Электротехника. Решение типовых задач. Ч.2. Учебное пособие

Вычисляем постоянные составляющие токов во второй и третьей ветвях:

Расчет по первой гармонике ведем комплексным методом. Вычислим комплексное сопротивление параллельных ветвей на

первой гармонике Zab1:

Сопротивление R1 соединено последовательно с участком ab, поэтому комплекс входного сопротивления всей цепи на первой гармонике вычисляется следующим образом:

Zвх1 = R1 + Zab1 = 6 +10.3 + j4.8 =16.3 + j4.8 =17 × e j16 Ом. (3.43)

Вычислим комплекс амплитуды входного тока первой гармоники:

Здесь Uɺm1 – комплекс амплитуды первой гармоники входного напряжения u(t). Вычислим комплекс амплитуды первой гармоники напряжения на участке ab uab(t):

61

По известному напряжению на параллельных ветвях определяем для них комплексы амплитуд токов на первой гармонике:

Вычисления для третьей гармоники проводим по тому же алгоритму. Вычислим комплексное сопротивление параллельных ветвей на третьей гармонике Zab3:

Комплекс входного сопротивления всей цепи на третьей гармонике:

Zвх3 = R1 + Zab 3 = 6 + 6.6 - j8.9 =12.6 - j8.9 =15.4 × e− j 35 Ом. (3.51)

Комплекс амплитуды входного тока третьей гармоники:

Здесь Uɺm 3 – комплекс амплитуды третьей гармоники входного напряжения u(t). Вычислим комплекс амплитуды третьей гармоники напряжения на участке ab uab(t):

62

Комплексы амплитуд токов на третьей гармонике в параллельных ветвях:

Запишем выражение для мгновенных значений входного тока, пользуясь вычисленными комплексами амплитуд I10 , Iɺ11 , Iɺ13 :

63

между током и напряжением соответствующих гармоник, они определяются по комплексам амплитуд тока и напряжения, вычисленным ранее в (3.44), (3.52).

Задача 3.9. В симметричном трехфазном генераторе обмотки соединены по схеме «звезда». Напряжение в фазе А:

Определить мгновенные и действующие значения фазных и линейных напряжений.

Решение:

В несинусоидальных периодических напряжениях в трехфазных цепях гармоники в зависимости от их номера образуют симметричные системы напряжений прямой, обратной или нулевой последовательности. Легко запоминается, что первые гармоники образуют симметричную систему напряжений прямой последовательности, а с номером, кратным трем, – нулевую. В исходном напряжении (3.63) такие гармоники имеются.

Гармоники с номерами k = 3n +1, где n – любое целое число, образуют симметричную систему напряжений прямой последовательности, а с номерами k = 3n + 2 – обратную.

Если эти соотношения на экзамене не вспомнились, рассуждаем следующим образом. Кривые напряжения симметричного генератора в фазах В и С сдвинуты на треть периода Т первой гармоники по от-

64

Получим выражение для пятой гармоники в фазе В, при этом учтем, что ωT = 2π и что период пятой гармоники в пять раз меньше периода первой:

Теперь можно записать мгновенные значения для фазных напряжений в фазах А и В:

uB (t) = 100 sin(ωt −120 ) + 20 sin 3ωt + 15sin(5ωt + 120 ) В; (3.67) uC (t) = 100 sin(ωt + 120 ) + 20 sin 3ωt + 15sin(5ωt −120 ) В. (3.68)

Линейные напряжения определяются как разность соответствующих фазных. Третьи гармоники при вычитании дают нуль и в линейных напряжениях отсутствуют. В симметричном трехфазном генераторе по схеме «звезда» для каждой гармоники амплитуда в линейном напряжении в 3 раз больше амплитуды в фазном. Для определения начальных фаз линейных напряжений удобно воспользоваться векторными диаграммами линейных напряжений для прямой (рис. 3.13 а) и обратной (рис. 3.13 б) последовательностей.

Рис. 3.13

65

Используя выражения для фазных напряжений и векторные диаграммы, получим:

Определяем действующее значение фазного напряжения Uф и линейного Uл:

Задача 3.10. В симметричном трехфазном генераторе (рис. 3.14) сопротивление нагрузки R = 10 Ом, ЭДС в фазе А:

K

Рис. 3.14

Определить мгновенные и действующие значения токов и напряжений в цепи для двух положений ключа К.

Решение:

Фазная ЭДС является периодическим несинусоидальным напряжением, содержит первую, третью и одиннадцатую гармоники.

66

Одиннадцатые гармоники образуют симметричную трехфазную систему напряжений обратной последовательности.

Эта информация позволяет записать мгновенные значения для фазных ЭДС в фазах А и В:

eB (t) = 120 sin(ωt −120 ) + 30 sin 3ωt + 20 sin(11ωt + 120 ) В; (3.75) eC (t) = 120 sin(ωt + 120 ) + 30 sin 3ωt + 20 sin(11ωt −120 ) В. (3.76)

Линейные напряжения определяются как разность соответствующих фазных. Третьи гармоники при вычитании дают нуль и в линейных напряжениях отсутствуют. В симметричном трехфазном генераторе по схеме «звезда» для каждой гармоники амплитуда в линейном напряжении в 3 раз больше амплитуды в фазном. Для определения начальных фаз линейных напряжений удобно воспользоваться векторными диаграммами линейных напряжений для прямой (рис. 3.13 а) и обратной (рис. 3.13 б) последовательностей.

Используя выражения для фазных ЭДС и векторные диаграммы на рис. 3.13, получим:

Определяем действующее значение фазного напряжения Е и линейного Uл на генераторе:

Мгновенные и действующие напряжения на зажимах генератора от положения ключа К не зависят, в отличие от напряжений на нагрузке.

67

Рассмотрим случай, когда ключ К разомкнут, т. е. система трехпроводная. Нагрузка симметричная, третьи гармоники отсутствуют в линейных напряжениях и фазных напряжениях нагрузки. Таким образом, можно записать мгновенные значения для напряжений на фазах нагрузки:

Воспользовавшись законом Ома, получим мгновенные значения токов:

Действующие значения для тока и напряжения на фазе нагрузки:

Между нейтральными точками генератора и нагрузки имеется напряжение смещения нейтрали; несмотря на симметрию нагрузки, оно равно напряжению третьей гармоники в фазе генератора:

В случае, когда ключ К замкнут, система становится четырехпроводной. Сопротивления в фазах нагрузки напрямую подключены к зажимам соответствующих фазных ЭДС. Можно записать мгновенные значения для напряжений на фазах нагрузки:

68

Воспользовавшись законом Ома, получим мгновенные значения токов:

Действующие значения для тока и напряжения на фазе нагрузки:

В нейтральном проводе идет суммарный ток третьей гармоники из нагрузок, с учетом симметрии в данной задаче

Задачи для самостоятельного решения

1. На рис. З3.1 приведена осциллограмма несинусоидального периодического напряжения u(t). Определить начальную фазу для первой и третьей гармоники. Размерность клетки сетки 10 В, 1 мс.

2. Определить действующее и среднее по модулю значения для напряжения u(t) на рис. З3.2. Размерность клетки сетки 10 В, 1 мс.

69