Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Управление рисками. Практикум. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Элемент 5.

æ		æ t - m öö
P5(t , m, s) := c(m, s)×ç	0.5	- Fç		÷÷.

è		è	s	øø

Построим графики функций Pi(t), i=1,5 от 0 до 2000 ч с шагом 100 ч (рис. 2).

Рис. 2. Зависимость вероятности безотказной работы элементов системы от времени

Из рис. 2 видно, что на скорость убывания вероятностей влияет вид и параметры законов распределения. Медленнее всего происходит убывание Pi(t) для нормального распределения и распределения Рэлея, т. е. при большом времени работы наиболее надежными оказываются второй и третий элементы системы.

Вычислим плотности распределения времени до отказа элементов.

Элемент 1.

				æ	t öa
	a×t	a-1		- ç		÷
		a-1		- ç		÷
f1(t, a, b) :=			×e	è b ø
f1(t, a, b) :=			×e

	Элемент 2.
				( t -m) 2
f2(t ,m, s) :=			1	×e 2×s2 .
		s×	2×p
	Элемент 3.
				2
f3(t ,l) := 2×l t×e- l×t .
	Элемент 4.
f4(t ,l) := l×e- l×t.
	Элемент 5.			é		2ù
				é	( t -m)	2ù
				ë-	( t -m)	û
f5(t ,m, s) := c(m,s) ×e					2×s2 .
		s×	2×p
	Графики, построенные по данным табл. 4, приведены на
рис. 3.
f1(t , 2, 1800)
f2(t , 2400, 795)		4´10- 4
(	- 8)
f3 t	, 8×10
(	- 4)
f4 t	, 2×10
f5(t , 2000, 900)		2´10- 4
		0				1´103	1.5´103	2´103
			0		500	1´103	1.5´103	2´103
						t
	Рис. 3. Плотности распределения времени до отказа элементов
системы
12

Для	расчета интенсивностей				отказа элементов				системы
воспользуемся		формулой l	i	= fi (t)	.	В	результате		получим
			i	Pi (t)
				Pi (t)
графики, изображенные на рис. 4.
	3 ´10 - 3
l1 ( t )
l2 ( t )	2 ´10 - 3
l3 ( t )
l4 ( t )
l5 ( t )	1 ´10 - 3
l5 ( t )
	0			1 ´10 3			1.5 ´10 3	2 ´10 3
	0	500		1 ´10 3			1.5 ´10 3	2 ´10 3
					t
Рис. 4. Зависимости интенсивностей отказов элементов системы
от времени

Кривая 5, соответствующая экспоненциальному закону, параллельна оси времени, т. к. имеет постоянную интенсивность отказа. Остальные кривые интенсивностей отказов элементов представляют собой возрастающие функции времени.

Второе задание. Определить следующие показатели надежности системы: вероятность безотказной работы, среднее время безотказной работы, интенсивность отказа, плотность распределения времени безотказной .работыПоказатели надежности Pс(t) и fс(t) получить на интервале от 0 до 2000 ч с шагом 100 ч. Для показателей, зависящих от времени, получить решение в виде таблиц и графиков.

Пример выполнения задания. Вероятность безотказной работы системы определяется формулой (1.6):

Pc (t) = ÕPi (t).

i=1

Врезультате табулирования функции получим график вероятности безотказной работы системы, состоящей из пяти элементов (рис. 5).

20
15
Pc( t )10
5
0		1´103	1.5´103	2´10 3
0	500	1´103	1.5´103	2´10 3
		t

Рис. 5. Зависимость вероятности безотказной работы системы от времени

Среднее время безотказной работы системы определим с помощью выражения (2), воспользовавшись формулой Симпсона:

2000	b - a æ		æ a + b ö				ö
T1c » ò Pc (t)dt »		ç Pc	(a) + 4Pc ç		÷	+ Pc	(b) ÷	,
	6			2
0		è	è		ø		ø

где а = 0 ч, b = 2000 ч.

Таким образом, получим:

2000

T1c » 6 (1+4×0,47 +0,05) »977 ч.

Интенсивность отказа системы определяется по формуле(3). В результате расчетов получим график, изображенный на

рис. 6.

	3.6´10- 3
	3.4´10- 3
	3.2´10- 3
lc(t)	3´10- 3
	2.8´10- 3
	2.6´10- 3
	2.4´10- 3		1´103	1.5´103	2´103
	0	500	1´103	1.5´103	2´103
			t
Рис. 6. Зависимость интенсивности отказа системы от времени

Плотность распределения времени безотказной работы
системы рассчитывается по формуле:
		fc (t) = lc (t)Pc (t).
В результате получим график, представленный на рис. 7.
0.04
0.03
fc( t)
0.02
0.01
0		1´103	1.5´103	2´103
0	500	1´103	1.5´103	2´103
		t
Рис. 7. Плотность распределения времени до отказа системы

Кривая имеет неэкспоненциальный характер, законы распределения времени до отказа ее элементов также являются неэкспоненциальными.

Задания

Варианты заданий

Вариант	Элементы
	1	2	3	4	5
1	TN(390;100)	N(8000;300)	Exp(8×10-5)	R(2×10-5)	W(5;200)
2	R(1×10-5)	W(4,5;180)	N(7000;100)	TN(400;92)	Exp(1×10-4)
3	N(6000;200)	Exp(5×10-5)	TN(375;86)	R(3×10-5)	W(4,8;190)
4	TN(380;100)	R(3×10-5)	W(4,5;180)	Exp(8×10-5)	N(6000;200)
5	TN(300;100)	N(6000;100)	Exp(7×10-5)	R(3×10-5)	W(10;300)
6	R(3×10-5)	W(6;280)	N(4000;100)	TN(300;42)	Exp(3×10-4)
7	N(5000;100)	Exp(2×10-5)	TN(320;100)	R(1×10-5)	W(4;200)
8	TN(380;200)	R(1×10-5)	W(6;180)	Exp(4×10-5)	N(8000;300)
9	TN(300;100)	N(4000;200)	Exp(3×10-5)	R(5×10-5)	W(8;200)
10	R(3×10-5)	W(5,5;180)	N(9000;100)	TN(600;92)	Exp(4×10-4)
11	TN(490;200)	N(3000;100)	Exp(3×10-5)	R(5×10-5)	W(5,5;200)
12	R(2×10-5)	W(7,5;280)	N(3000;100)	TN(500;80)	Exp(2×10-4)

		Контрольные вопросы
1.	Каким		образом	определяется				среднее	врем
безотказной		работы	элементов		системы		и	его
среднеквадратическое отклонение?
2.	Как	рассчитать		вероятность		безотказной			работы
элементов системы?

3.Каков порядок определения плотности распределения времени безотказной работы элементов системы?

4.Каким образом определяется интенсивность отказа элементов системы?

5. Как	рассчитать	вероятность	безотказной	работы
системы?

6.Каков порядок определения плотности распределения времени безотказной работы системы?

7.Каким образом определяется интенсивность отказа системы?

Практическая работа № 2. Исследование свойств структурно резервированных

автоматизированных систем при общем резервировании с постоянно включенным резервом

Цели занятия

1.Изучение методов оценки выигрыша надежности по среднему времени безотказной работы системы при общем резервировании с постоянно включенным резервом.

2.Изучение методов оценки выигрыша надежности по

вероятности отказа системы при общем резервировании с постоянно включенным резервом.

3. Получение навыков исследования свойств интенсивности отказа резервированной системы при общем резервировании с постоянно включенным резервом.

	Краткие теоретические сведения
В	качестве	показателей		эффективности		методо
обеспечения	и	повышения	надежности		рассматриваются
выигрыш	по среднему времени			безотказной	работыGT и

выигрыш надежности по вероятности отказаG0(t). Отношение показателя надежности резервированной системы к текущему показателю надежности нерезервированной системы называется выигрышем надежности.

Так как для резервированной системы с постоянно включенным резервом вероятность и среднее время безотказной работы выражаются формулами

m+11

Pc (t) -1- (1 - e-l×t )m+1, Tc = T0 × å ,

i =1 i

тогда соответствующие выигрыши будут иметь вид:

G (t) =			Q0 (t)	=		1	,
G (t) =			Q (t)	=		(1- e-l×t )m	,
q			Q (t)			(1- e-l×t )m
			c
		T	m+1	1
GT	=	c	= å		.		(1)
GT	=		= å	i	.		(1)
	T0		i=1	i

где m – кратность резервирования; Q0(t), T0 – вероятность отказа и

среднее время безотказной работы исходной (основной) системы; Qc(t), Tc – вероятность отказа и среднее время безотказной работы

резервированной

системы;

l = åli

= const

–

интенсивность

i =1

отказа исходной нерезервированной системы.

На

основе

анализа

выигрышей

надежности

можно

выделить

следующие

важные

свойства

структурно

резервирования.

Эффективность

резервирования

повышается

увеличением надежности системы и уменьшением времени ее

работы.

Выигрыш

надежности

по

любому

из

критериев

повышается

ростом

кратности

резервирования. Однако

высоким

ростом

кратности

резервирования

скорость

роста

выигрыша убывает.

Среднее

время

безотказной работынесущественно

повышается

при

резервировании

постоянно

включенным

резервом

значительным

повышением

кратн

резервирования.

Интенсивность отказа резервированной системы

P' (t)

lc (t) = -

(2)

Pc (t)

является возрастающей функцией времени. При t = 0 lc (t) = 0 и с

ростом

времени lc (t)

асимптотически

стремится

интенсивности отказа нерезервированной системы.

Порядок выполнения работы

Первое

задание. Оценить

выигрыш

надежности

по

среднему времени безотказной работы системы.

Пример выполнения задания. Оценить выигрыш GT можно,

если представить

зависимостьGT =

GT(m)

виде

таблицы.

Воспользуемся для этой цели системой символьной математики Mathcad. Для решения задачи необходимо выполнить следующие действия:

- ввести выражение (1):

		m+1	1
F(m) :=		å	1	,
F(m) :=		å	i	,
		i = 1
- ввести		формулу выигрыша надежности системы по
среднему времени безотказной работы:
m := 0.. 9		i := 0.. 9
Ai, 0 := i		Am, 1 := F(m)
		0		1
	0	0		1
	1	1		1.5
	2	2		1.833
	3	3		2.083
A =	4	4		2.283
	5	5		2.45
	6	6		2.593
	7	7		2.718
	8	8		2.829
	9	9		2.929

Из	результатов		решения		следует, что с увеличением
кратности резервирования m выигрыш надежности по среднему
времени	безотказной		работы		системы	увеличивается		почти
в 3 раза.
Второе		задание.	Оценить		выигрыш		надежности	по
вероятности отказа системы.
Пример выполнения задания. Выигрыш						(1)	надежности
резервированной		системы		по	вероятности		отказа	является

функцией времени, которая зависит от интенсивности отказа исходной системы и кратности резервирования. Представим эту функцию в виде:

G(x, m) = (1 - e- x )m ,

где x =λ·t.

Получим зависимость G(x,m) в виде таблицы (рис. 1):

		1			,				1	,				1		,
F1(x) :=						F2(x) :=					F3(x) :=
F1(x) :=				(1 - e- x)		F2(x) :=		(1 - e- x)2			F3(x) :=		(1 - e- x)3
x :=		0.1,0.3.. 2,				N :=	2		= 10 ,	h :=	0.2	F4(x) :=		1				,
							2					F4(x) :=			(1 - e- x)		4	,
							0.2										4
							0.2
		i := 0.. N - 1,
		i := 0.. N - 1,
		xi := 0.1 + h ×i ,
	A := augment (x, F1(x) ,F2(x) , F3(x) , F4(x)) .

			0			1			2			3		4
	0		0.1			10.508			110.425		1.16·103		1.219·104
	1		0.3			3.858			14.886			57.436		221.606
	2		0.5			2.541			6.459			16.416		41.721
	3		0.7			1.986			3.946			7.838		15.57
A =	4		0.9			1.685			2.84			4.785		8.063
	5		1.1			1.499			2.247			3.368		5.048
	6		1.3			1.375			1.89			2.598		3.571
	7		1.5			1.287			1.657			2.133		2.745
	8		1.7			1.224			1.497			1.832		2.241
	9		1.9			1.176			1.383			1.626		1.912

Рис. 1. Результаты табулирования функции G(x,m)

Из полученных данных можно сделать ,выводчто с возрастанием х выигрыш надежности убывает, т. е. чем более надежна резервируемая система и чем меньше время ее работы, тем выше эффективность резервирования. С увеличением кратности резервирования выигрыш увеличивается, причем увеличение тем значительней, чем меньше х.

Третье задание. Исследовать свойства интенсивности отказа резервированной системы.

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]