Экономико-математические методы исследования и моделирования национальной экономики практические решения. Учебное пособие

Практические задания

Задача 1. Функция рыночного спроса от цены задана табличными данными (табл. 1.12).

Таблица 1.12

Линейно аппроксимируя функцию спроса между известными значениями, определить спрос при p 4 ,6 ,7 ,10 и заполнить «пустые» (содержащие знак вопроса) клетки таблицы.

Задача 2. Задана функция предложения (табл. 1.13).

Таблица 1.13

Линейно аппроксимируя функцию предложения между известными значениями, определить предложение при p 4 ,6 ,7 ,10 и заполнить «пустые» (содержащие знак вопроса) клетки таблицы.

21

Задача 3. Определить эластичность предложения по цене для каждой из представленных функций:

Задача 4. Выполнить несколько итераций приближения к состоянию равновесия на основе паутинообразной модели рынка.

Функция спроса: D ( p ) 20 2 p . Функция предложения: S ( p ) p 4 . Определить равновесную цену.

Задача 5. Убедитесь в том, что равновесное состояние рынка неустойчиво при следующих функциях.

Установить равновесную цену. Определить величину выручки в состоянии равновесия.

Определить цену, при которой выручка достигнет максимальной величины. Рассчитать максимальное значение выручки.

Задача 7. Оценить устойчивость равновесного состояния рынка в предыдущей задаче. Привести доказательство: если состояние равновесия устойчивое, то максимально возможная выручка достигается обязательно при равновесной цене.

22

Тема 1.8. Модель денежного обращения

Цель занятий

–получить представление о кругообороте товаров и денег на основе модели денежного обращения;

–знать основные виды ценных бумаг и методы определения их стоимости;

–уметь определять нормы процента с учетом фактора времени и

вусловиях инфляции;

–получить навыки расчета простых и сложных процентов с учетом дисконтирования.

Вопросы для обсуждения

1. Основной кругооборот товаров и денег. Расходы на производство и инвестиции. Расходы на потребление и сбережения. Платежи за ресурсы и отчисления. Национальный доход и дивиденды. Финансовые рынки.

2. Процентная ставка. Норма процента. Инфляция. Простые и сложные проценты. Наращенные и дисконтированные суммы. Прямая задача. Обратная задача.

3.Рыночная цена ценных бумаг. Акции и облигации. Номинал ценной бумаги. Срок действия ценных бумаг. Норма процента. Эквивалент будущего дохода.

4.Опционы и фьючерсные контракты. Предвидение будущих событий. Фьючерсные контракты. Стабильность экономики. Снижение риска. Страхование риска.

5.Норма процента и инфляция. Инфляционные ожидания. Покупательная способность. Денежное содержание. Скорость роста реального денежного содержания.

23

бессрочная.

Оценить текущий (на сегодняшний день) эквивалент будущего дохода от облигации, если норма процента 3 % в год.

Задача 2. Гражданин получил от своего должника вексель на 100 000 руб. Однако ему срочно нужны деньги, и он решил отнести вексель в банк.

Что произойдет в банке? Какую сумму получит гражданин как владелец векселя?

Задача 3. Во сколько раз увеличится за сто лет денежная сумма, положенная в банк под 3 % в год?

Задача 4. Во сколько раз уменьшится реальное содержание денежных средств «в банке» при инфляции 5 % в год?

Задача 5. Какую сумму бабушка должна положить в банк (под 4 % в год) в день рождения внука, чтобы к его совершеннолетию была сумма $ 20 000?

Задача 6. Осенью 2015 года в Российской Федерации были выпущены облигации сберегательного займа. Первый транш облигаций выпущен 10 октября. Ежеквартальные выплаты по этому траншу составляют 25 %. Определить рыночную цену облигации в 100 000 руб. на следующий день после погашения первого купона. Годовая инфляция – 40 %.

Задача 7. В 2016 году темп инфляции составит от 5 до 12 %. Если курс доллара в конце 2016 года будет 80 руб. против текущих 70 руб., как изменится покупательная способность доллара к концу

2016 года?

24

Тема 1.9. Модели социальной динамики

Цель занятий

–получить представление о социально-экономической структуре современного общества;

–знать основные модели социальной динамики: распределения богатства, распределения населения по уровню дохода, возрастной структуры, предпочтений потребителя;

–уметь использовать модели социальной динамики в целях анализа экономических систем;

–получить навыки расчетов основных показателей, характеризующих социально-экономическую структуру общества.

Вопросы для обсуждения

1.Модель распределения богатства в обществе. Кривая распределения. Коэффициент Джини. Функция распределения богатства в обществе. Практическое применение модели распределения богатства

вуправленческих решениях.

2.Распределение общества по получаемому доходу. Среднемесячный доход. Функция распределения случайной величины. Уровень среднемесячного дохода человека как показатель уровня жизни.

3.Распределение общества по возрасту. Продолжительность человеческой жизни как случайная величина. Вероятность продолжительности жизни. Функция выживания. Страхование жизни и здоровья людей.

4.Модель определения предпочтений потребителя. Гравитационная аналогия в определении предпочтений потребителя. Пространственное распределение населения. Притягательность городов. Линия равной притягательности.

25

Практические задания

Задача 1. Пусть функция распределения богатства описывается выражением d ( z ) z 3 . Определить коэффициент Джини и функцию w ( t ) , которая характеризует уровень богатства самых состоятельных людей общества.

Задача 2. Функция распределения богатства в обществе описывается выражением d ( z ) z 2 ( z a ) /(1 a ), a 0 . Определить величину a из условия, что пятая часть самых бедных людей владеет 2 % всего богатства. Определить коэффициент Джини и функцию уровня богатства самых состоятельных людей общества w ( t ) .

Задача 3. Пусть распределение богатства в обществе опасно не-

справедливо, если d 1 . Установить, является ли опасно несправед-

5

ливым распределение богатства при функции d ( z ) z 2 .

Задача 4. Предложить ответы на вопросы:

–почему график функции d ( z ) идет ниже биссектрисы первого координатного угла, а функции w ( t ) – выше?

–какой смысл имеет производная функции d ( z ) ?

– справедливо ли утверждение, что функция d ( z ) выпуклая, а w ( t ) – вогнутая? Что это значит?

Задача 5. Пусть на наше общество «свалился с неба» $1 млрд. Как разделить эту сумму между членами общества пропорционально имеющемуся у них богатству?

Задача 6. Как по функции распределения продолжительности жизни W ( t ) и функции выживания s ( t ) ответить на вопрос, какова средняя продолжительность жизни в нашем обществе? Определить вероятность случайно выбранному человеку в возрасте 60 лет дожить до 100 лет.

26

Тема 1.10. Прикладные модели экономических процессов

Цель занятий

–получить представление о моделировании спроса и поведения потребителей в зависимости от различных факторов;

–знать основные модели управления запасами, применяемые на промышленных предприятиях;

–уметь использовать теорию массового обслуживания в решении практических экономических задач;

–получить навыки моделирования и оптимизации на основе различных критериев в теории игр.

Вопросы для обсуждения

1.Моделирование спроса и потребления. Целевая функция потребления. Моделирование поведения потребителей. Кривые безразличия. Функции покупательского спроса. Прямые и перекрестные коэффициенты эластичности. Структурные модели спроса. Конструктивные модели спроса.

2.Модели управления запасами. Классическая задача управления запасами. Плотность распределения случайной величины спроса. Система регулирования запасов. Фиксированный размер заказа. Фиксированный интервал заказа. Модель экономически выгодного размера партии. Оптимальный размер партии.

3.Моделирование систем массового обслуживания. Теория массового обслуживания. Классификация систем массового обслуживания. Законы распределения в теории массового обслуживания. Аналитические методы теории массового обслуживания. Имитационное моделирование.

4.Элементы теории игр в задачах моделирования экономических процессов. Теория игр как выбор оптимальных решений на предприятии. Правила игры. Стратегия игры. Матрица игры. Критерии оценки результата игры.

27

Практические задания

Задача 1. Целевая функция потребления для двух товаров опи-

1.Вычислить предельные полезности.

2.Использовать необходимые условия оптимума целевой функции потребления:

Задача 2. Торговая компания реализует телевизоры со склада по заявкам потребителей. Ежедневный спрос является случайной величиной с симметричной «треугольной» функцией плотности распределения. Колебания спроса характеризуются пределами от 30 до 70 единиц в день. Средние издержки хранения одного телевизора на складе составляют 6 руб. Потери (в форме штрафа) за срыв поставки одного телевизора – 12 руб.

Определить стратегию оптимального пополнения запаса телевизоров и минимальные полные издержки.

Задача 3. Магазин электронной бытовой техники ежедневно продает 100 пылесосов. Накладные расходы на поставку одной партии составляют 3000 руб. Стоимость хранения одной единицы товара на складе магазина – 60 руб.

Определить оптимальный объем партии заказа пылесосов, оптимальные среднесуточные издержки на хранение и пополнение запаса пылесосов на складе.

28

Задача 4. На АЗС имеются две колонки для заправки автомобилей. Появление автомобилей на АЗС описывается распределением Пуассона со средней частотой 2 автомобиля в течение 5 мин. Время заправки автомобиля характеризуется распределением по экспоненте, в среднем 3 мин.

Определить:

–вероятность ситуации, что на заправке не окажется ни одного автомобиля;

–вероятность того, что обе колонки будут заняты;

–среднюю длину очереди в ожидании заправки;

–среднее время ожидания автомобиля в очереди.

Задача 5. Ниже представлены платежные матрицы:

Определить нижнюю и верхнюю цену игры, стратегии игроков (исходя из принципа гарантированного результата).

Установить оптимальное решение игры, ели существует седловая точка.

29

Тема 1.11. Модели антикризисного менеджмента

Цель занятий

– получить представление о задачах оптимизации параметров реорганизационной политики;

– знать процесс оптимизации стратегии развития предприятия на основе типовых моделей менеджмента;

–уметь исследовать варианты построения прогнозных моделей по результатам деятельности предприятия;

–получить навыки построения моделей для оптимизации бюджета развития компании.

Вопросы для обсуждения

1.Модель оптимизации параметров реорганизационной политики. Платежеспособность предприятия. Баланс. Процедура реструктуризации баланса. Политика управления активами и пассивами. Финансовая самостоятельность. Финансовая устойчивость предприятия. Задача оптимизации.

2.Модель оптимизации стратегии развития предприятия. Построение оптимальных стратегий развития предприятий. Целевые функции формирования стратегии развития. Источники и направления распределения средств стратегического развития.

3.Прогнозные модели результатов деятельности предприятия. Установление зависимостей от изменения параметров реорганизационных политик и стратегий развития. Взаимосвязь прогнозируемых параметров с прогнозируемыми результатами.

4.Модель оптимизации бюджета развития компании. Бюджетное планирование. Эффективный подход к формированию бюджета развития компании. Ограничения задачи. Целевая функция как требование минимума суммы инвестиций в цели стратегического развития предприятия.

30