Электротехника. Решение типовых задач. Ч.2. Учебное пособие
.pdf
Определим ее из уравнения (5.32) при t = 0: |
|
|||||||
A = i(0) = |
uc |
(0) |
= |
24 |
= 0.024 А. |
(5.36) |
||
1 |
|
|
|
|||||
R1 |
1000 |
|||||||
|
|
|
|
|||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
i(0.1) = 0.024 × e-15×0.1 = 0.00536 А. |
(5.37) |
|||||||
Ответ: i(0.1) = 0.00536 А.
Задача 5.6. В цепи на рис. 5.6 действует источник синусоидального напряжения 2400 В, 60 Гц, L = 0.03 Гн, R = 0.24 Ом.
L |
К |
R |
e(t) |
Рис. 5.6
Ключ замыкается в момент, когда напряжение e(t) проходит через 0 и начинает возрастать. Записать выражение для тока в цепи.
Решение:
Вычислим принужденную составляющую тока, используя комплексный метод расчета:
Iɺ= |
Eɺ |
= |
Eɺ |
= |
|
2400 |
|
= 212.14 |
× e- j 89 |
|
; (5.38) |
|
Z |
R + j × 2 ×π × f × L |
0.24 + j ×377 × 0.03 |
|
|||||||||
|
|
|
i¢(t) = 212.14 × |
|
× sin(377t - 89 ). |
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
(5.39) |
||||||
Свободную составляющую тока определяем из однородного дифференциального уравнения, описывающего цепь после коммутации:
L |
di′′ |
+ R ×i¢¢ = 0; |
(5.40) |
||
|
|||||
|
dt |
|
|||
i¢¢ = A × e- |
R |
|
|||
|
t = A × e-8t , |
(5.41) |
|||
L |
|||||
91
где А – постоянная интегрирования. Определим ее, воспользовавшись законом коммутации для индуктивности:
i = i′ + i′′ = 300sin(377t − 89 ) + Ae−8t ; |
(5.42) |
i(0) = 0; |
(5.43) |
i = 299.93e−8t + 300sin(377t − 89 ). |
(5.44) |
Ответ: i = 299.93e−8t + 300sin(377t − 89 ) А.
Задача 5.7. В цепи на рис. 5.7 действует источник синусоидаль-
ного напряжения e(t ) = 100 sin 377 t |
В, XL = 377 Ом, R = 1000 Ом, |
|||||
XC = 5300 Ом. Ключ замыкается. |
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
||
|
|
|||||
R |
e(t) |
К
Рис. 5.7
Определить начальное значение тока и установившийся ток.
Решение:
Запишем выражение для тока в цепи до коммутации:
Iɺ= |
Eɺ |
= |
100 |
|
= |
1 |
|
×19.9 × e j 79 ; (5.45) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
R + j × ( X L - X C ) |
|
2 ×[1000 + j × (377 - 5300)] |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
i(t) = 19.9sin(377t + 79 ) мА. |
(5.46) |
|||||||
92
Ток в цепи проходит через индуктивность, в отношении его действует закон коммутации, поэтому
|
i(0) = i(−0) = 19.9sin(79 ) = 19.5 мА. |
|
|
|
|
(5.47) |
|||||||
Установившийся ток: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Eɺ |
100 |
|
1 |
|
|
|
j 90 |
|
||||
Iɺ = |
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
× 20.3 |
× e |
|
; (5.48) |
j × ( X L - X C ) |
|
|
×[ j × (377 - 5300)] |
|
|
|
|
||||||
|
2 |
2 |
|
||||||||||
i(t) = 20.3sin(377t + 90 ) мА. |
|
|
|
|
|
|
(5.49) |
||||||
Ответ: i(0) = 19.5 мА, |
i(t) = 20.3sin(377t + 90 ) мА. |
|
|
|
|||||||||
Задача 5.8. В цепи на рис. 5.8 R = 1000 Ом, L = 0.25 Гн.
L
R
Рис. 5.8
Определить переходную проводимость со стороны индуктивности.
Решение:
Получим выражение для входного тока при подаче на цепь постоянного напряжения U. Для получения переходной проводимости поделим результат на U.
Задача о подключении RL цепи к источнику постоянного напряжения рассмотрена в учебниках по электротехнике, решение известно:
|
|
|
|
|
U |
(1 - e− |
R |
|
||
|
i(t) = |
|
t ). |
(5.50) |
||||||
L |
||||||||||
R |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Переходная проводимость: |
|
|
|
|
||||||
|
1 - e− |
R |
|
|
|
|
|
|
||
h(t) = |
|
t |
|
|
||||||
L |
= 0.001× (1 - e−4000t ) См. |
(5.51) |
||||||||
|
|
|
||||||||
R
Ответ: h(t) = 0.001× (1 - e−4000 t ) См.
93
Задача 5.9. В цепи на рис. 5.9 R = 10 Ом, C = 50 мкФ, U = 100 В.
На момент коммутации емкость имела заряд 2.5 мК. Определить ток в цепи после коммутации, используя преобразование Лапласа.
C К
R 
U
Рис. 5.9
Решение:
Запишем уравнение для цепи после коммутации во временной области:
|
|
1 |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
R ×i(t) + |
|
|
|
Q0 |
+ |
∫ i(τ ) × dτ = U ; |
|
|
|
|
|
(5.52) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
C |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
−3 |
|
t |
|
|
|
|||
10 ×i(t) + |
|
|
|
|
|
|
(-2.5 ×10 |
|
) + |
∫ i(τ ) × dτ = 100. |
(5.53) |
||||||||
|
|
|
|
−6 |
|
|
|||||||||||||
|
|
50 ×10 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||
Начальному заряду емкости приписан знак (-), т. к. источник |
|||||||||||||||||||
напряжения ее перезарядит. Запишем изображение для (5.53): |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2.5 ×10−3 |
I ( p) |
|
|
100 |
|
|
||||||||
10 × I ( p) - |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
= |
|
|
; |
(5.54) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
50 ×10−6 × p 50 ×10−6 × p |
|
p |
|
|||||||||||
I ( p) = |
|
|
|
|
15 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.55) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
p + 2 ×103 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
i(t) = 15 × e−2000 t |
А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.56) |
|||||||||
Ответ: i(t) = 15 × e−2000 t |
А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Задача 5.10. К емкости |
20 |
мкФ |
приложено напряжение |
||||||||||||||||
u = 10.75 -1.5 × e−1000 t . Записать выражение для тока. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
94
Решение:
iC = C duC = 20 ×10−6 × (-1.5) × (-1000) × e−1000t = 0.03 × e−1000t А. (5.57) dt
Ответ: iC = 0.03 × e−1000 t А.
Задачи для самостоятельного решения
1. В цепи на рис. З5.1: R1 = 20 Ом; R2 = R3 = 40 Ом; U =60 В;
C = 1 мкФ; L = 0.2 Гн, ключ замыкается. Определить начальное и установившееся значения напряжения на емкости.
i1 R1 i2 |
|
|
R2 |
i3 |
L |
|||
U |
|
|
|
|
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
||
C |
|
|
R3 |
|
|
|||
|
|
Рис. З5.1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
2. В цепи на рис. З5.2: R1 = 20 Ом; R2 = 10 Ом; R3 = 20 Ом;
U = 60 В; C = 1 мкФ; L = 1 мГн, емкость не заряжена, ключ замыкается. Найти начальное и установившееся значения напряжения на R1.
i1 |
R1 |
L |
R3 |
i3 |
U
R2 |
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
||
i2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Рис. З5.2
3. Последовательная цепь R = 500 кОм, C = 0.5 мкФ включается под постоянное напряжение 5 В. Определить закон изменения напряжения на конденсаторе.
95
4.Последовательная цепь R = 500 Ом, L = 0.5 Гн включается под постоянное напряжение 5 В. Записать изображение напряжения на индуктивности.
5.Используя теорему разложения, найти оригинал для выраже-
ния |
|
2 р2 |
− 9 р − 35 |
. |
|
( р +1)( р − 2)( р + 3) |
|||
|
|
|
||
|
6. К |
последовательно соединенным сопротивлению 120 Ом |
||
и конденсатору 30 мкФ подведено напряжение 311·Sin(314 t + π/10) B. Определить полное сопротивление цепи.
7.Емкость 10 мкФ и сопротивление 5 Ом соединены последовательно. К ним подключают источник постоянного напряжения 15 В. Определить начальный ток.
8.Индуктивность 50 мГн и сопротивление 7 Ом соединены последовательно. К ним подключают источник постоянного напряжения 15 В. Определить начальное напряжение на индуктивности.
9.Емкость 5 мкФ и сопротивление 20 кОм соединены последовательно. К ним подключают источник постоянного напряжения 10 В. Определить напряжение на емкости через 30 мс после коммутации.
10.Через катушку с активным сопротивлением 1.2 Ом, индуктивностью 9 Гн идет ток 50 А. Катушка отключается от источника энергии. Вычислить скорость изменения тока при коммутации.
96
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Ознакомление с примерами решения типовых задач по электротехнике позволит студентам лучше усвоить теоретический материал
иподготовиться к письменному экзамену или зачету по электротехнике.
Вданном пособии представлены задачи по разделам курса электротехники: установившийся синусоидальный ток в линейных электрических цепях, цепи с взаимной индуктивностью, трехфазные цепи, периодические несинусоидальные токи в линейных электрических цепях, нелинейные электрические и магнитные цепи, законы магнитных цепей, ферромагнитные материалы, катушки и трансформаторы с ферромагнитным сердечником, операторный и классический методы расчета переходных процессов в линейных электрических цепях, интеграл Дюамеля. В дальнейшем предполагается охватить и другие разделы.
Задачи для самостоятельного решения в конце каждого раздела помогут студенту проконтролировать степень освоения теоретического материала.
Экзаменационные задачи в приложении позволят студенту соотнести свой уровень освоения электротехники с требуемым в ведущих зарубежных вузах.
97
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. MIT OPENCOURSEWARE (Massachusetts Institute of Technology). Circuits and electronics. Exams. [Электронный ресурс]. – URL:
http://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-002- circuits-and-electronics-spring-2007/exams/ (дата обращения: 10.02.2017).
2.Electrical engineering department (California polytechnic state university). EE 112. Electric circuit analysis. Final exam. [Электронный ресурс]. URL:
https://courseware.ee.calpoly.edu /~jzhang/ EE112/ Midterm1Solution.pdf (дата обращения: 10.02.2017).
3. Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники: Учебник для вузов // К.С. Демирчян, Л.Р. Нейман, Н.В. Коровкин. – СПб.: Питер, 2009. – Т. 1. – 512 с.; Т. 2. – 431 с.
4. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи: Учебник для бакалавров. – М.: Юрайт, 2014. – 701 с. –
ISBN:9785991632102.
5.Атабеков Г.И. Теоретические основы электротехники. Линейные элек-
трические цепи: Учебник. – СПб.: Лань, 2010. – 432 с. – ISBN 9785811408030.
6.Иванов И.И., Соловьев Г.И., Фролов В.Я. Электротехника и основы элек-
троники: Учебник. – СПб.: Лань, 2012. – 496 с. – ISBN 9785811405237.
7.Белов Н.В., Волков Ю.С. Электротехника и основы электроники: Учеб.
пособие. – СПб.: Лань, 2012. – 432 с. – ISBN 9785811412259.
8.Теоретические основы электротехники. Интернет-тестирование базовых знаний: Учеб. пособие / Под ред. П.А. Бутырина, Н.В. Коровкина. – СПб.: Лань,
2012. – 336 с. – ISBN 978-5-8114-1205-1.
9. Электротехника. Решение типовых задач. Ч. 1: Учеб. пособие / В.Ф. Яковлев. – Самара: Самар. гос. техн. ун-т, 2017. – 107 с.
98
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
№ |
|
|
Номер раздела |
|
|
|
|
||
задачи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
5 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1.315 sin |
2.2 А |
|
-45º, -135º |
|
1.83·106 Гн-1 |
48 В, 40 В |
||
|
(10000t + 83º) В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0.197e-j61º А |
8.8 А |
|
1.15 В, 1 В |
|
0.83 А |
40 В, 40 В |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1000 Вт |
18.7 А |
|
45 В |
|
1.5 Т |
5(1−e −4t ) В |
||
4 |
447 Вт |
47.8 А |
|
287 В |
|
7.6 Вт |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р +1000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5 |
Не изменятся |
743.6 Вт |
|
3.2 А |
|
1000 |
4e−t −3e2t |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
+e−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6 |
0.04 с, 40º30´ |
18.6 Ом |
|
5.12Ом |
|
12 Ом |
160 Ом |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
0.12 Гн |
12 В |
|
2:1 |
|
3939 А |
|
3 А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
0.8 |
34.6 А |
|
2:1 |
|
23870 А |
|
15 В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
80 мГн |
Увеличит- |
|
106В |
|
960 А/м |
|
2.59 В |
|
|
|
ся в 3 раза |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10 |
190 мГн |
100 В |
|
60 В |
|
1 В |
6.67 А/с |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
99
ПРИЛОЖЕНИЕ
Примеры задач из экзаменационного билета по электротехнике в Массачусетском технологическом институте
(Massachusetts Institute of Technology)
Экзамены в зарубежных университетах обычно сдаются письменно. Экзаменуемые одновременно садятся за столы по одному, получают экзаменационные билеты. В титульной части билета вписываются имя (Name) и университетский идентификационный номер (Student ID) студента. Для каждой задачи в билете имеется достаточно места для записи решения.
После завершения экзамена заполненные экзаменационные билеты с решениями передаются преподавателям, которые проверяют их и оценивают ответы.
На рис. П1 приведена титульная часть экзаменационного билета по курсу «Электрические цепи и электроника». Курс читался на факультете электротехники и вычислительной техники в Массачусетском технологическом институте [1]. Это итоговый экзамен в конце семестра (final).
Экзаменационный билет (exam paper) отпечатан на 31 листе формата А4; если не хватает места, студенты пишут на обратной стороне листа. В билете 25 задач, на их решение дается 3 часа. Задачи имеют разные уровни трудности, студентам рекомендуется сначала решить более простые, затем перейти к сложным. Решить все задачи удается немногим, цель студента – набрать большее количество баллов. На экзамене можно пользоваться непрограммируемым калькулятором. Использование конспектов лекций, учебников, телефонов, планшетов и т. д. запрещено. Решение каждой задачи оценивается в баллах. Преподаватель проставляет результаты проверки каждой задачи в соответствующую ячейку таблицы в титульной части билета.
100