Теория эксперимента. Учебное пособие

УДК 519.23/.24(075.8) ББК 22.172я73

К72

Рецензент – кандидат технических наук, доктор экономических наук В.Н. Шепель.

К 72 Костин В.Н. Теория эксперимента: учебное пособие/ В.Н.Костин, В.В. Паничев; Оренбургский государственный университет – Оренбург: ОГУ, 2013. – 209 с.

Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по программам высшего профессионального образования по направлениям подготовки 230100.68 Информатика и вычислительная техника и 231000.68 Программная инженерия.

УДК 519.23/.24(075.8) ББК 22.172я73

© Костин В.Н., 2013

Паничев В.В., 2013 © ОГУ, 2013

Содержание

1.1.3Факторы………………………………………………………………... 16

1.1.4Выбор модели…………………………………………………………. 19

1.2.4Полный факторный эксперимент и математическая

1.3.2Дробная реплика………………………...……………......................... 56

1.3.3Выбор полуреплик. Генерирующие соотношения и определяющие

анализа………………………………………………………………...

3.1 Зависимость между случайными величинами………………………. 77

3.2Обработка результатов пассивного эксперимента методом

3.3Особенности обработки результатов эксперимента методом

4

Введение

Как известно, основным способом получения информации об исследуемых процессах является эксперимент. Какая информация нужна экспериментатору для построения факторного эксперимента, например, при решении задач прогнозирования или распознавания, или оптимизации различных процессов? Имея эту информацию, он получает возможность выбора требуемого плана опытов, построения математического описания процесса в области экспериментирования и проведения статистического анализа, т.е. возможность найти кратчайший путь к цели и на этом пути достичь ее.

Только в начале прошлого века были придуманы статистические методы планирования эксперимента. Эта идея принадлежит английскому статистику Рональду Фишеру, который впервые показал целесообразность одновременного варьирования всеми факторами в противовес широко распространенному классическому эксперименту. Понадобилось еще несколько десятилетий, чтобы в начале пятидесятых годов появилось новое направление в планировании эксперимента, связанное с оптимизацией процессов, — планирование экстремального эксперимента. Первая работа в этой области была опубликована в 1951г. Боксом и Уилсоном в Англии. Идея метода Бокса — Уилсона крайне проста. Экспериментатору предлагается ставить последовательные небольшие серии опытов, в каждой из которых одновременно варьируются по определенным правилам все факторы. Серии организуются таким образом, чтобы после математической обработки предыдущей можно было выбрать условия проведения следующей серии. Так последовательно, шаг за шагом, достигается цель исследования.

Применение планирования эксперимента делает поведение экспериментатора целенаправленным и организованным, существенно способствует повышению производительности его труда и надежности полученных результатов. Важным достоинством метода является ^его

5

универсальность, пригодность в огромном большинстве областей исследования, интересующих современного человека. В нашей стране планирование эксперимента развивается с 1960г. под руководством В. В.

Налимова. Однако даже простая процедура планирования весьма коварна, в

чем нетрудно убедиться, читая это пособие.

Планирование эксперимента еще совсем молодая область. Она бурно развивается и вызывает все больший интерес у исследователей. Интерес вполне понятен: перспектива сократить число опытов, найти оптимум,

получить количественные оценки влияния факторов и определить ошибки — крайне привлекательна. Но, когда экспериментатор делает попытку познакомиться с планированием эксперимента, он часто сталкивается с серьезными трудностями. Больше того, иногда он просто неверно применяет методы планирования или выбирает не самый оптимальный для данной ситуации путь исследования, или допускает еще какие-нибудь досадные ошибки. При этом снижается эффективность его работы и появляется опасность дискредитации важного и полезного направления. Эти трудности вызваны объективными причинами. Здесь и молодость данного направления,

неустановившаяся терминология, недостаточность практического опыта и слишком абстрактный характер многих опубликованных работ, и

недостаточная математическая подготовка экспериментаторов, и многое другое.

Цель этого учебного пособия – развить у читателя навыки практического применения планирования эксперимента. Чтобы сделать задачу выполнимой, пришлось ограничиться одним из самых простых методов планирования – метод Бокса-Уилсона. От читателя кроме энтузиазма требуются общие представления об элементах математической статистики и о планировании эксперимента.

Изучение материала пособия позволит:

применить методы планирования эксперимента при оптимизации многофакторных процессов;

6

иметь представление о параметрах оптимизации, факторах,

определяющих процесс и поверхности отклика;

уметь выбирать параметр оптимизации, уровни факторов и интервалы их варьирования;

уметь составлять матрицу планирования, обладающую свойствами ортогональности и ротатабельности;

определять полный факторный эксперимент 2k и дробные реплики от

него;

определять уравнение регрессии;

получить уравнение регрессии;

производить статистический анализ уравнения регрессии;

производить содержательную интерпретацию уравнения регрессии

В основу первых двух разделов учебного пособия положен

переработанный и дополненный материал монографии Адлер Ю. П.

Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. Монография/

Ю. П. Адлер, Е. В. Маркова, Ю. В. Грановский, издание второе,

переработанное и дополненное, М.: Издательство «Наука» - 1976, 279с.

7

1 Планирование экспериментов

1.1 Основные понятия и определения теории эксперимента

1.1.1 Общие положения

Большинство научных исследований связано с экспериментом. Он проводится в лабораториях, на производстве, на опытных полях и участках, в

клиниках и т. д. Эксперимент может быть физическим, психологическим или модельным. Он может непосредственно проводиться на объекте или на его модели. Модель обычно отличается от объекта масштабом, а иногда природой.

Как вы считаете, можно ли поставить эксперимент на абстрактной математической модели?

Если модель достаточно точно описывает объект, то эксперимент на объекте может быть заменен экспериментом на имитационной модели. В

последнее время наряду с физическими моделями все большее распространение получают абстрактные математические модели. Можно получать новые сведения об объекте, экспериментируя на модели, если она достаточно точно описывает объект. Эксперимент занимает центральное место в науке. Однако возникает вопрос, насколько эффективно он используется.

Джон Бернал, например, отмечал, что научные исследования организуются и проводятся настолько хаотично, что их коэффициент полезного действия может быть оценен величиной порядка 2%. Для того чтобы повысить эффективность исследований, требуется нечто совершенно новое. Одним из возможных путей является применение математических методов, построение математической теории планирования эксперимента.

Под экспериментом обычно понимают научную постановку опытов с исследуемыми объектами, явлениями или процессами и наблюдение за их характеристиками в строго учитываемых условиях.

8

Планирование эксперимента — это процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью. При этом существенно следующее:

стремление к минимизации общего числа опытов;

одновременное варьирование всеми переменными, определяющими процесс, по специальным правилам — алгоритмам;

использование математического аппарата, формализующего многие действия экспериментатора;

выбор четкой стратегии, позволяющей принимать обоснованные решения после каждой серии экспериментов.

Задачи, для решения которых может использоваться планирование эксперимента, чрезвычайно разнообразны. Поиск оптимальных условий,

построение интерполяционных формул, выбор существенных факторов,

оценка и уточнение констант теоретических моделей (например,

кинетических), выбор наиболее приемлемых из некоторого множества гипотез о механизме явлений, исследование диаграмм состав—свойство — вот примеры задач, при решении которых применяется планирование эксперимента. Можно сказать, что там, где есть эксперимент, имеет место и наука о его проведении — планирование эксперимента.

В случае применения вычислительных имитационных экспериментов с использованием ЭВМ для исследования свойств систем, требуется предварительная разработка и отладка имитационной модели системы. При ее наличии основная проблема заключается в том, как за конечное время получить достоверную и точную информацию о свойствах системы. Решение этой проблемы немыслимо без планирования имитационного эксперимента.

Попутно решают и частные задачи, например, такие как:

снижение затрат машинного времени;

обеспечение точности и достоверности получаемых результатов;

проверка адекватности модели исследуемой системе.

9

В ходе планирования разрабатывают план имитационного эксперимента,

который определяет объем и порядок проведения вычислений на ЭВМ, а также приемы накопления и статистической обработки результатов. Таким образом,

при машинном моделировании рационально планировать и проектировать не только саму модель системы, но и процесс ее использования, т. е. проведение с ней экспериментов с использованием инструментальной ЭВМ.

При планировании имитационного эксперимента первостепенное значение приобретают:

простота повторения условий эксперимента на ЭВМ с моделью системы;

возможность управления экспериментом с моделью, включая его прерывание и возобновление;

легкость варьирования условий проведения эксперимента (воздействий внешней среды);

наличие корреляции между последовательностью точек в процессе моделирования;

трудности, связанные с определением интервала моделирования T.

К преимуществам машинных экспериментов относят:

-возможность полного воспроизведения условий эксперимента с моделью исследуемой системы для сравнения двух и более альтернатив;

-простота прерывания и возобновления машинных экспериментов,

необходимых для промежуточного анализа результатов и принятия решений об его дальнейшем ходе.

Недостатком машинных экспериментов является наличие корреляции в выходных последовательностях, т е. результаты одних наблюдений зависят от результатов одного или нескольких предыдущих, и поэтому в них содержится меньше информации, чем в независимых наблюдениях.

Поиск оптимальных условий, как в натурном, так и в модельном эксперименте является одной из наиболее распространенных научно-

технических задач. Они возникают в тот момент, когда установлена

10