Электротехника. Решение типовых задач. Ч.2. Учебное пособие

Решение:

Чтобы выполнить расчет, составим электрическую схему замещения для заданной цепи. В электрической схеме выводы катушек нужно маркировать, указывая начало и конец обмотки. Чтобы выяснить, какие выводы обмоток являются одноименными, проводим мысленный эксперимент.

Рассмотрим отдельно от исходной цепи магнитопровод с обмот-

ками (рис. 1.10).

Рис. 1.10

Допустим, в первую обмотку втекает увеличивающийся ток i1(t). Этот ток создает в магнитопроводе увеличивающийся магнитный поток Ф1. Его направление определено по правилу буравчика. Вторую обмотку нагружаем сопротивлением R, чтобы обеспечить возможность протекания через нее индукционного тока i2(t). По правилу Ленца магнитный поток Ф2, создаваемый второй обмоткой, будет препятствовать изменению магнитного потока в магнитопроводе, поэтому на рис. 1.10 поток Ф2 направлен встречно Ф1. Зная направление потока Ф2, применяем правило буравчика ко второй обмотке и определяем направление тока i2(t).

Напомним, что выводы двух индуктивно связанных катушек считаются одноименными, если при одинаковом направлении токов относительно них магнитные потоки само- и взаимоиндукции в катушках суммируются.

На рис. 1.10 верхний вывод первой катушки помечен значком (*) как начало обмотки. Если изменить направление тока i2(t) во второй катушке, оба магнитных потока в магнитопроводе будут суммиро-

11

ваться, т. е. верхние выводы обеих катушек являются одноименными согласно определению.

Определив одноименные выводы катушек, получаем электрическую схему замещения для исходной цепи (рис. 1.11).

M

* *

Рис. 1.11

Составим уравнения по методу контурных токов для схемы на рис. 1.11:

В уравнениях (1.7) и (1.8) учтено встречное включение катушек по отношению к выбранным направлениям токов.

ЭДС контуров:

12

Подставляем числовые значения в систему уравнений (1.5):

Умножим члены первого уравнения на 2 и вычтем его из второго:

Для цепи на рис. 1.11 возможно произвести развязку индуктивных связей, при этом расчет упростится. На рис. 1.12 представлена схема, эквивалентная исходной, но без индуктивных связей. При этом учтено, что в общем узле индуктивно связанные элементы соединяются одноименными выводами.

Рис. 1.12

Напряжение между точками a и b в схеме на рис. 1.12 удобно определить методом двух узлов:

13

По узловому напряжению определяем ток через конденсатор:

Результат совпал с полученным ранее в (1.13).

Ответ: uC (t) =10.15 × 2 ×sin(ωt + 24 ) В.

Задача 1.3. Цепь на рис. 1.13 подключена к источнику синусоидального напряжения с угловой частотой ω. В ней: R1 = 3 Ом,

R2 = 5 Ом, ХL1 = ωL1 = 5 Ом, ХL2 = ωL2 = 10 Ом, ХС = 1/ωС = 4 Ом, ко-

эффициент связи катушек k = 0.8, Eɺ1 = 50 В.

M

* * C

Рис. 1.13

Вычислить напряжение на сопротивлении R2.

14

Решение:

Запишем для цепи на рис. 1.13 систему уравнений по методу контурных токов:

В уравнении (1.22) учтено встречное включение катушек по отношению к выбранным направлениям контурных токов и встречное направление токов в общей ветви.

Подставляем числовые значения в систему уравнений (1.18):

Подставим результат (1.24) в первое уравнение системы (1.23):

15

Искомое напряжение:

Ответ: uR 2 (t) = 2 × 43.1×sin(ωt - 24 ) В.

Задача 1.4. Вычислить эквивалентную индуктивность цепи на рис. 1.14, если L1 = 0.3 Гн, L2 = 0.8 Гн, коэффициент связи катушек k = 0.7.

Рис. 1.14

Решение:

В цепи имеются две параллельно соединенные катушки с индуктивной связью. Взаимная индуктивность:

На рис. 1.14 одноименные выводы катушек присоединены к одному и тому же узлу. В этом случае эквивалентная индуктивность L вычисляется по следующей формуле:

Использованное в (1.30) соотношение можно вывести самостоятельно, если на экзамене оно не вспомнится. Допустим, цепь подключена к источнику синусоидального напряжения u с частотой ω. По

16

ветвям цепи пойдут токи i, i1 и i2 (рис. 1.14). При указанных на рис. 1.14 положительных направлениях токов и напряжения

Соотношение (1.30) получено.

Ответ: L = 0.296 Гн.

17

Задача 1.5. Первичная обмотка воздушного трансформатора (рис. 1.15) подключена к источнику синусоидального напряжения с угловой частотой ω. Здесь: R1 = 2 Ом, R2 = 5 Ом, ХL1 = ωL1 = 5 Ом,

ХL2 = ωL2 = 10 Ом, ХМ = ωМ = 4 Ом, Eɺ1 = 50 В.

Найти токи обмоток.

Решение:

Зададимся условно-положительными направлениями токов в контурах. Запишем уравнения по второму закону Кирхгофа для первичного и вторичного контуров. Учтем, что одноименные выводы обмоток по условию не обозначены.

Подставим в (1.42) исходные данные:

Систему уравнений (1.43) решаем методом Крамера. Главный определитель:

18

Вспомогательные определители:

Определяем токи обмоток:

Ответ: I1 = 10.9 А, I2 = 3.9 А. Действующие значения токов и начальная фаза первичного тока не зависит от знака, с которым в расчете учитывается взаимная индуктивность М. Начальная фаза вторичного тока меняется на 180º в зависимости от знака М.

Задача 1.6. Обмотки воздушного трансформатора (рис. 1.16) подключены к источникам синусоидального напряжения с угловой частотой ω. Здесь: R1 = 5 Ом, R2 = 2 Ом, ХL1 = ωL1 = 8 Ом,

ХL2 = ωL2 = 2 Ом, ХМ = ωМ = 2 Ом.

M

* *

Рис. 1.16

Каким должно быть отношение Eɺ2 / Eɺ1 , чтобы в первичной обмотке ток отсутствовал?

19

Решение:

Составим систему уравнений, описывающих работу трансформатора:

Первичный ток будет равен нулю, если вспомогательный определитель ∆1 = 0:

ХL1 = ωL1 = 4 Ом, ХL2 = ωL2 = 5 Ом, ХМ = ωМ = 3 Ом, ХС = 1/ωС = 8 Ом,

b

Рис. 1.17

Вычислить напряжение на индуктивности L2.

20