Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория эксперимента. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2120 21 > Следующая >>>

SSобщ

yijl

i 1

j 1

l 1

yijl

ij*

*j*

i**

i 1

j 1

l 1

(4.63)

yijl

ij*

*j*

i**

i 1

j 1

l 1

i 1

j 1

l 1

i 1

j 1

l 1

ij*

*j*

i**

SSXB SSXA

SSXA XB .

i 1

j 1

l 1

Полученные суммы имеют следующий смысл: SS - сумма квадратов отклонений внутри ячейки (серии опытов), характеризующая рассеяние отдельных наблюдений yijl в сериях опытов только за счет влияния фактора случайности, так как на протяжении серии опытов внутри одной ячейки факторы ХА и ХВ остаются неизменными:

	k	m	n	2
SS			yijl		y	ij* ,	(4.64)
	i 1	j 1	l 1

SSXB – сумма квадратов отклонений между строками:

SSXB

y*j* y

y*j*

y .

(4.65)

i 1

j 1

l 1

j 1

Сумма SSXB /kn характеризует рассеяние средних y*j* по строке в результате действия фактора случайности (с дисперсией среднего для строки

2 /kn) и фактора ХВ (с дисперсией X2B );

191

SSXA – сумма квадратов отклонений между строками:

SSXА

i**

mn y

i**

(4.66)

i 1

j 1

l 1

i 1

Сумма SSXA /mn

характеризует

рассеяние

средних по

столбцам в

результате действия фактора случайности (с дисперсией среднего для строки

2 /mn) и фактора ХА (с дисперсией X2 A );

SSXAXB – сумма квадратов отклонений между сериями:

k	m	n								2
k	m	n								2
SXA XB			y	ij*	y	j	y	i**	y
i 1	j 1	l 1									(4.67)
											(4.67)

n k m yij* y*j* yi** y 2.

i1 j 1

Сумма SSXAXB /nхарактеризует рассеяние средних yij* по ячейкам

(сериям) в результате действия фактора случайности (с дисперсией среднего

ячейки 2 /n) и фактора взаимодействия(с дисперсией X2 A XB							).
Поделив полученные суммы на соответствующее число степеней
свободы, получим оценки дисперсий:
– оценку общей дисперсии по всем N = mkn наблюдением выходного
параметра с числом степеней свободы fобщ= mkn-1 = N - 1:
2	2	SSîáù	2	2	2	2
Sîáù	Sy			XA	XB	XAXB ;	(4.68)
Sîáù	Sy	N 1		XA	XB	XAXB ;	(4.68)
		N 1

– оценку дисперсии рассеяния внутри ячеек, то есть оценку остаточной дисперсии, которая является средневзвешенной оценкой дисперсии по всем km

192

сериям наблюдений с числом степеней свободы:

f km(n 1);

S	2		SS			2	;	(4.69)
			km n 1

– оценку дисперсии рассеяния между строками с числом степеней свободы fXB (m 1):

S2XB	SSXB	2 kn X2B ;	(4.70)
	m 1

– оценку дисперсии рассеяния между столбцами с числом степеней свободы fXA k 1:

S2XA	SSXA	2 mn X2 A ;	(4.71)
	k 1

– оценку дисперсии рассеяния между сериями (ячейками) с числом степеней свободы fXA XB m 1 k 1 :

	2	SSXAXB	2	2
S	XAXB			n XAXB.	(4.72)
		m 1 k 1

Правильность подсчета чисел степеней свободы можно проверить с помощью соотношения

fобщ f	fXA	fXB	fXA XB .	(4.73)
				193

При практических расчетах удобно использовать следующий алгоритм.

По таблице 4.4. находят:

– суммы наблюдений в каждой ячейке:

yij yijl ;

–квадрат суммы в каждой ячейке:

y	2		n	2
y	ij		yijl	;
		l 1

– итоги по столбцам:

m n

XAi yijl ; j 1 l 1

– итоги по строкам:

k n

XBj yijl ; i 1 l 1

– сумму всех наблюдений (общий итог):

k m n

yijl XAi XBj ;

i 1

j 1 l 1

i 1

j 1

– сумму квадратов всех наблюдений:

k	m n
Q1 yijl		2;
i 1	j 1 l 1

194

–сумму квадратов итогов по столбцам, деленную на число наблюдений

встолбце:

Q2	1 XAi2		;
		k
	mn	i 1

– сумму квадратов итогов по строкам, деленную на число наблюдений в строке:

Q3	1 XBj2		;
		m
	kn	j 1

– квадрат общего итога, деленный на число всех наблюдений

(корректирующий член):

k m n

yijl

1 k

1 m

i 1 j 1 l 1

XAi

XBj

;

m k n i 1

m k n j 1

–сумму квадратов для столбца:

SSXA Q2 Q4 ;

–сумму квадратов для строки:

SSXB Q3 Q4 ;

–сумму квадратов для дисперсии воспроизводимости:

195

		k m
SS	Q	yij2
		i 1 j 1	;
			;
	1	n
		n

–общую сумму квадратов:

SSобщ. Q1 Q4;

–остаточную сумму квадратов отклонений для эффекта взаимодействия

XAXB:

SSXAXB SSобщ SSXB SSXA							SS ;
– оценку дисперсии S2XA		:
		S2XA		SSX A	;
		S2XA		k 1	;
				k 1
– оценку дисперсии S2XB		:
		S2XB		SSXB	;
		S2XB		m 1	;
				m 1
– оценку дисперсии S2XAXB :
S	2			SSXAXB		;
	XAXB
	XAXB		k 1 m 1

– оценку дисперсии воспроизводимости S2 :

196

	S2		SS
			mk n 1 .

Полученные результаты целесообразно представить в виде таблицы 4.7.

Проверка гипотезы о значимости влияния факторов XA, XB и

взаимодействия XAXB производится по критерию Фишера. С этой целью рассчитывают дисперсионное отношение вида:

Fрасч

S2XA

; Fрасч

S2XB

Fрасч

S2X AXB

;

(4.74)

Таблица 4.7 – Двухфакторный ДА с n наблюдениями в каждой ячейке

Компон

Число

Средний квадрат

Математическ

енты

степеней

Сумма квадратов

(оценка

ое ожидание

дисперс

среднего

свободы

дисперсии)

ии

квадрата

SSXA

Q2 Q4

ХА

k-1

S2XA

mn X A

k 1

SSX

Q3 Q4

SSX

ХВ

m-1

S2X

kn X

m 1

k 1 m 1

SSXAXB

SSобщ

S2XAXB

SSXAXB

XAXB

k 1 m 1

SSXB

SSXA

n X A X B

Остаточ

ная

yij2

km(n-1)

(ошибки

SS Q1

i 1

j 1

mk n 1

)

Общая

kmn-1

SSобщ. Q1 Q4

–

(полная)

и сравнивают их с табличными критическими:

FтаблX A , f1 k 1; f2 mk n 1 ;

197

FтаблX B , f1 m 1; f2 mk n 1 ;

FтаблX AX B , f1 k 1 m 1 ; f2 mk n 1 .

Если дисперсионные отношения (4.74) больше соответствующих табличных, то влияние факторов XA, XB и взаимодействия XAXB следует признать значимыми. В противном случае – незначимыми. Дальнейший анализ и выводы о существенности влияния факторов производят так же, как и в однофакторном ДА.

Таким образом, мы рассмотрели процедуру двухфакторного дисперсионного анализа. При многофакторном анализе последовательность операций аналогична, но значительно усложняются таблицы наблюдений и расчетные формулы.

С целью упрощения расчетов можно воспользоваться одним из возможных алгоритмов машинной обработки результатов проведения ДА.

Примечания.

1По своему физическому смыслу символы X2 (смотреть таблицу 4.2),

X2 A и X2 B (смотреть таблицы 4.6 и 4.7) являются сокращенным обозначением

следующих функций параметров:

				m		k		m
				di2		di2		2j
		2		i 1	; 2	i 1	; 2	j 1	;
		2		m 1	; 2	k 1	; 2		;
		X		m 1	XA	k 1	XB	m 1
где	di	–	эффект фактора Х (ХА) на i-ом уровне;
	j	–	эффект фактора ХВ на j-ом уровне.

Однако по аналогии с обычной дисперсией в большей части литературных источников их называют дисперсиями соответственно факторов

198

Х, XA и XB. В этом смысле оценки дисперсией SX2 ,SX2 A ,SX2B (смотреть таблицы

4.2, 4.6 и 4.7) для корректности следует называть средними квадратами.

2 При проведении ДА можно получить математическую модель, но это не является главной целью, так как при наличии качественных факторов эту модель нельзя использовать для прогнозирования выходного параметра, не найденных из эксперимента.

3 Если исследуемый процесс определяется действием, как качественных,

так и количественных факторов, то для их исследования следует применить ковариационный анализ, объединяющий регрессионные и дисперсионные методы.

Задача 4.2.

Пусть имеется три однотипные боевые машины реактивных систем залпового огня (БМ РСЗО) (при постоянных уровня фактора ХВ), заряженные снарядами М21 ОФ, которые были произведены на двух различных заводах

(два уровня фактора ХА). Стоит задача: по результатам стрельб,

представленных в таблице 4.8, оценить существенность влияния факторов XA и

XB на величину систематического отклонения неуправляемых реактивных снарядов от точки прицеливания по дальности ( Д ).

199

Таблица 4.8

Уровни	Уровни фактора XA (i=1,k)
фактора ХВ	xA1	xA2
(j=1,m)	xA1	xA2
(j=1,m)
xB1	190,.260,170,170,170	190,150,210,150,150
xB1	(l=I,n)	190,150,210,150,150
	(l=I,n)
xB2	150,250,220,140,180	230,190,200,190,200

xB3	190,185,135,195,195	150,170,150,170,180

Будем считать, что все предпосылки проведения дисперсионного анализа

(ДА) выполняются.

Решение.

Так как при сочетании уровней факторов проведено по пять параллельных опытов, то представляется возможность оценить влияние не только исследуемых входных факторов XA и XB, но и их взаимодействия XAXB,

то есть построить модель вида (4.46);

Dijl yijl di j di j ijl ;

i=1,k ; k=2; j=1,m; m=3; l=1,n; n=5.

По данным таблицы 4.8. определяем:

- суммы наблюдений в каждой ячейке:

yij yijl ; l 1

Например:

y11 190 260 170 170 170 960;

200

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2120 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]