Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Электротехника. Решение типовых задач. Ч.2. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 126 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

=	4	×	sin 3t	4	π / 3	=	4	sin 4π = 0 В.	(3.8)


π		3		0			3π

Определим амплитуду синусной составляющей четвертой гармоники В4:

1 4π / 3

∫ u(t)

×sin 4t × dt

∫Umax ×sin 4t

× dt =

cos 4t

4π / 3

16π

× (-

)

= -

(cos

- cos 0)

= -

(-0.5 -1) = 0.48

В. (3.9)

Ответ: А0 =

2.67 В, А3 = 0 В, В4 = 0.48 В.

Задача 3.4. На рис. 3.5 представлен график несинусоидального периодического напряжения u(t). Размерность клетки сетки 20 В,

π/4 с.

Определить среднее значение напряжения u(t) А0 и амплитуду синусной составляющей второй гармоники В2.

u(t)

Рис. 3.5

Решение:

По кривой напряжения u(t) на рис. 3.5 определяем, что период несинусоидального напряжения u(t) на Т в данном случае равен 2π с.

Вычислим среднее значение напряжения u(t):

		1	T	1		1			7π		1		π
A0	=		∫ u(t) × dt =		×		(140	×		) -		(20 ×		)	= 60	В. (3.10)
		T		2π		2			4		2		4
			0

Напомним, что определенный интеграл, который вычисляется в (3.10), равен площади фигуры, ограниченной графиком u(t) и осью времени в пределах периода. Площадь фигуры на рис. 3.5 вычисляется в (3.10) как разность площадей двух треугольников при положительных и отрицательных значениях u(t).

Изменение u(t) на периоде описывается линейной функцией

u(t) = a ×t + b.

(3.11)

Находим ее параметры:

b = u(0) = -20 В;

(3.12)

u(T ) − b

140 + 20

a =

В/с.

(3.13)

2π

Определим амплитуду синусной составляющей второй гармоники В2:

2π

∫ u(t) ×sin 2t × dt

∫ (

×t - 20) sin 2t × dt =

2π

- (

2π

- (-

2π

= -25.46

(

sin 2t)

t cos 2t)

cos 2t)

В. (3.14)

Ответ: А0 = 60 В, В2 = -25.46 В.

Задача 3.5. В цепи действует несинусоидальное периодическое напряжение u(t) с периодом 20 мс. В табл. 3.1 приведены отличные от нуля амплитуды синусных и косинусных составляющих гармоник u(t).

		Таблица 3.1
Амплитуды синусных и косинусных составляющих гармоник

Номер	Амплитуда косинусной	Амплитуда синусной
гармоники	составляющей, В	составляющей, В
0	8.0	–
1	-6.63	10.0
2	0.26	-4.99
3	-0.97	3.33
4	0.26	-2.49
5	-0.52	1.99
6	0.26	-1.65

Представить напряжение u(t) в виде тригонометрического ряда.

Решение:

Определим угловую частоту первой гармоники ω:

ω =	2π	=	6.28	= 314 с-1.	(3.15)

	T		20 ×10−3

Здесь Т – период напряжения u(t). Угловая частота последующих гармоник кратна ω.

Отрезок тригонометрического ряда для напряжения u(t):

6
u(t) = A0 + ∑Cn sin(nωt + ϕn ).	(3.16)
1

Здесь: А0 – постоянная составляющая; Сn – амплитуда гармоники с номером n; φn – начальная фаза этой гармоники. Сn и φn определяются через амплитуды синусных Вn и косинусных Аn составляющих гармоник:

Cn =		;
	An2 + Bn2		(3.17)

	ϕn = arctg	An	.	(3.18)
	ϕn = arctg		.	(3.18)
		Bn
Проводим расчет по выражениям (3.17) и (3.18), используя дан-
ные табл. 3.1; результаты приведены в табл. 3.2.
				Таблица 3.2
Амплитуды синусных и косинусных составляющих гармоник

Номер	Амплитуда гармоники,			Начальная фаза гармоники,
гармоники	В			град.
0	8.0			-
1	12.0			-34
2	5.0			177
3	3.5			-16
4	2.5			174
5	2.1			-14
6	1.7			171

Записываем тригонометрический ряд для напряжения u(t):

u(t) = 8 + 12 sin(314t − 34 ) + 5sin(628t + 177 ) + 3.5sin(942t −16 ) +

+ 2.5sin(1256t + 174 ) + 2.1sin(1570t − 14 ) + 1.7sin(1884t + 171 ). (3.19)

На рис. 3.6 представлен график напряжения u(t), построенный
по выражению (3.19).
30
20
10
0
10
0	0.005	0.01	0.015	0.02	0.025
0			t		0.030
			Рис. 3.6
Задача 3.6. На рис. 3.7 представлен дискретный частотный
спектр амплитуд для несинусоидального периодического напряжения
u(t). Размерность клетки сетки 1 В, 20 Гц.
Определить действующее значение напряжения u(t).

Рис. 3.7

Решение:

По определению действующее напряжение U несинусоидального периодического сигнала вычисляется следующим образом:

		N	2
		N	Cn
U =	A2	+ ∑	Cn	.	(3.20)
U =	A2	+ ∑		.	(3.20)
	0	n 2
		n 2
Здесь: А0 – постоянная составляющая; Сn –					амплитуда гармоники

сномером n; N – номер наивысшей гармоники спектра.

Вданной задаче амплитуды гармоник заданы на графике (3.7), поэтому

U = 72 +	62	+	52	+	42	+	3.62	+	32	+	42	+		32	+	22	+	1.62	+	12	= 10.7 В. (3.21)
											2					2		2
2		2		2		2		2					2						2
Ответ: U = 10.7 В.
Задача		3.7.		На		вход		цепи			на		рис.			3.8		подается напряжение
u(t) = 120 + 200 sin ωt + 50 sin(3ωt + 30 ) , В.																Период первой гармоники

Т = 20 мс, R1 = 30 Ом, R2 = 18 Ом, L = 60 мГн.

Записать выражения для мгновенных значений тока и напряжения на участке цепи ab.

			A1	A2	a
					R1
					L
u(t)	V1	V2	V3

Рис. 3.8

Определить показания измерительных приборов (их характеристики приведены в табл. 3.3).

			Таблица 3.3
	Характеристики измерительных приборов

Приборы		Тип	Что измеряют
Амперметр А1,		Магнитоэлектрической	Среднее значение
вольтметр V1		системы
Амперметр А2,		Индукционной системы	Действующее значение
вольтметр V2			переменной составляющей
Амперметр А3,		Тепловой системы	Действующее значение
вольтметр V3

Определить активную мощность, потребляемую цепью.

Решение:

Осциллограмма напряжения u(t) приведена на рис. 3.9.

Расчет линейных электрических цепей при наличии в них несинусоидальных периодических токов и напряжений проводится методом суперпозиции, т. е. раздельно по каждой гармонике.

Расчет ведется по нулевой гармонике (постоянная составляющая). Индуктивность не оказывает сопротивления постоянному току,

т.е. фактически рассчитываем цепь, представленную на рис. 3.10.

400
300
200
100
0
100
0	0.005	0.01	0.015	0.02	0.025
0			t		0.03
			Рис. 3.9
			56

U0		R2

Рис. 3.10

На входе цепи (см. рис. 3.10) действует напряжение U0 = 120 В, соответствующее постоянной составляющей в u(t). Определим постоянную составляющую тока i(t):

I0	=	U0		=	120	= 2.5	А.	(3.22)
		R1	+ R2		30 +18

Определим постоянную составляющую напряжения на участке

ab uab(t):

U0 ab = R2 × I0 =18 × 2.5 = 45 В.

(3.23)

Расчет по первой гармонике ведем комплексным методом. Вычислим комплекс амплитуды тока первой гармоники:

Uɺm1			200		200			− j 21
Iɺm1 =		=			=		= 3.88 × e		В. (3.24)
	Z1			R1 + R2 + jωL		30 +18 + j314 × 0.06
Здесь Uɺm1 –			комплекс амплитуды первой гармоники входного напря-
жения u(t); Z1		–	комплекс входного сопротивления на первой гармонике;

ω – угловая частота первой гармоники; ω = 1/Т = 1/(20·10-3) = 314 с-1. Вычислим комплекс амплитуды первой гармоники напряжения

на участке ab uab(t):

Uɺ1ab = Iɺm1 × (R2 + jωL) = 3.88 × e− j 21 × (18 + j314 × 0.06) =101× e j 25 В. (3.25)

Вычислим комплекс амплитуды тока третьей гармоники:

	Uɺm 3		50 × e j 30		50 × e j 30		− j 20
Iɺm 3 =		=		=		= 0.67 × e		В. (3.26)
Iɺm 3 =	Z3	=	R1 + R2 + j3ωL	=	30 +18 + j3 ×314 × 0.06	= 0.67 × e		В. (3.26)
					57

Здесь Uɺm 3 – комплекс амплитуды третьей гармоники входного напряжения u(t); Z3 – комплекс входного сопротивления на третьей гармонике.

Вычислим комплекс амплитуды третьей гармоники напряжения на участке ab uab(t):

Uɺ3ab = Iɺm 3 × (R2 + j3ωL) = 0.67 × e− j 20 × (18 + j3 ×314 × 0.06) = 40 × e j 52 В. (3.27)

Запишем выражения для мгновенных значений тока и напряжения на участке цепи ab по вычисленным комплексам амплитуд:

i(t) = [2.5 + 3.88sin(ωt − 21 ) + 0.67 sin(3ωt − 20 )] А;	(3.28)
uab (t) = [45 + 101sin(ωt + 25 ) + 40 sin(3ωt + 52 )] В.	(3.29)

Определим показания измерительных приборов.

Приборы магнитоэлектрической системы, измеряющие средние значения, показывают только постоянные ток или напряжение, т. е. амперметр А1 покажет ток I0 = 2.5 A, вольтметр V1 покажет U0 = 120 В.

Приборы индукционной системы измеряют действующее значение только переменной составляющей тока или напряжения. Определяем показания амперметра А2:

I2	=	Im2	1	+	Im2	3	=	3.882	+	0.672	= 2.78 А.	(3.30)
								2
	2			2					2

Определяем показания вольтметра V2:

V2	=	Um2	1	+	Um2	3	=	2002	+	502	=146 В.	(3.31)
								2
	2			2					2

Приборы тепловой системы измеряют действующее значение тока или напряжения. Определяем показания амперметра А3:

I3	= I02 +	Im2	1	+	Im2	3	=	2.52 +	3.882	+	0.672	= 3.74 А.	(3.32)

	2			2				2		2

Определяем показания вольтметра V3:

= U02 +

Um21

Um2

1202 +

2002

502

=189 В.

(3.33)

Вычисляем активную мощность, потребляемую цепью:

P = U0 × I0

Im1

× cosϕ1

m 3

Im 3

× cosϕ3 =

=120 × 2.5 + 200 ×3.88 × cos 21 + 50 × 0.67 × cos 50 = 670 Вт. (3.34)

В (3.34) учтено, что мощность вычисляется по действующим значениям токов и напряжений. Здесь φ1 и φ3 – углы фазового сдвига между током и напряжением соответствующих гармоник, они определяются по комплексам амплитуд тока и напряжения, вычисленным ранее в (3.24–3.26).

Задача 3.8. На вход цепи на рис. 3.11 подается напряжение

u(t) = 30 + 100 sin ωt + 40 sin(3ωt + 20 ) , В. Здесь: R = 6 Ом, R = 5 Ом,

R3 = 20 Ом, ωL = 12 Ом, 1/ωС = 30 Ом.

i2(t)

i3(t)

i4(t)

i1(t) R1

u(t)

Рис. 3.11

Записать выражение для мгновенных значений входного тока. Вычислить действующие значения для каждого тока и активную мощность, потребляемую цепью.

Решение:

Расчет ведется по нулевой гармонике (постоянная составляющая).

Индуктивность имеет нулевое сопротивление на постоянном токе, емкость не пропускает постоянный ток, поэтому вносим необходимые изменения в расчетную схему (рис. 3.12).

			a
			a
		I20		I30
	I10 R1
	I10 R1
U0		R3		C
U0		R3		C

Рис. 3.12

На входе цепи (см. рис. 3.12) действует постоянное напряжение U0 = 30 В, соответствующее постоянной составляющей в u(t). Сопротивления R2 и R3 соединены между собой параллельно, вычислим эквивалентное им сопротивление R23:

R =	R2 × R3		=	5 × 20	= 4 Ом.	(3.35)

23	R2	+ R3	5 + 20

Входное сопротивление цепи:

R123 = R1				+ R23 = 6 + 4 = 10 Ом.			(3.36)
Определим постоянную составляющую входного тока i(t):
I		=	U0	=	30	= 3 А.	(3.37)
	10
			R123	10

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 126 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]