Электротехника. Решение типовых задач. Ч.2. Учебное пособие

4. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАГНИТНЫЕ ЦЕПИ

Для успешного решения предлагаемых задач студент должен освоить следующие разделы программы: нелинейные электрические и магнитные цепи, законы магнитных цепей, ферромагнитные материалы, катушки и трансформаторы с ферромагнитным сердечником.

Необходимая информация имеется в учебниках и задачниках по электротехнике [3–8].

Задача 4.1. Сердечник из немагнитного материала (рис. 4.1) имеет площадь поперечного сечения S = 4 см2, длину средней силовой линии l = 40 см. На него равномерно намотали обмотку с числом витков W = 300. По обмотке идет постоянный ток I = 5 А.

Рис. 4.1

Определить напряженность и индукцию магнитного поля в магнитопроводе, магнитный поток.

Решение:

Напряженность магнитного поля определяем с помощью закона полного тока:

Вычисляем величину магнитной индукции В в магнитопроводе. Сердечник выполнен из немагнитного материала, его относительная

71

Здесь μ0 – абсолютная магнитная проницаемость. Определяем магнитный поток Ф:

Ответ: H = 3750 А/м, B = 4.7 ×10−3 Т, Ф =1.88 ×10−6 Вб.

Задача 4.2. Сердечник из чугуна (см. рис. 4.1) имеет площадь поперечного сечения S = 10 см2, длину средней силовой линии l = 20 см. На него равномерно намотали обмотку с числом витков W = 200. По обмотке идет постоянный ток I, создающий в сердечнике магнитный поток Ф = 0.3 мВб. Основная кривая намагничивания для чугуна приведена на рис. 4.2.

Решение:

Вычислим величину магнитной индукции в сердечнике по известным магнитному потоку и площади сечения:

На основной кривой намагничивания (см. рис. 4.2) индукция 0.3 Т соответствует напряженности магнитного поля Н = 1000 А/м.

72

Определить ток I в намагничивающей обмотке.

Решение:

Магнитная цепь состоит из двух участков: ферромагнитного сердечника и воздушного зазора. Через все сечения магнитопровода проходит один и тот же магнитный поток Ф. Для упрощения расчетов выпучиванием магнитного потока в зазоре пренебрегаем, т. е. сечения обоих участков одинаковы. Магнитное поле на всех участках магнитопровода имеет одну и ту же индукцию B0 = 1Тл.

По основной кривой намагничивания (см. рис. 4.3) определяем величину напряженности магнитного поля в ферромагнитном сердечнике при B0 = 1Тл, Н ≈ 1500 А/м.

Напряженность поля в зазоре:

Ответ: I = 6.8 А.

Задача 4.4. В табл. 4.1 приведены магнитные характеристики электротехнической стали Э41. Обмотка с числом витков W = 110 намотана на тороидальный магнитопровод из этой стали сечением S = 5.5 см2 с длиной средней силовой линии l = 23 см. Определить ток в обмотке, если в магнитопроводе создан поток Ф = 6.5·10-4 Вб.

74

По таблице с магнитными характеристиками материала сердечника определим напряженность магнитного поля. В таблице не задана точно величина напряженности Н, соответствующая индукции 1.18 Тл, поэтому воспользуемся методом линейной интерполяции для ее определения. Напомним, что если имеются таблично заданные значения не имеющей аналитического выражения функции f (x1 ) и f (x2 ) , то ее значение f (x) при условии x [x1 , x2 ] определяется так:

Ток в обмотке определяем из закона полного тока:

Ответ: намагничивающий ток 0.76 А.

75

Задача 4.5. На рис. 4.5 изображены сечения катушек, указаны направления тока в обмотках и положительное направление контура. Параметры катушек: W1 = 5, I1 = 10 А, W2 = 5, I2 = 1 А, W3 = 10, I3 = 1 А. Определить магнитодвижущую силу по контуру.

2

Рис. 4.5

Решение:

МДС отдельных катушек алгебраически суммируются, знак МДС конкретной катушки определяем по правилу буравчика. Таким образом, результирующая МДС F:

F = -I1 ×W1 + I2 ×W2 + I3 ×W3 = -10 ×5 + 5 ×1 +10 ×1 = -35 А. (4.14)

Ответ: МДС = -35 А.

Задача 4.6. На рис. 4.6 представлен эскиз магнитопровода из ли-

Рис. 4.6

Кривая намагничивания сердечника приведена на рис. 4.7.

76

Решение:

По кривой намагничивания на рис. 4.7 определяем, что магнитное поле в сердечнике при В = 1.2 Тл имеет напряженность Н = 1250 А/м.

На рис. 4.7 указаны направления магнитных потоков, создаваемых обмотками в сердечнике. Они получены в результате применения правила буравчика с учетом направлений токов. На рис. 4.8 представлена электрическая схема замещения для исходной магнитной цепи, здесь Rм – магнитное сопротивление. МДС F1 и F2 направлены встречно, как и магнитные потоки.

Ф Rм

Рис. 4.8

77

Для исходной магнитной цепи запишем закон полного тока:

Ответ: I2 = −0.6 А

Задача 4.7. Катушка с ферромагнитным сердечником подключена к источнику синусоидального напряжения (рис. 4.9).

*

I *

W A

R

U V

L

Рис. 4.9

Здесь R – сопротивление обмотки; L – нелинейная из-за наличия сердечника индуктивность. Показания приборов: Р = 20 Вт, I = 2 А. Если сердечник вынуть, то показания изменятся: Р = 64 Вт, I = 8 А. Вычислить потери в стали.

Решение:

Ваттметр в цепи на рис. 4.9 показывает суммарную мощность, которая потребляется на нагрев провода обмотки (потери в меди, Рм)

ина перемагничивание и нагрев сердечника (потери в стали, Рст).

Врежиме без сердечника по показаниям приборов определяем активное сопротивление провода обмотки:

78

Потери в стали определяем по показаниям приборов в режиме с сердечником:

Ответ: Рст = 16 Вт.

Задача 4.8. Катушка с ферромагнитным сердечником подключена к сети синусоидального напряжения U = 220 В, f = 50 Гц. Число витков обмотки W = 750, сечение магнитопровода S = 10 см2. Определить амплитудное значение индукции Bm в сердечнике.

Решение:

Сетевое напряжение на обмотке катушки сети U уравновешивается ЭДС самоиндукции Е0. Эти две величины связаны с магнитным потоком в сердечнике уравнением трансформаторной ЭДС, которое широко используется при расчете трансформаторов и электрических машин:

Отсюда

Ответ: Bm = 1.33 Т.

Задача 4.9. Магнитный поток, пронизывающий обмотку катушки, изменяется со временем. Замеры потокосцепления Ψ приведены в табл. 4.2.

79

В какой из моментов времени ЭДС самоиндукции в катушке e(t) имеет максимальное значение?

Решение:

По закону электромагнитной индукции

В исходной таблице потокосцепление Ψ на каждом интервале времени убывает одинаково, т. е. ∆Ψ = const = -3 вб, поэтому e(t) = 3 В.

Ответ: ЭДС самоиндукции постоянна, e(t) = 3 В.

Задача 4.10. Определить энергию магнитного поля последовательно включенных катушек (рис. 4.10), если L1 = 4 мГн, L2 = 5 мГн, M = 1 мГн, через катушки идет постоянный ток I = 2 А.

Рис. 4.10

Решение:

Катушки индуктивно связаны. Воспользуемся правилом буравчика и определим направления магнитных потоков Ф1 и Ф2, создаваемых катушками в сердечнике (см. рис. 4.10). Эти потоки направлены навстречу друг другу; следовательно, катушки включены встречно. Вычислим их эквивалентную индуктивность L с учетом взаимной индуктивности М:

80