɚɉɪɨɜɟɪɶɬɟ ɱɬɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ڮ ȁ ǡǥǡ א ɹɜɥɹɟɬɫɹ
ɢɞɟɚɥɨɦ ɤɨɥɶɰɚ
ɁɚɞɚɱɚȾɨɤɚɠɢɬɟ ɱɬɨ ݔ ݔ ݔ ͵ݔ ݔ ב ݔ ǡݔ ɜ ɤɨɥɶɰɟݔ ǡݔ
ɝɞɟ ± ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɨɟ ɩɨɥɟ
ɍɤɚɡɚɧɢɟɉɪɢ ɩɨɞɫɬɚɧɨɜɤɟݔ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ɧɟ ɞɟɥɢɬɫɹ ɧɚݔ
ɉɪɢɜɟɞɟɦ ɛɟɡ ɞɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɚ ɫɥɟɞɭɸɳɢɣ ɮɚɤɬ ɤɚɫɚɸɳɢɣɫɹ ɢɞɟɚɥɨɜ ɜ ɤɨɥɶɰɟ
ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜݔ ǡǥǡݔ ɧɚɞ ɩɨɥɟɦ
ɌɟɨɪɟɦɚȽɢɥɶɛɟɪɬɚ ɨ ɛɚɡɢɫɟ ɉɭɫɬɶ ± ɩɨɥɟ Ɍɨɝɞɚ ɥɸɛɨɣ ɢɞɟɚɥ ɤɨɥɶɰɚ
ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜݔ ǡǥǡݔ ɢɦɟɟɬ ɛɚɡɢɫ ɬɨ ɟɫɬɶ ɧɚɣɞɭɬɫɹ ɬɚɤɢɟ ɷɥɟɦɟɧɬɵ
ǡǥǡ א ɞɥɹ ɤɨɬɨɪɵɯ ǡǥǡ
ɉɭɫɬɶ ± ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɨɟ ɩɨɥɟ ǡǥǡ א ݔ ǡǥǡݔ ɋɢɫɬɟɦɚ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ
ݔ ǡǥǡݔ
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ݔ ǡǥǡݔ
ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɫɢɫɬɟɦɨɣ ɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɢɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɧɚɞ ɩɨɥɟɦ
Ɂɚɦɟɱɚɧɢɟȿɫɥɢ ɜɫɟ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɵ ǡǥǡɢɦɟɸɬ ɫɬɟɩɟɧɶ ɫɢɫɬɟɦɚכɹɜ
ɥɹɟɬɫɹ ɫɢɫɬɟɦɨɣ ɥɢɧɟɣɧɵɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɢ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɪɟɲɟɧɚ ɦɟɬɨɞɨɦ Ƚɚɭɫɫɚ
ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɢɞɟɚɥ ǡǥǡ א ݔ ǡǥǡݔ
ɉɭɫɬɶ ɢɦɟɟɬɫɹ ɞɪɭɝɚɹ ɫɢɫɬɟɦɚ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ
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ככ ݔ ǡǥǡݔ
ǥ
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§5. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
ɉɪɨɜɟɪɢɦ ɱɬɨ ɟɫɥɢ ǡǥǡ ǡǥǡ ɬɨ ɨɛɟ ɫɢɫɬɟɦɵ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ
ɢɦɟɸɬ ɨɞɧɨ ɢ ɬɨ ɠɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɪɟɲɟɧɢɣ ɉɨ ɞɪɭɝɨɦɭ ɫɢɫɬɟɦɚ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ
ככɪɚɜɧɨɫɢɥɶɧɚ ɫɢɫɬɟɦɟכ
Ⱦɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɨ ɢɦɟɟɦ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ
ǡǥǡ ǡǥǡ
ȿɫɥɢ ǡǥǡ א ɢ ǡǥǡ ± ɪɟɲɟɧɢɟ ɫɢɫɬɟɦɵכɬɨ ɞɥɹ ɥɸɛɨɝɨ ɦɧɨɝɨ
ɱɥɟɧɚ |
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ɉɨɦɟɧɹɜ ɜ ɷɬɨɦ ɪɚɫɫɭɠɞɟɧɢɢ ɦɟɫɬɚɦɢ ɫɢɫɬɟɦɵ ǡǥǡɢ ǡǥǡ ɩɨɥɭɱɢɦ ɱɬɨ ɜɟɪɧɨ ɢ ɨɛɪɚɬɧɨɟ ɜɫɹɤɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɫɢɫɬɟɦɵככɟɫɬɶ ɪɟɲɟɧɢɟ ɫɢɫɬɟɦɵכ
ɍɱɢɬɵɜɚɹ ɞɨɤɚɡɚɧɧɨɟ ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɟ ɨ ɪɚɜɧɨɫɢɥɶɧɨɫɬɢ ɫɢɫɬɟɦ ɦɨɠɧɨ ɩɨɩɪɨɛɨ
ɜɚɬɶ ɩɨɫɬɪɨɢɬɶ ɬɚɤɨɣ ɛɚɡɢɫ ɞɥɹ ɢɞɟɚɥɚ ɱɬɨɛɵ ɫɢɫɬɟɦɚככɪɟɲɚɥɚɫɶ ɧɚɢɛɨɥɟɟ
ɩɪɨɫɬɨ
Ɂɚɦɟɱɚɧɢɟȼ ɨɬɥɢɱɢɟ ɨɬ ɛɚɡɢɫɚ ɥɢɧɟɣɧɨɝɨ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɚ ɝɞɟ ɛɚɡɢɫ ɨɛɥɚɞɚɟɬ
ɫɜɨɣɫɬɜɨɦ ©ɦɢɧɢɦɚɥɶɧɨɫɬɢª ɬɨ ɟɫɬɶ ɩɪɢ ɭɞɚɥɟɧɢɢ ɜɟɤɬɨɪɚ ɢɡ ɛɚɡɢɫɚ ɨɧ ɩɟɪɟ
ɫɬɚɟɬ ɛɵɬɶ ɛɚɡɢɫɨɦ ɛɚɡɢɫ ɢɞɟɚɥɚ ɬɚɤɢɦ ɫɜɨɣɫɬɜɨɦ ɧɟ ɨɛɥɚɞɚɟɬ Ⱦɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɨ
ɟɫɥɢ ǡǥǡ± ɛɚɡɢɫ ɢɞɟɚɥɚ ǡǥǡ ɬɨ ɤ ɧɟɦɭ ɦɨɠɧɨ ɞɨɛɚɜɢɬɶ ɥɸɛɨɣ
ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ א ɢ ǡǥǡǡɬɚɤɠɟ ɛɭɞɟɬ ɛɚɡɢɫɨɦ ɢɞɟɚɥɚ ȼ ɧɚɲɟɦ ɫɥɭɱɚɟ ɫɨ
ɯɪɚɧɹɟɬɫɹ ɬɨɥɶɤɨ ɨɞɧɨ ɫɜɨɣɫɬɜɨ ɛɚɡɢɫɚ ɥɢɧɟɣɧɨɝɨ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɚ ɛɵɬɶ ɩɨɪɨɠɞɚ
ɸɳɢɦ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨɦ
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А.В.Царев,Г.В.Шеина. ЭЛЕМЕНТЫ АБСТРАКТНОЙ И КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ
Ɂɚɦɟɱɚɧɢɟȿɫɥɢ ɜ ɛɚɡɢɫɟ ɢɞɟɚɥɚ ɢɦɟɟɬɫɹ ɧɟɧɭɥɟɜɚɹ ɤɨɧɫɬɚɧɬɚ ɬɨ ɫɨɨɬɜɟɬ
ɫɬɜɭɸɳɚɹ ɫɢɫɬɟɦɚ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɧɟɫɨɜɦɟɫɬɧɚ ɬɨ ɟɫɬɶ ɫɩɪɚɜɟɞɥɢɜɚ ɫɥɟɞɭɸɳɚɹ
ɩɪɨɫɬɚɹ ɬɟɨɪɟɦɚ ɨ ɧɟɫɨɜɦɟɫɬɧɨɫɬɢ ɫɢɫɬɟɦɵ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ
Ɍɟɨɪɟɦɚɋɢɫɬɟɦɚ ɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɢɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣכɧɚɞ ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɵɦ ɩɨɥɟɦ ɧɟ
ɢɦɟɟɬ ɪɟɲɟɧɢɣ ɟɫɥɢɤɚɤɨɣ ɧɢɛɭɞɶɛɚɡɢɫ ɢɞɟɚɥɚ ǡǥǡ ɫɨɞɟɪɠɢɬ ɤɨɧ
ɫɬɚɧɬɭ ɨɬɥɢɱɧɭɸ ɨɬ ɧɭɥɹ
Ⱦɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɨɉɭɫɬɶ ɞɥɹ ɢɞɟɚɥɚ ɢɦɟɟɬɫɹ ɬɚɤɨɣ ɛɚɡɢɫ ǡǥǡ ɱɬɨ
ɩɪɢɱɟɦ ± ɤɨɧɫɬɚɧɬɚ ɬɨ ɟɫɬɶ א ɉɨɫɤɨɥɶɤɭ
ǡǥǡ ǡǥǡ ǡɬɨ ɜ ɪɚɜɧɨɫɢɥɶɧɨɣ ɫɢɫɬɟɦɟככɢɦɟɟɬɫɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ
ɤɨɬɨɪɨɟ ɨɱɟɜɢɞɧɨ ɧɟ ɢɦɟɟɬ ɪɟɲɟɧɢɣ
Ⱦɥɹ ɬɨɝɨ ɱɬɨɛɵ ɨɩɢɫɚɬɶ ɚɥɝɨɪɢɬɦɵ ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɹ ©ɯɨɪɨɲɢɯª ɛɚɡɢɫɨɜ ɞɥɹ ɢɞɟɚɥɚ
ǡǥǡ ɩɨɡɜɨɥɹɸɳɢɯ ɪɟɲɢɬɶ ɫɢɫɬɟɦɭ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣכɧɚɦ ɩɨɬɪɟɛɭɸɬɫɹ
ɧɟɤɨɬɨɪɵɟ ɩɨɧɹɬɢɹ ɢ ɤɨɧɫɬɪɭɤɰɢɢ
ȼɫɩɨɦɨɝɚɬɟɥɶɧɵɟ ɩɨɧɹɬɢɹ ɢ ɤɨɧɫɬɪɭɤɰɢɢ
Ʉɚɤ ɨɬɦɟɱɚɥɨɫɶ ɜɵɲɟ ɤ ɛɚɡɢɫɭ ɦɨɠɧɨ ɞɨɛɚɜɥɹɬɶ ɷɥɟɦɟɧɬɵ ɢɞɟɚɥɚ ɢɥɢ ɡɚɦɟɧɹɬɶ
ɨɞɢɧ ɷɥɟɦɟɧɬ ɛɚɡɢɫɚ ɧɚ ɞɪɭɝɨɣ ɢ ɩɪɢ ɷɬɨɦ ɨɧ ɨɫɬɚɧɟɬɫɹ ɛɚɡɢɫɨɦ Ⱦɥɹ ɷɬɨɝɨ ɢɦɟ
ɟɬɫɹ ɧɟɫɤɨɥɶɤɨ ɫɩɨɫɨɛɨɜ
ɋɩɨɫɨɛ ɪɟɞɭɤɰɢɹ
Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟɉɭɫɬɶ ɢɦɟɸɬɫɹ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɵ ǡǥǡǡ א ݔ ǡǥǡݔ ǤȻɭɞɟɦ ɝɨ
ɜɨɪɢɬɶ ɱɬɨ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ɪɟɞɭɰɢɪɨɜɚɧ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ ǡǥǡ
ɟɫɥɢ ɫɬɚɪɲɢɣ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɥɟɤɫɢɤɨɝɪɚɮɢɱɟɫɤɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ ɜɜɟɞɟɧɧɨɝɨ ɜ,ɦɨ
ɧɨɦ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ ɧɟ ɞɟɥɢɬɫɹ ɧɢ ɧɚ ɨɞɢɧ ɢɡ ɫɬɚɪɲɢɯ ɦɨɧɨɦɨɜ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ
ǡǥǡ
ȿɫɥɢ ɧɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɪɟɞɭɰɢɪɨɜɚɧɧɵɦ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ ǡǥǡɬɨ ɟɝɨ
ɦɨɠɧɨ ɪɟɞɭɰɢɪɨɜɚɬɶ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ
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§5. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
ɉɭɫɬɶ ɫɬɚɪɲɢɣ ɦɨɧɨɦݔ ήǥήݔ ǡ א ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ ɞɟɥɢɬɫɹ ɧɚ ɫɬɚɪɲɢɣ ɦɨɧɨɦݔ ή ǥή ݔ ǡ א ɤɚɤɨɝɨ ɬɨ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ ɉɪɨɢɡɜɟɞɟɦ ɪɟɞɭɤɰɢɸ ɦɧɨ ɝɨɱɥɟɧɚ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ ɬɚɤ
ɝɞɟ ݔ ή ǥή ݔ
ȿɫɥɢ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ɭɠɟ ɪɟɞɭɰɢɪɨɜɚɧ ɬɨ ± ɢɫɤɨɦɚɹ ɪɟɞɭɤɰɢɹ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ
ȼ ɩɪɨɬɢɜɧɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɩɨɜɬɨɪɹɟɦ ɞɚɧɧɭɸ ɩɪɨɰɟɞɭɪɭ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨɟ ɱɢɫɥɨ ɪɚɡ
Ɂɚɦɟɱɚɧɢɟɉɭɫɬɶ ǡǥǡǡɂɡ ɮɨɪɦɭɥɵ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɤɨ
א א
ɬɨɪɨɣ ɩɪɨɢɫɯɨɞɢɬ ɪɟɞɭɤɰɢɹ ɜɢɞɧɨ ɱɬɨ א Ʉɪɨɦɟ ɬɨɝɨ ɩɚɪɚǡɩɨɪɨɠɞɚɟɬ
ɬɨɬ ɠɟ ɢɞɟɚɥ ɱɬɨ ɢ ɩɚɪɚǡɉɨɷɬɨɦɭ ɦɨɠɧɨ ɡɚɦɟɧɢɬɶ ɛɚɡɢɫɧɵɣ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ
ɧɚ ɉɨɫɥɟɞɧɢɣ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ɜ ɧɟɤɨɬɨɪɨɦ ɨɬɧɨɲɟɧɢɢ ɥɭɱɲɟ ɩɨɫɤɨɥɶɤɭ ɟɝɨ ɫɬɚɪ
ɲɢɣ ɦɨɧɨɦ ɦɥɚɞɲɟ ɱɟɦ ɭ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ
ɉɟɪɟɯɨɞ ɤ ɪɟɞɭɤɰɢɢ ɧɚɩɨɦɢɧɚɟɬ ɩɟɪɟɯɨɞ ɨɬ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ ɛɨɥɶɲɟɣ ɫɬɟɩɟɧɢ ɢɫ
ɩɨɥɶɡɭɹ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ɦɟɧɶɲɟɣ ɫɬɟɩɟɧɢ ɤ ɨɫɬɚɬɤɭ ɨɬ ɞɟɥɟɧɢɹ ɩɟɪɜɨɝɨ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ
ɧɚ ɜɬɨɪɨɣ
ɉɪɢɦɟɪȾɚɧɵ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɵ ݔ ɢ ݔ ݔ Ɋɟɞɭɰɢɪɭɟɦ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ
ݔ ݔ ݔ ݔ ݔ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ ǡ
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɫɧɚɱɚɥɚ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ȿɝɨ ɫɬɚɪɲɢɣ ɦɨɧɨɦ ɟɫɬɶݔ Ɉɧ ɧɟ ɞɟɥɢɬ ɫɬɚɪɲɢɣ ɦɨɧɨɦ ɪɟɞɭɰɢɪɭɟɦɨɝɨ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ ɩɨɷɬɨɦɭ ɩɟɪɟɯɨɞɢɦ ɤ ɦɧɨɝɨ
ɱɥɟɧɭ ɋɬɚɪɲɢɣ ɦɨɧɨɦݔ ݔ ɞɟɥɢɬ ɫɬɚɪɲɢɣ ɦɨɧɨɦ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ ɢ ɱɚɫɬɧɨɟ
ɨɬ ɞɟɥɟɧɢɹ ɟɫɬɶ ݔ
ȼɵɩɨɥɧɹɟɦ ɫɥɟɞɭɸɳɢɟ ɞɟɣɫɬɜɢɹ ɩɨɞɱɟɪɤɧɭɬɵ ɩɨɞɨɛɧɵɟ ɫɥɚɝɚɟɦɵɟ
ݔ ݔ ݔ ݔ ݔ ݔ ݔ ݔ
ݔ ݔ ݔ ݔ ݔ ݔ ݔ ݔ ݔ ݔ ݔ ݔ Ǥ
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А.В.Царев,Г.В.Шеина. ЭЛЕМЕНТЫ АБСТРАКТНОЙ И КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ
ɁɚɦɟɱɚɧɢɟȾɥɹ ɨɛɥɟɝɱɟɧɢɹ ɫɱɟɬɚ ɩɨɥɟɡɧɨ ɡɚɩɢɫɵɜɚɬɶ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɵ ɜ ɜɢɞɟ
ɫɥɟɞɭɸɳɟɣ ɫɯɟɦɵ
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xɦɨɧɨɦɵ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ ɪɚɫɩɨɥɚɝɚɟɦ ɜ ɩɨɪɹɞɤɟ ɭɛɵɜɚɧɢɹ ɧɚɱɢɧɚɹ ɫɨ ɫɬɚɪ
ɲɟɝɨ ɦɨɧɨɦɚ
xɦɧɨɠɢɬɟɥɶ ɟɫɬɶ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɞɟɥɟɧɢɹ ɫɬɚɪɲɟɝɨ ɦɨɧɨɦɚ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ ɧɚ ɫɬɚɪɲɢɣ ɦɨɧɨɦ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ ɨɱɟɜɢɞɧɨ ɱɬɨ ɞɥɹ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɦɨɝɨ ɩɪɢ ɦɟɪɚ ݔ
xɫɟɪɵɦ ɰɜɟɬɨɦ ɜ ɫɯɟɦɟ ɜɵɞɟɥɟɧɵ ɬɟ ɫɥɚɝɚɟɦɵɟ ɤɨɬɨɪɵɟ ɮɨɪɦɢɪɭɸɬ ɪɟ
ɡɭɥɶɬɚɬ
ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɪɟɞɭɤɰɢɢ ɬɨ ɟɫɬɶ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ɟɫɬɶ ɫɭɦɦɚ ɫɨɫɬɨɹɳɚɹ ɢɡ
ɜɵɞɟɥɟɧɧɵɯ ɜ ɫɯɟɦɟ ɫɟɪɵɦ ɰɜɟɬɨɦ ɫɥɚɝɚɟɦɵɯ ɩɟɪɜɨɣ ɫɬɪɨɤɢ ɢ ɩɪɨɢɡɜɟ
ɞɟɧɢɹ ɫɟɪɨɝɨ ɫɥɚɝɚɟɦɨɝɨ ɜɬɨɪɨɣ ɫɬɪɨɤɢ ɢ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ
Ɇɧɨɝɨɱɥɟɧ ݔ ݔ ݔ ݔ ɧɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɪɟɞɭɰɢɪɨɜɚɧɧɵɦ ɩɨɫɤɨɥɶɤɭ ɟɝɨ
ɫɬɚɪɲɢɣ ɦɨɧɨɦ ɞɟɥɢɬɫɹ ɧɚݔ ݔ ɉɪɨɢɡɜɨɞɢɦ ɟɳɟ ɨɞɧɭ ɪɟɞɭɤɰɢɸ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ
ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ
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əɫɧɨ ɱɬɨ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɪɟɞɭɰɢɪɨɜɚɧɧɵɦ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɦ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ
ɫɢɫɬɟɦɵ ǡ
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɜɦɟɫɬɨ ɛɚɡɢɫɚ ǡ ǡɦɨɠɧɨ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɬɶ ɞɪɭɝɨɣ ɛɚɡɢɫ ɢɞɟɚɥɚ
ǡ ǡɚ ɢɦɟɧɧɨ ɛɚɡɢɫ ǡ ǡ ݔ ݔ ݔ
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§5. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
ɋɩɨɫɨɛɨɛɨɛɳɟɧɢɟ ɫɩɨɫɨɛɚɩɨɥɧɚɹ ɪɟɞɭɤɰɢɹ
ɈɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟɆɧɨɝɨɱɥɟɧ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹɜɩɨɥɧɟ ɪɟɞɭɰɢɪɨɜɚɧɧɵɦ ɨɬɧɨɫɢ
ɬɟɥɶɧɨ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ ǡǥǡɟɫɥɢ ɧɢɤɚɤɨɣ ɚ ɧɟ ɬɨɥɶɤɨ ɫɬɚɪɲɢɣ ɦɨɧɨɦ ɜɯɨ
ɞɹɳɢɣ ɜ ɟɝɨ ɡɚɩɢɫɶ ɧɟ ɞɟɥɢɬɫɹ ɧɢ ɧɚ ɨɞɢɧ ɢɡ ɫɬɚɪɲɢɯ ɦɨɧɨɦɨɜ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ
ǡǥǡ
əɫɧɨ ɱɬɨ ɡɚ ɤɨɧɟɱɧɨɟ ɱɢɫɥɨ ɲɚɝɨɜ ɦɨɠɧɨ ɜɩɨɥɧɟ ɪɟɞɭɰɢɪɨɜɚɬɶ ɥɸɛɨɣ ɦɧɨɝɨ
ɱɥɟɧ ɋɧɨɜɚ ɤɚɤ ɢ ɜ ɫɩɨɫɨɛɟ ɦɨɠɧɨ ɡɚɦɟɧɹɬɶ ɛɚɡɢɫɧɵɣ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ɧɚ ɟɝɨ
ɩɨɥɧɭɸ ɪɟɞɭɤɰɢɸ
ɉɪɢɦɟɪȾɥɹ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ ݔ ݔ ݔ ɢ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ
ݔ ݔ ݔ ݔ ݔ ɦɵ ɩɨɥɭɱɢɥɢ ɪɟɞɭɰɢɪɨɜɚɧɧɵɣ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ
ݔ ݔ ݔ ȿɝɨ ɦɨɠɧɨ ɜɩɨɥɧɟ ɪɟɞɭɰɢɪɨɜɚɬɶ ɜ ɫɯɟɦɟ ɩɟɪɜɵɦ ɦɨɧɨɦɨɦ ɡɚɩɢɫɵɜɚɟɦ ɬɨɬ ɦɨɧɨɦ ɤɨɬɨɪɵɣ ɛɭɞɟɬ ɪɟɞɭɰɢɪɨɜɚɧ
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̱ |
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ݔ |
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ݔ |
ݔ |
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ݔ |
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ɉɨɥɭɱɚɟɦ ɜɩɨɥɧɟ ɪɟɞɭɰɢɪɨɜɚɧɧɵɣ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ |
ݔ ݔ ɢ ɧɨɜɵɣ ɛɚɡɢɫ |
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ǡ ǡ ݔ ݔ |
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Ɂɚɦɟɱɚɧɢɟɋ ɬɨɱɤɢ ɡɪɟɧɢɹ ɫɢɫɬɟɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɩɪɨɜɟɞɟɧɧɵɟ ɜɵɲɟ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɦɨɠɧɨ ɢɧɬɟɪɩɪɟɬɢɪɨɜɚɬɶ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ȼɦɟɫɬɨ ɫɢɫɬɟɦɵ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ
|
ݔ |
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ݔ ݔ |
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֞ |
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ݔ ݔ ݔ ݔ ݔ |
|
ݔ
ɦɨɠɧɨ ɪɟɲɚɬɶ ɫɢɫɬɟɦɭݔ ݔ ɤɨɬɨɪɚɹ ɩɪɨɳɟ ɢɫɯɨɞɧɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ
ݔ ݔ
87
А.В.Царев,Г.В.Шеина. ЭЛЕМЕНТЫ АБСТРАКТНОЙ И КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ
ɋɩɨɫɨɛ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɧɢɟ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ
Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ
ɉɭɫɬɶ ɢɦɟɸɬɫɹ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɵ ǡ א ݔ ǡǥǡݔ ɢ ɢɯ ɫɬɚɪɲɢɟ ɦɨɧɨɦɵ ɢɦɟɸɬ ɜɢɞݔ ή ǥή ݔ ɢݔ ή ǥή ݔ ȼɜɟɞɟɦ ɨɛɨɡɧɚɱɟɧɢɟ
ݐ ݔ ǡ ǡǥǡݐ ݔ ǡ
ɑɬɨɛɵ ɩɨɥɭɱɢɬɶ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ ɢ ɞɨɦɧɨɠɢɦ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ɧɚ
ݔ ή ǥή ݔ ɚ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ɧɚݔ ή ǥή ݔ ɋɬɚɪɲɢɟ ɦɨɧɨɦɵ ɭ ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɯ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ ɫɬɚɧɭɬ ɨɞɢɧɚɤɨɜɵɦɢ ɉɨɫɥɟ ɷɬɨɝɨ ɜɵɱɬɟɦ ɢɡ ɩɟɪ
ɜɨɝɨ ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɝɨ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ ɜɬɨɪɨɣ ɬɨ ɟɫɬɶ
ǡ ݔ ή ǥή ݔ ݔ ή ǥή ݔ
ɁɚɦɟɱɚɧɢɟɊɟɞɭɰɢɪɨɜɚɧɢɟ ɟɫɬɶ ɱɚɫɬɧɵɣ ɫɥɭɱɚɣ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ
ɩɨɫɤɨɥɶɤɭ ɜ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɫɩɪɚɜɟɞɥɢɜɵ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɚ Ɉɬɥɢ
ɱɢɟ ɫɨɫɬɨɢɬ ɜ ɬɨɦ ɱɬɨ ɜ ɫɥɭɱɚɟ ɪɟɞɭɤɰɢɢ ɦɨɠɧɨ ɡɚɦɟɧɢɬɶ ɛɚɡɢɫɧɵɣ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ
ɧɚ ɟɝɨ ɪɟɞɭɤɰɢɸ ȼ ɫɥɭɱɚɟ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ ɟɝɨ ɡɚɱɚɫɬɭɸ ɩɪɢɯɨɞɢɬɫɹ ɞɨɛɚɜɥɹɬɶ ɜ
ɛɚɡɢɫ
ɉɪɢɦɟɪɇɚɣɞɟɦ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ ʹݔ ݔ ݔ ݔ ɢ ݔ ݔ Ɂɚɦɟɬɢɦ ɫɧɚɱɚɥɚ ɱɬɨ ɨɞɧɨɱɥɟɧɵ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɵ ɩɨ
ɭɛɵɜɚɧɢɸ ɜ ɨɬɥɢɱɢɟ ɨɬ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ ɑɬɨɛɵ ɧɟ ɡɚɩɭɬɚɬɶɫɹ ɜɵɞɟɥɢɦ ɫɬɚɪɲɢɟ
ɦɨɧɨɦɵ ʹݔ ݔ ݔ ݔ ɢ ݔ ݔ Ɍɨɝɞɚ |
ǡ ݔ ʹݔ ʹݔ ݔ ݔ ݔ ݔ ʹݔ ʹݔ ݔ
ݔ ݔ ݔ ʹݔ
ɁɚɦɟɱɚɧɢɟɄɚɤ ɢ ɜ ɩɪɟɞɵɞɭɳɢɯ ɫɥɭɱɚɹɯ ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɵɜɚɬɶ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɵ
ɢ ɜ ɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɧɨɦ ɜɢɞɟ ɨɞɢɧ ɩɨɞ ɞɪɭɝɢɦ ɫɬɚɪɲɢɣ ɦɨɧɨɦ ɫɬɪɨɝɨ ɩɨɞ ɫɬɚɪ
ɲɢɦ ɚ ɫɥɟɜɚ ɞɨɩɢɫɵɜɚɬɶ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɟ ɦɧɨɠɢɬɟɥɢ
88
ݔ |
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ʹݔ ݔ |
ݔ ݔ |
§5. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ |
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֜ ǡ ݔ |
ݔ |
ݔ ʹݔ |
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ʹݔ |
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ݔ |
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ݔ |
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Ɂɚɦɟɱɚɧɢɟɋɬɚɪɲɢɣ ɦɨɧɨɦݔ ݔ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ ǡ ɞɟɥɢɬɫɹ ɧɚ ɫɬɚɪɲɢɣ ɦɨɧɨɦʹݔ ݔ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ ɉɨɷɬɨɦɭ ɟɝɨ ɦɨɠɧɨ ɪɟɞɭɰɢɪɨɜɚɬɶ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɦɧɨ
ɝɨɱɥɟɧɚ
ǡ |
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ʹ |
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ݔ ݔ |
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ݔ |
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ʹݔ |
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̱ |
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֜ ǡ ʹݔ ݔ |
ݔ ݔ |
ݔ |
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ݔ |
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ʹݔ |
ݔ |
ݔ |
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ݔ |
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ʹݔ ͵ݔ ݔ ݔ |
֜ |
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ɂɦɟɟɦ |
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ʹݔ ݔ ݔ ݔ |
Ǥ |
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ʹݔ ݔ |
ݔ ݔ ֞ |
ݔ ݔ |
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ݔ ݔ |
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ʹݔ ͵ݔ ݔ ݔ |
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Ɋɟɲɟɧɢɟ ɫɢɫɬɟɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɪɟɞɭɤɰɢɣ
Ⱦɥɹ ɧɟɤɨɬɨɪɵɯ ɫɢɫɬɟɦ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶ ɬɨɥɶɤɨ ɪɟɞɭɤɰɢɢ ɱɬɨɛɵ ɩɨɥɭ
ɱɢɬɶ ɩɪɨɫɬɭɸ ɪɚɜɧɨɫɢɥɶɧɭɸ ɫɢɫɬɟɦɭ Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɫɥɟɞɭɸɳɢɣ ɩɪɢɦɟɪ
ɉɪɢɦɟɪɊɟɲɢɦ ɫɢɫɬɟɦɭ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ
J |
|
[] \ |
|
|
° |
|
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|
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|
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° |
|
° |
[\] \] ] |
|
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|
|
Ⱦɥɹ ɪɟɲɟɧɢɹ ɫɢɫɬɟɦɵ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɪɟɞɭɰɢɪɨɜɚɬɶ ɫɢɫɬɟɦɭ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜJ J J
x Ɋɟɞɭɰɢɪɭɟɦ ɫɧɚɱɚɥɚJ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸJ
[\] \] ]
[ \] ] U \] ] [] [
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А.В.Царев,Г.В.Шеина. ЭЛЕМЕНТЫ АБСТРАКТНОЙ И КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ
x ɆɧɨɝɨɱɥɟɧU ɪɟɞɭɰɢɪɭɟɦ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸJ
|
|
\] ][ ] [ U ][ [ |
|
||
|
\] ] |
ȼ ɫɢɥɭ ɫɤɚɡɚɧɧɨɝɨ ɪɚɧɟɟ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɢɡɦɟɧɟɧɢɹ ɩɨɪɨɠɞɚɸɳɟɝɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɢɦɟɟɦ J J J U ɉɨɷɬɨɦɭ
J |
|
J |
|
[] \ |
|
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|
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|
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|
x Ɂɚɬɟɦ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧU ɪɟɞɭɰɢɪɭɟɦ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸJ
|
[] [ U |
[ \ |
|
||
|
[] \ |
|
|
|
|
ɉɨɥɭɱɢɥɢ ɪɚɜɧɨɫɢɥɶɧɭɸ ɫɢɫɬɟɦɭ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ |
|
|
°J ®J °¯J
|
J |
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[] \ |
|
||
|
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|
|
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|
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|
° |
|
|
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|
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|
|
¯ |
|
|
Ɋɟɞɭɰɢɪɭɟɦ ɬɟɩɟɪɶJ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸU ɚ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬU ɫ ɩɨɦɨɳɶɸJ
x |
|
] |
|
[] \ U \] \ ] |
|
||||
|
|
|
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|
x |
|
|
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|
|
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