1.7. Контрольные вопросы

1. Как вводится понятие типовые (элементарные) звенья в теории автоматического управления?

2. Какие типовые звенья применяются в системах автоматического управления?

3. Что называется передаточной функцией звена или системы управления?

4. Что называется переходной функцией звена?

5. Как связана переходная функция звена с передаточной функцией?

6. Нарисуйте графики переходных функций типовых звеньев.

7. Какие виды частотных характеристик существуют и как их определить по передаточной функции?

8. Как определяются экспериментально частотные характеристики?

9. Как влияют изменения коэффициентов передачи и постоянных времени на временные и частотные характеристики различных звеньев?

Лабораторная работа № 2

Исследование Устойчивости линейных систем автоматического управления

2.1. Цель работы

Целью настоящей работы является изучение методов исследования и обеспечения устойчивости линейных систем автоматического управления.

2.2. Теоретическая часть

2.2.1. Основные понятия устойчивости линейных систем

Устойчивость – это свойство динамической системы возвращаться в исходный или близкий к нему установившийся режим после всякого выхода из него в результате какого-либо воздействия.

Приведенное понятие устойчивости определяет устойчивость установившегося режима системы. Поэтому можно дать следующее, более общее определение устойчивости: система устойчива, если ее выходная величина остается ограниченной в условиях действия на систему ограниченных по величине возмущений [4].

Рис. 2.1. К понятию устойчивости системы

На рис. 2.1 показаны типичные кривые переходных процессов в неустойчивой (а) и устойчивой (б) системах при импульсных возмущениях.

Структурная схема замкнутой системы автоматического управления приведена на рис. 2.2, где – передаточная функция разомкнутой системы

.

Рис. 2.2. Структурная схема САУ

Дифференциальное уравнение замкнутой системы

, (2.1)

передаточная функция

, (2.2)

где – выходная величина;– задающее воздействие.

Тогда характеристическое уравнение системы

. (2.3)

Необходимым и достаточным условием устойчивости линейной системы автоматического управления является отрицательность вещественных частей всех корней ее характеристического уравнения.

Если изобразить корни характеристического уравнения системы точками на комплексной плоскости, то условие устойчивости линейной системы можно сформулировать еще так: условием устойчивости системы является расположение всех корней характеристического уравнения, т.е. полюсов передаточной функции системы, в левой комплексной полуплоскости или, короче, все они должны быть левыми.

В теории автоматического управления пользуются условиями, которые позволяют судить о расположении корней в левой полуплоскости без нахождения их значений. Эти условия называются критериями устойчивости. Существующие критерии устойчивости делятся на две группы: алгебраические и частотные критерии.

2.2.2. Алгебраические критерии устойчивости

Условия устойчивости в алгебраических критериях сводятся к выполнению ряда неравенств, связывающих коэффициенты уравнения системы. В разной форме алгебраический критерий Рауса-Гурвица был предложен английским математиком Е. Раусом, а затем швейцарским математиком А. Гурвицем в 19 веке. Приведем без доказательства этот критерий в форме Гурвица [4].

Возьмем характеристический полином, определяющий левую часть дифференциального уравнения системы,

,

где полагаем , что всегда можно обеспечить умножением при необходимости полинома на. Составим из коэффициентов этого полинома определитель

. (2.4)

Этот определитель называется определителем Гурвица. Он имеет строк истолбцов. Первая строка содержит все нечетные коэффициенты до последнего, после чего строка заполняется до положенного числаэлементов нулями. Вторая строка включает все четные коэффициенты и также заканчивается нулями. Третья строка получается из первой, а четвертая – из второй сдвигом вправо на один элемент. На освободившееся при этом место ставится нуль. Аналогично сдвигом вправо на элемент получаются все последующие нечетные и четные строки из предыдущих одноименных строк.

В результате в главной диагонали определителя оказываются последовательно все коэффициенты кроме .

Условие устойчивости заключается в требовании положительности определителя Гурвица и всех его диагональных миноров:

; . (2.5)

Развернем критерий Гурвица для нескольких конкретных значений .

Для

и условия устойчивости сводятся к неравенствам

; .

Для

и условия устойчивости сводятся к неравенствам

; ;.

Для

и условия устойчивости сводятся к неравенствам

; ;;;

.

В общем случае системы -го порядка можно показать, что в условия устойчивости в качестве их части входит требование положительности всех коэффициентов уравнения, что является необходимым условием устойчивости.

Можно показать, что если выполнены все условия критерия Гурвица, кроме одного , то характеристическое уравнение системы имеет пару сопряженных чисто мнимых корней. Если же выполнены все условия Гурвица, кроме одного, то уравнение имеет один нулевой корень. И в одном, и в другом случае система находится на границе устойчивости: в первом случае она называется границей колебательной устойчивости, а во втором – апериодической устойчивости [3].

2.2.3. Частотные критерии устойчивости

Принцип аргумента. В основе частотных критериев устойчивости лежит известный в теории функций комплексного переменного принцип аргумента [2, 3].

Пусть дано алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами

.

Многочлен можно представить в виде

,

где – корни уравнения .

Положим , тогда

.

Изменение аргумента комплексного числа при изменениив пределах отдоравно

, (2.6)

где – число корней в левой и – число корней в правой полуплоскости комплексной плоскости.

Таким образом, принцип аргумента формулируется следующим образом. Изменение аргумента при измененииотдоравно разности между числом корнейуравнения, лежащих в левой полуплоскости, и числом корнейлежащих в правой полуплоскости, умноженной на.

Критерий Михайлова. Критерий устойчивости А.В. Михайлова, сформулированный им в 1938 г., является по существу геометрической интерпретацией принципа аргумента [2].

Пусть дано характеристическое уравнение системы

.

Для того чтобы система была устойчива, необходимо, чтобы все корни характеристического уравнения лежали в левой полуплоскости, т.е. чтобы . В этом случае должно удовлетворяться условие

или

. (2.7)

Геометрическое место конца вектора при измененииот 0 доназывается годографом вектора, или годографом Михайлова.

Отсюда следует формулировка критерия устойчивости Михайлова. Система автоматического управления устойчива, если годограф с ростомот 0 до, начинаясь на действительной оси, обходит последовательно в положительном направлении (против часовой стрелки)квадрантов, где– порядок характеристического уравнения.

На рис. 2.3 показаны типичные годографы Михайлова для устойчивых систем, описываемых уравнениями от первого до пятого порядка.

Рис. 2.3. Годографы Михайлова для устойчивых систем

Критерий Найквиста. Этот критерий устойчивости был предложен Г. Найквистом (1932 г.) для исследования устойчивости усилителей с обратной связью [3].

Для исследования устойчивости замкнутой системы управления согласно этому критерию необходимо знать амплитудно-фазовую частотную характеристику (частотный годограф) разомкнутой системы, которую можно получить как аналитически, так и экспериментально.

Пусть передаточная функция разомкнутой системы

.

Подставляя в это выражение , получаем амплитудно-фазовую частотную характеристику разомкнутой системы

. (2.8)

Если изменять частоту отдо, то векторбудет меняться по величине и по фазе. Кривую, описываемую концом этого вектора в комплексной плоскости, называют амплитудно-фазовой характеристикой разомкнутой системы (годографом Найквиста).

Амплитудно-фазовая характеристика симметрична относительно вещественной оси, поэтому обычно вычерчивают только ту часть ее, которая соответствует положительным частотам, а другая ее часть при отрицательных частотах может быть найдена как зеркальное отражение предыдущей части относительно вещественной оси.

Разомкнутая система может быть устойчивой, неустойчивой и находиться на границе устойчивости.

Общая формулировка критерия Найквиста охватывает все три случая. Для устойчивости замкнутой системы автоматического управления необходимо и достаточно, чтобы разность между числами положительных и отрицательных переходов частотного годографа амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы через отрицательную действительную полуось отдобыла равна, где– число корней характеристического уравнения разомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости.

При этом переход считается положительным, если при возрастании годограф переходит из верхней полуплоскости в нижнюю, и отрицательным, если годограф переходит из нижней полуплоскости в верхнюю.

Для систем, находящихся в разомкнутом состоянии на границе устойчивости с нулевыми корнями характеристического уравнения, число считается равным нулю, а годографберется с дополнением в бесконечности.

Если система автоматического управления в разомкнутом состоянии устойчива, т.е. , то для устойчивости замкнутой системы необходимо, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристикане охватывала точку с координатами.

Таким образом, для этого наиболее часто встречающегося на практике случая получаем следующую формулировку критерия Найквиста. Если разомкнутая система автоматического управления устойчива, то замкнутая система автоматического управления будет устойчива, если амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы не охватывает точку. На рис. 2.4 годограф 1 соответствует устойчивой системе, а годограф 2 – соответствует неустойчивой системе.

Рис. 2.4. Годографы Найквиста

2.2.4. Запасы устойчивости. Логарифмический частотный критерий устойчивости

Поскольку параметры системы определяют обычно приближенно, и в процессе работы они могут изменять свою величину, то важное значение имеет оценка удаления амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы от точки. Это удаление определяет запас устойчивости, который характеризуется двумя величинами: запасом устойчивости по фазе и запасом устойчивости по амплитуде [2].

Запас устойчивости по фазе определяют как величину угла для частоты среза, при которой.

Запас устойчивости по амплитуде определяют как величину отрезка оси абсцисс , заключенного между критической точкойи амплитудно-фазовой характеристикой (рис. 2.5, а).

С ростом коэффициента усиления разомкнутой системы модуль амплитудно-фазовой характеристики также растет и при некотором значении коэффициента усиления , называемого критическим коэффициентом усиления, амплитудно-фазовая характеристика пройдет через точку, т.е. система будет на границе устойчивости. Присистема будет неустойчива.

Запасы устойчивости обычно определяют по логарифмическим частотным характеристикам (рис. 2.5, б).

Рис. 2.5. Определение запасов устойчивости

Логарифмический частотный критерий устойчивости. Из критерия Найквиста следует, что устойчивая в разомкнутом состоянии система, будет устойчивой и в замкнутом состоянии, если сдвиг по фазе на частоте среза не достигает величины .

2.2.5. Метод D-разбиения

При исследовании устойчивости большое практическое значение имеет построение областей устойчивости в плоскости одного или нескольких параметров, влияние которых на устойчивость исследуют.

Уравнение границ областей устойчивости можно находить, пользуясь любым критерием устойчивости. Однако чаще всего на практике применяют наиболее общий метод построения областей устойчивости, который был предложен Ю.И. Неймарком и назван им методом D-разбиения [2].

Рассмотрим характеристическое уравнение замкнутой системы n-порядка

,

которое имеет n корней, расположение которых на комплексной плоскости корней p зависит от численных значений коэффициентов .

Методом D-разбиением называют разбиение пространства параметров (или коэффициентов) на области с различным распределением корней характеристического уравнения. Области обозначаются через , где– число корней уравнения в правой полуплоскости. Среди всех областейD-разбиения лишь одна является областью устойчивости.

Предположим, что требуется выяснить влияние на устойчивость какого-либо параметра линейно входящего в характеристическое уравнение. Для этого сначала характеристическое уравнение приводят к виду

, (2.9)

где – полином, не зависящий от параметра .

Границы D-разбиения определяются уравнением

,

так как границей между правой и левой полуплоскостями является мнимая ось, на которой при.

Решая уравнение относительно , найдем выражение для границыD-разбиения

. (2.10)

При этом параметр оказывается комплексным. Поскольку параметры в линейных системах являются не комплексными, а вещественными, то последнее уравнение необходимо дополнить условием

.

Для построения границы D-разбиения на комплексной плоскости достаточно построить ее для положительных значений : , а затем построенный участок дополнить зеркальным отображением построенного участка относительного действительной оси (рис. 2.6).

Рис. 2.6. D-разбиение по одному параметру

Если при изменении отдов плоскости корнейдвигаться по мнимой оси и штриховать ее слева, то такому движению в плоскости соответствует движение по границеD-разбиения, которую также штрихуют слева по обходу при изменении отдо.

Для определения области , и в частности области устойчивости, достаточно знать распределение корней, т.е. число правых и левых корней при каком-либо одном произвольном значении параметра . Переходя в плоскостиот этого параметра к любому другому, по числу пересечений границыD-разбиения, направлению и числу штриховок можно определить в любой другой точке.

Претендентом на область устойчивости является область, внутрь которой направлена штриховка. Чтобы установить, является ли эта область действительно областью устойчивости, необходимо задаться каким-либо значением , лежащим в этой области. Подставивв характеристическое уравнение, нужно, используя любой критерий устойчивости, установить, все ли корни характеристического уравнения будут при этом левыми. Если при этом не все корни будут левыми, то области устойчивости нет, т.е. изменением только параметранельзя сделать систему устойчивой.

Так как изменяемый параметр является вещественным числом, то из полученной области выделяют только отрезок устойчивости, т.е. отрезок вещественной оси, лежащий в области устойчивости, например отрезок АБ.