Управление рисками. Практикум. Учебное пособие
.pdf
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ
ФГБОУ ВО «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ ИНЖЕНЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ»
С. Н. ЧЕРНЯЕВА, Л. А. КОРОБОВА, И. С. ТОЛСТОВА
УПРАВЛЕНИЕ РИСКАМИ
Утверждено редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
ВОРОНЕЖ
2022
УДК 330.131.7 ББК В18я7+З973.2-018я7
Ч-49
Научный редактор профессор Д. В. АРАПОВ
Р е ц е н з е н т ы:
зав. кафедрой вычислительной техники и информационных систем Воронежского лесотехнического университета им. Д.С. Морозова д-р техн. наук В. В. ЛАВЛИНСКИЙ;
к. т. н. Н. В. АКАМСИНА Воронежский государственный технический университет
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Воронежского государственного университета инженерных технологий
Черняева, С. Н.
Ч-49 Управление рисками. Практикум [Текст] : учеб. пособие / С. Н. Черняева, Л. А. Коробова, И. C. Толстова; Воронеж. гос. ун-т инж. технол. - Воронеж: ВГУИТ, 2022. – 90 с.
ISBN 978-5-00032-574-2
|
Учебное |
пособие |
разработано в |
соответствии с требованиями ФГОС ВО |
|
||
подготовки выпускников по |
направлению09.04.03 - «Прикладная информатика». Оно |
|
|||||
предназначено для закрепления теоретических знаний дисциплин цикла1.БВ пособии |
|
||||||
рассмотрено |
управление |
рисками |
автоматизированных |
восстанавливаемых |
и |
||
невосстанавливаемых систем, а также управление финансовыми рисками. |
|
|
|||||
Ч |
1402020000 -06 |
Без объявл. |
УДК 330.131.7 |
|
|
||
|
ББК В18я7+3973.2-018я7 |
|
|
||||
|
ОК2(03)-2022 |
|
|
|
|||
ISBN 978-5-00032-574-2
©Черняева С. Н., Коробова Л. А., Толстова И. С., 2022
©ФГБОУ ВО «Воронеж. гос. ун-т инж. технол.», 2022
Оригинал-макет данного издания является собственностью Воронежского государственного университета инженерных технологий, его репродуцирование (воспроизведение) любым способом без согласия университета запрещается.
Общие требования по выполнению работ
Целью выполнения практических работ является закрепление теоретических знаний по дисциплине«Управление рисками» и получение практических навыков анализа рисков при эксплуатации автоматизированных систем.
Выполнение практической работы включает следующие этапы:
-теоретическая подготовка к работе;
-получение допуска к выполнению практических заданий;
-выполнение практических заданий и оформление отчета по практической работе;
-защита результатов практической работы.
На |
этапе |
теоретической |
подготовки к работемагистрант |
||||
должен |
выполнить |
задания |
на |
самоподготовку, используя |
|||
рекомендуемую литературу и материалы лекций по теме работы. |
|
||||||
Для получения допуска к выполнению практических заданий |
|||||||
магистрант |
должен |
ответить |
на |
вопросы |
к |
заданиям |
|
самоподготовку, а |
также |
на вопросы, касающиеся |
содержания |
||||
практических заданий и порядка их выполнения.
Отчеты по практическим работам оформляются на отдельных листах и сдаются преподавателю после защиты практической работы. Они должны содержать:
-тему и цель работы;
-основные расчетные формулы;
-таблицы и графики рассчитанных величин;
-объяснение полученных результатов (выводы).
Для защиты результатов практической работы необходимо подготовить ответы на контрольные вопросы и отчет по работе. Защита производится в конце практического занятия.
3
Практическая работа № 1.
Расчет показателей надежности нерезервированных невосстанавливаемых автоматизированных систем
Цели занятия
1. Изучение методов определения среднего времени безотказной работы элементов нерезервированных невосстанавливаемых автоматизированных систем(АС) и его среднеквадратического отклонения.
2. Получение практических навыков определения вероятности безотказной работы нерезервированных невосстанавливаемых автоматизированных систем.
Краткие теоретические сведения
Критериями надежности нерезервированных невосстанавливаемых автоматизированных систем являются:
Pc(t) – вероятность безотказной работы системы в течение времени t;
T1c– среднее время безотказной работы системы;
lс(t) – интенсивность отказа системы в момент времени t; fс(t) – плотность распределения времени до отказа системы.
Между |
этими |
критериями |
существуют |
следующие |
|||
зависимости: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
-òlc (t )dt |
|
|
|
|
|
P (t)=e 0 |
, |
|
|
|||
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
T |
= |
fc (t) |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1c |
|
Pc (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
fc (t) = Q`c = -P`c (t),
Pc (t) =1- ò01 fc (t)dt.
Рассмотрим |
структурную |
схему |
нерезервированной |
системы (рис. 1). |
|
|
|
4
|
|
|
2 |
|
. . . |
|
n |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.1. Структурная схема нерезервированной системы, состоящей из n элементов
При выходе из строя любого элемента выходит из строя вся система и остальные исправные элементы системы прекращают свою работу. Для расчета показателей надежности такой системы используют следующие формулы:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pc (t)=ÕPi (t), |
|
(1) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T1c |
|
= ò0¥ Pc (t)dt, |
|
(2) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lc (t) = åli (t), |
|
(3) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
f |
(t) = f (t)P (t)...P (t) +P(t) f |
(t)...P (t) +...+P(t)P (t)... f |
(t) , |
|
||||||||||
c |
1 |
2 |
n |
1 |
|
|
2 |
|
|
n |
1 2 |
n |
|
|
где Pi (t ) – вероятность безотказной работы i-го элемента; fi (t) |
- |
|||||||||||||
плотность распределения времени до отказаi-го элемента; li (t) - |
||||||||||||||
интенсивность отказа i-го элемента, i=1,2,...,n. |
|
|
|
|||||||||||
Для |
случая |
постоянных |
интенсивностей |
отказов |
||||||||||
справедливы следующие соотношения: |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
P (t)=e-lсt , |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lc |
|
= åli , |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
= |
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1c |
|
|
l |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
с |
(t) = l e-lсt . |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
Порядок выполнения работы |
|
|
|
|||||||||
Первое |
задание. |
Определить |
показатели |
|
надежности |
|||||||||
элементов системы: среднее время безотказной работы и его |
||||||||||||||
среднеквадратическое |
|
отклонение, вероятность |
безотказной |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
работы, плотность распределения времени безотказной работы, интенсивность отказа. Показатели надежности Pi(t) и fi(t) получить на интервале от0 до 2000 ч с шагом100 ч. Для показателей, зависящих от времени, получить решение в виде таблиц и графиков.
Пример выполнения задания. Нерезервированная система состоит из 5 элементов, работа которых подчиняется различным законам распределения времени работы до отказа. Виды законов и их параметры приведены в табл. 1.
|
Законы распределения времени до отказа элементов АС |
Таблица 1 |
|||||
|
|
||||||
№ п/п |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
5 |
Закон |
|
W(2;1800) |
N(2400;795) |
R(8×10-8) |
Exp(0,0002) |
|
TN(2000;900) |
распределения |
|
|
|
|
|
|
|
времени |
|
до |
|
|
|
|
|
отказа |
|
|
|
|
|
|
|
Примечание. В таблице приняты следующие обозначения законов распределения: W – Вейбулла; N – нормальный; R – Рэлея; Exp – экспоненциальный; TN – усеченный нормальный.
Рассчитаем |
начальные |
моменты |
|
|
|
|
|
распределений– |
|
||||||||||||||||
математические ожидания и среднеквадратические отклонения |
|
||||||||||||||||||||||||
времени |
безотказной |
|
работы |
|
для |
|
|
|
|
элементов , |
систем |
||||||||||||||
воспользовавшись табл. 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Связь параметров распределений с математическим ожиданием |
|
||||||||||||||||||||||||
|
и среднеквадратическим отклонением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Вид распределения |
m |
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Экспоненциальное Exp(l) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Равномерное U(a,b), a³0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
TN( , ) |
|
|
2 |
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
||||||
Усеченное |
нормальное |
|
|
|
|
= |
√ |
|
|
|
|
|
|
2√3 |
, |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, 1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 + Ф |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
6
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Окончание табл. 2 |
|
Вид распределения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
||
Рэлея R(l) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 − π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г(1 + ) |
β |
Г(1 + 2) − Г (1 + 1) |
||||||||
Вейбулла W(a,b) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4λ |
|
|
|
|
4λ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
αs |
α |
||||||
Нормальное N(m, |
|
|
|
s) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
m>3s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примечание: |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
t |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+¥ |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t-1 -x |
|
|
||||||
F0 (t) = |
|
|
ò0 e |
|
|
|
dx - функция Лапласа, Г (t) = ò0 |
x |
|
e |
dx - гамма-функция. |
||||||||||||||||
2p |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Введем исходные данные для расчетов: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
t := 0, 100.. 2000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ó a |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
ô |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
ô |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
F(a) := |
|
|
|
e 2 |
dx |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
×ô |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
2×p |
|
õ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c(m,s) := |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
æ mö |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
0.5 + Fç |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è s ø |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- m2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
k(m, s) := |
c(m,s) |
×e |
2×s2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
¥
2×p
óa -1 - x
G(a) := ô x ×e dx
õ0
7
Элемент 1. Рассчитаем |
значения |
математического |
ожидания и среднеквадратического отклонения: |
|
|
æ |
|
|
1 ö |
æ |
|
|
2 ö |
æ |
|
|
1 ö |
2 |
|||
W_m(a, b) := b×Gç |
1 |
+ |
|
÷ |
W_ s(a,b) := b× Gç |
1 |
+ |
|
÷ |
- Gç |
1 |
+ |
|
÷ |
, |
|
|
|
|||||||||||||
è |
|
|
a ø |
è |
|
|
aø |
è |
|
|
aø |
|
|||
W_m(2, 1800) = 1.595´ 103 , W_ s(2, 1800) = 833.852 .
Таким образом,
m1 =1800 × Г (1,5) =1595 ч,
s1 = 1800 × Г (2) - Г 2 (1,5) = 834 ч.
Элемент |
2. |
|
|
Рассчитаем |
значения |
математического |
|||||||
ожидания и среднеквадратического отклонения: |
|
||||||||||||
N_m := 2400, |
|
|
N_ s := 795, |
|
|
|
|
|
|
||||
m2 = 2400 ч, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
s2 = 795 ч. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Элемент |
3. |
|
|
Рассчитаем |
значения |
математического |
|||||||
ожидания и среднеквадратического отклонения: |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
R_s(l) := |
|
|
|
, |
|
|||
R_m(l) := |
|
p |
, |
|
4 - p |
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
4×l |
|
|
|
|
|
4×l |
|
||
R_m(8×10- 8) = 3.133´ 103 , |
R_s(8×10- 8) = 1.638´ 103 , |
||||||||||||
m3 = |
|
p |
|
|
|
|
= 3133 ч, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4 ×8 ×10-8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
s3 = |
|
4 - p |
|
= 1638 ч. |
|
|
|
|
|
|
|||
4 ×8 ×10-8 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
8
Элемент 4. Рассчитаем значения математического ожидания и среднеквадратического отклонения:
Exp(l) := 1, l
Exp(2×10- 4) = 5 ´ 103 ,
m4 = |
1 |
= 5000 ч, |
|
0,0002 |
|||
|
|
||
s4 = m4 = 5000 ч. |
|||
Элемент 5. |
Рассчитаем |
|
|
значения |
математического |
|
||||||||||
ожидания и среднеквадратического отклонения: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
TN_m(m, s) := m + k(m, s)×s, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
TN_s(m, s) := s× 1 + k(m, s)× |
m |
+ k(m, s)2, |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
TN_m(2000, 900) = 2.009´ 103 |
, |
TN_s(2000,900) = 910.48 . |
|
|
|
|||||||||||
Рассчитанные значения показателей надежности элементов |
|
|
|
|||||||||||||
АС и сведем в табл. 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 3 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Показатели надежности элементов автоматизированной системы |
|
|
|
|||||||||||||
№ п/п |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
|
5 |
|
|
|
Среднее |
время |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
безотказной работы, ч |
|
1595 |
2400 |
3133 |
|
|
5000 |
|
2009 |
|
|
|
||||
Среднеквадратическое |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отклонение |
времени |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
безотказной работы, ч |
|
834 |
795 |
|
1638 |
|
|
5000 |
|
910 |
|
|
|
|||
Для |
вычисления |
вероятности |
безотказной |
работы |
и |
|||||||||||
плотности |
распределения |
времени |
до |
отказа |
элементов |
|||||||||||
воспользуемся данными табл. 4.
9
Таблица 4
Вероятность безотказной работы и плотность распределения времени до отказа для различных распределений случайной величины
Вид распределения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Экспоненциальное |
le-lt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e-lt |
|
|
|
|
|
|
||||||
Exp(l) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Равномерное U(a,b), |
0, |
|
− |
, |
|
|
≤ ≤ ; |
. |
|
|
, |
|
|
≤ |
≤ ; |
||||||||||||
a ³ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Вид распределения |
|
|
|
< |
|
, |
|
> |
|
|
|
− 0, |
> . |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Усеченное нормальное |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
, |
|
|
|
|
√2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
TN( |
) |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0,5 − Ф |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
= |
0,5 + Ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Рэлея R(l) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вейбулла W(a,b) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Нормальное N(m, s) |
|
|
|
√2 |
|
|
( |
) |
|
|
|
|
0,5 − Ф |
|
|
|
|
|
|
||||||||
m > 3s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Элемент 1.
æ t öa
-ç ÷
P1(t , a, b) := e |
è b ø |
. |
|
||
Элемент 2. |
|
|
|
æ t - m ö |
||
P2(t , m, s) := 0.5 - Fç |
|
÷. |
|
|
|||
|
è s |
ø |
|
Элемент 3. |
|
||
- l×t |
2 |
|
|
P3(t, l) := e |
. |
|
|
Элемент 4.
P4(t, l) := e- l×t.
10