Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Управление рисками. Практикум. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 104 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

на заданных интервалах времени:

		ì	1, при		0 < t £ a;
P	(t) =	ïP(t - k(t -b + a) - a),		при	kt + a < t £ kt +b,	k = 0,1,2,...; (1)
iпр		í	i
		ï	P(k(b - a)), при	(k -1)t + b < t £ kt + a,		k =1,2,...
		î	i

Соотношение (1) определяет закон распределения времени работы элемента с учетом его простоя.

Вычислим среднее в емя безотказной работы на основе
формулы (1). Интегрируя	пр( ), получим:

¥¥ kt +b

Ti1пр = ò Piпр (t)dt = a + å ò

0 k=0 kt+a

¥ (k+1)(b-a)

= a + å	ò	P(t)dt +(t -
	ò	i

k=0 k(b-a)

= ò Pi (t)dt + a +(t -b +a)å

k=1

	¥ kt+a		P(k(b -a))dt =
P(t -k(t -b + a) -a)dt +å		ò
i			i

k=1(k-1)t+b

b + a)åPi (k(b -a)) =

k=1

Pi (k(b -a)).

Отсюда

Ti1пр = Ti1 + a + (t - b + a)å Pi (k (b - a))

(2)

k =1

где

среднее

время

безотказной работыi-го элемента

случае его непрерывной работы.

частности,

для

экспоненциального

распределения

параметром l получим:

+ a + t - b + a .

(3)

= 1 + a + (t - b + a)åe-lk (b-a ) = 1

i1пр

k =1

el(b-a ) -1

Из формулы (3) следует, что повышение среднего времени безотказной работы элемента можно достигнуть не только за счет уменьшения интенсивности отказаl, но и за счет увеличения времени его простоя при уменьшении величины(b - a). Полагая

а = 0, получим, что выигрыш по среднему времени безотказной работы равен:

G =	Ti1пр	=1	+	l(t - b + a)	.
G =	T	=1	+	el(b-a) -1	.
iT1	T			el(b-a) -1
	i1

пр	Численное		значение		выигрыша			по критерию при
t = 10 ч приведено в табл. 1. Из табл. 1 следует, что на величину
	оказывает влияние не только надежность элемента, но и
увеличение времени его простоя, когда							элемент		не расходует
свой ресурс надежности.										Таблица 1
										Таблица 1
Выигрыш по среднему времени безотказной работы в зависимости
			от l и времени работы элемента (b-a)
l, ч-1						(b-a), ч
		10		8		6		4		2
0,1		1,0		1,16		1,49		2,22		4,61
0,01		1,0		1,24		1,65		2,47		4,96
0,001		1,0		1,25		1,66		2,50		5,00
0,0001		1,0		1,25		1,67		2,50		5,00

Рассмотрим систему,			состоящую из n элементов, имеющих
интервалы		простоя,	которые	имеют		различную
продолжительность на			периодеt. Тогда время до отказа
элементов всегда имеет неэкспоненциальное распределение,
выражаемое		формулой (1). Оценить надежность			такой	системы
можно	с	помощью	методов, учитывающих		произвольный
характер времени до отказа элементов. Вероятность безотказной
работы	нерезервированной системы, состоящей из n элементов,
		n
равна	Pc (t) = ÕPi (t) ,		вероятность	безотказной		работы
		i =1	кратностиm с
резервированной системы			кратностиm с	постоянным резервом
		m
равна Pc (t) =1 - Õ(1- Pi (t))			и т. д.
		i=0

Порядок выполнения работы

Задание. Исследовать надежность автоматизированной системы с учетом ее физической реализуемости.

Пример выполнения задания. Структурная схема системы с общим резервированием с постоянно включенным резервом показана на рис. 1.

		1		2

		3		4
		Рис. 1. Структурная схема системы
Время работы элементов до отказа является случайной
величиной	и		подчинено	экспоненциальному			зако
распределения	с	параметромl = 0,002 ч-1.			Период работы,
состоящий из интервалов работы и простоя каждого элемента,
равен t = 10 ч. Время работы элементов на каждом периоде
приведено в табл. 2.						Таблица 2
		Время работы элементов				Таблица 2
		Время работы элементов
Номер	1		2	3		4
элемента
Интервал	[0;5]		[2;3]	[5;8]		[0;7]
работы

На остальной части периодаt элементы выключены из работы. Вероятность безотказной работы каждого элемента имеет

вид: P (t) = e-l×t .	Рассчитаем		вероятность	безотказной работы
i
системы в случае непрерывной работы элементов. Так как
элементы 1-2, а также элементы 3-4 соединены между собой
последовательно, то
	P	(t) = P	(t) = e-l×t ×e-l×t = e-2l×t
	1, 2	3, 4
Поскольку	цепочки		элементов1-2 и 3-4 соединены
параллельно,	вероятность		безотказной	работы системы при
непрерывной работе элементов равна:

Pc (t) =1 - Õ(1 - Pi ) =1 - (1 - P1,2 )(1 - P3,4 ) =

=1 - (1 - e-2lt )(1 - e-2lt ) = 1 - (1 - e-2lt )2 .

(4)

По формуле (1) найдем вероятность безотказной работы элементов с учетом простоя:

пр

при

10(

− 1) + 5 <

≤ 10 ,

= 1,2,… ,

(6)

при

0 <

≤ 2;

пр( ) =

(

− 9

− 2),

при

10 + 2 <

≤ 10

+ 3,

= 0,1,2,.

(5)

(

при

10( − 1) + 3 <

≤ 10

+ 2,

= 1,2,. . . ,

пр( ) =

(

− 7

− 5),

при

0 <

≤ 5;

+ 8,

= 0,1,2,.

(7)

при

10 + 5 <

≤ 10

(8)

(

при

10( − 1) + 8 <

≤ 10

+ 5,

= 1,2, . . . ,

пр( ) =

− 3

при

< ≤ 10

+ 7,

= 0,1,2.. . ,

при

10(

− 1) + 7 <

≤ 10 ,

= 1,2,. . .

Вероятность безотказной работы основной подсистемы,

состоящей

из

элементов1 и

равна

произведению

их

вероятностей безотказной работы:

P1,2 пр (t) = P1пр (t ) × P2пр (t ).

Вероятность безотказной работы резервной подсистемы

равна:

P3,4пр (t) = P3пр (t) × P4пр (t).

Поэтому вероятность безотказной работы всей системы с

учетом времени простоя элементов равна:

(t) =1 -

(1 - P

) =1 - (1 - P

(t)P

(t))(1 - P

(t)P

(t)).

(9)

cпр

iпр

1пр

2пр

3пр

4пр

Для расчетов используем табличный процессорMicrosoft Office Excel. В колонку А введем значения времениt, изменяющееся от 0 до 500 с шагом 5 часов; в колонке B запишем отношение времени работы системы к периодуt = 10 ч; в колонке С – значение k как целое от деления t на t (рис. 2).

Рис. 2. Ввод исходных данных

В	ячейках D2:G2 содержатся			формулы (5)-(8)		для
вычисления		вероятностей	безотказной		работы	элементов
(рис. 3-6).

Рис. 3. Вычисление вероятности безотказной работыпервого элемента

Рис. 4.Вычисление вероятности безотказной работы второго элемента

Рис. 5. Вычисление вероятности безотказной работы третьего элемента

Рис. 6. Вычисление вероятности безотказной работы четвертого элемента

Ячейки H2 и I2 содержат формулы (9) и (4) соответственно для вычисления вероятностей безотказной работы системы при наличии и отсутствии интервалов простоя элементов. Результаты табулирования функций показаны на рис. 7.

Рис. 7. Табулирование функций вероятностей безотказной работы

На рис. 8 представлены графики вероятностей безотказной работы элементов. Анализ графиков показывает, что надежность элементов по критерию Pi(t) определяется временем их работы: чем меньше время, тем более надежным является элемент. Таким образом, самым надежным является второй элемент, работающий на периоде в течение1 ч, самым ненадежным – четвертый элемент, работающий 7 ч.

Рис. 8. Графики вероятностей безотказной работы элементов системы

Из рис. 9 следует, что наличие простоя элементов повышает надежность системы.

Рис. 9. Графики вероятностей безотказной работы системы без простоя элементов и при наличии простоев

Среднее время безотказной работы элементов без учета

времени простоя равно T	=	1	= 500 ч.

i1		l

Среднее время безотказной работы элементов с учетом времени их простоя определим из соотношения (3):

= 500 +

= 997

ч,

e5×0.0002 -1

1пр

e5l -1

+ 2 +

= 502 +

= 4997,5

ч,

el -1

2пр

e0.0002 -1

+ 5 +

= 505 +

=1668,5

ч,

e3×0.0002

3пр

e3l -1

-1

= 500 +

= 712,8

ч.

e7×0.0002 -1

4пр

e7l -1

Полученные результаты приводят к следующим выводам:

1)на закон распределения времени безотказной работы элементов оказывает влияние то, как долго элементы находятся в выключенном состоянии;

2)надежность системы по вероятностиPc(t) значительно выше, если на определенных интервалах времени элементы простаивают.

Задания

Варианты заданий

Вариант	Схема	Закон	Интервалы работы элементов
		распределения	1	2	3	4	5
1	а)	Exp(0,001)	[3;9]	[6;10]	[0;3]	[0;4]	[2;7]
2	б)	Exp(0,002)	[0;8]	[5;6]	[0;2]	[3;4]	-
3	в)	Exp(0,003)	[1;6]	[2;8]	[1;3]	[0;7]	[2;4]
4	г)	Exp(0,004)	[1;5]	[5;10]	[3;6]	[0;5]	-
5	д)	Exp(0,005)	[5;7]	[0;8]	[0;3]	[2;4]	[0;7]
6	а)	Exp(0,006)	[3;6]	[6;8]	[0;8]	[3;4]	[2;8]
7	б)	Exp(0,007)	[0;9]	[4;7]	[1;3]	[3;4]	-
8	в)	Exp(0,008)	[2;5]	[0;6]	[0;3]	[1;4]	[0;3]
9	г)	Exp(0,001)	[2;6]	[0;7]	[1;5]	[1;4]	-
10	д)	Exp(0,002)	[8;9]	[5;8]	[0;8]	[0;8]	[1;9]
11	а)	Exp(0,003)	[0;7]	[7;8]	[5;9]	[0;7]	[2;3]
12	б)	Exp(0,004)	[8;9]	[6;9]	[1;3]	[0;7]	-

Вариант	Схема		Закон	Интервалы работы элементов
		распределения		1			2		3		4		5
13	в)	Exp(0,005)		[3;4]			[0;5]		[2;3]		[8;10]		[3;5]
14	г)	Exp(0,006)		[0;8]			[5,8]		[1;3]		[0;6]		-
15	д)	Exp(0,007)		[2;6]			[0;3]		[1;3]		[0;9]		[1;6]
Структурные схемы приведены							на	. рис10.		Период			работы
t = 10 ч для всех вариантов.

		1					2					3
		1					2					3

		4					5
				а)

		1				2				3
		1				2				3

				б)						4
										4


			1		2					5
			1		2					5

						3

						4

в)

	1		2		4

г)

Рис. 10. Структурные схемы систем (см. также с. 40)

д)

Рис. 10. Окончание

Контрольные вопросы

1. Как определить вероятность безотказной работы элементов с учетом времени их простоя?

2.Каким образом рассчитать среднее время безотказной работы элементов с учетом времени их простоя?

3.Как определить вероятность безотказной работы системы без учета времени простоя элементов?

4.Как определить вероятность безотказной работы системы

сучетом времени простоя элементов?

5.Каким образом рассчитать среднее время безотказной работы системы без учета времени простоя элементов?

6.Каким образом рассчитать среднее время безотказной работы системы с учетом времени простоя элементов?

7.Как влияет на надежность системы по вероятности простой ее элементов?

Практическая работа № 5. Исследование надежности и риска нерезервированных

невосстанавливаемых автоматизированных систем

Цели занятия

1.Изучение методов определения показателей надежности

ириска нерезервированных невосстанавливаемых автоматизированных систем по точной формуле.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 104 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]