Теория эксперимента. Учебное пособие

Требуется при заданном уровне значимости по выборочным средним

(оценкам математического ожидания) проверить нулевую гипотезу о равенстве всех математических ожиданий:

H0 :M y1 M y2 ... M yi ... M ym .

Будем полагать, что для i-го уровня n наблюдений имеют среднюю i ,

которая равна сумме общей средней и вариации ее, обусловленной i-м

уровнем фактора х, то есть:

В рассматриваемых условиях любое наблюдение из таблицы 4.1 может быть представлено в виде следующей модели:

– генеральное среднее результатов наблюдений или общая

средняя (математическое ожидание для среднего во всей таблица 4.1);

di – эффект фактора х на i-м уровне (отклонение математического ожидания выходного параметра при i-м

уровне фактора i от общего математического ожидания

);

ji – вариация результатов внутри отдельного уровня

(случайный остаток, характеризующий влияние на yji

всех неучтенных моделью (4.8) факторов).

161

Согласно общей идее ДА разложим оценку дисперсии выходного параметра Sy2 на составляющие, которые характеризовали бы вклад фактора х и фактора случайности:

где N – общее число опытов;

N=n1=n2=…=ni=…=nm=mn;

y – общая средняя для всей выборки;

При расположении наблюдений так, как показано в таблице 4.1, их рассеяние между строками обуславливается ошибкой воспроизводимости эксперимента, а рассеяние между столбцами – дополнительным действием исследуемого фактора х. Рассеяние отдельных наблюдений относительно

общего среднего y обусловлено действием, как случайных причин, так и влиянием фактора х. Действие фактора случайности проявляется в рассеянии

(с дисперсией 2) наблюдений серий параллельных опытов yji на каждом

уровне xi вокруг среднего арифметического yi своей серии. Влияние же

фактора х (с дисперсией x2 ) вызывает повышенное рассеяние средних

арифметических yi серий относительно общего среднего y. Каждое их этих

162

трех рассеяний можно охарактеризовать соответствующей суммой квадратов отклонений.

С этой целью преобразуем общую сумму квадратов отклонений

наблюдений yjiот общего среднего y (числитель (4.9)) к следующему виду:

Вследствие того, что:

поскольку:

Суммы SSобщ , SSx , SS , входящие в выражение (4.10), означают

следующее:

– это общая сумма квадратов отклонений отдельных наблюдений yji от

общего среднего y. Она характеризует рассеяние наблюдений в результате действия, как фактора случайности , так и исследуемого входного фактора х;

i1

–это сумма квадратов отклонений между средними по уровням yi и

общей средней y. Сумма SSx/n рассеяние средних yi уровней за счет

случайных причин (с дисперсией 2 /n для средних уровней) и исследуемого

– это сумма квадратов отклонений внутри уровней, то есть сумма

квадратов разностей между отдельными наблюдениями yji и средним yi

соответствующего уровня. Она характеризует остаточное рассеяние случайных погрешностей опытов, то есть их воспроизводимость.

Таким образом, общую сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений выходного параметра от общей средней y мы разложили на две составляющие: SSx – факторную сумму квадратов отклонений и SS –

остаточную сумму квадратов отклонений.

Зная суммы квадратов SSобщ, SSx, SS , можно определить соответствующие оценки дисперсий: общую, межуровневую и внутриуровневую S2общ, S2x, S2 :

164

Оценки S2x и S2 в литературе достаточно часто называют

факторной и остаточной дисперсиями.

Математически строго можно показать, что если влияние входного исследуемого фактора х на выходной параметр Y несущественно, то полученные нами дисперсии (4.14)-(4.16) являются несмещенными оценками

генеральной дисперсии наблюдений 02 , то есть:

фактора было признано значимым, необходимо и достаточно, чтобы оценка

165

Если вычисленное по результатам наблюдений дисперсионное отношение Fрасч превосходит критическое табличное Fтабл , f1, f2 , найденное по распределению Фишера для выбранного уровня значимости и степеней свободы f1 m 1 числителя и f2 m n 1 знаменателя (2.18),

то влияние фактора Х следует признать незначимым. Так как в рассматриваемых условиях проверяется нулевая гипотеза:

H0 :M Sx2 M S2 02 .

при конкурирующей гипотезе вида:

166

должна быть отвергнута и влияние фактора Х признано значимым. В

этих условиях по результатам наблюдений (смотреть таблицу 4.1) можно

– расхождение x2 генеральных центров серий, обусловленное влиянием фактора Х. Так как

то можно показать, что

167

распределения сi,

или

Оценкой величины c2 служит выборочная характеристика

– расхождение Cii Cg между генеральными центрами любых двух

серий.

Так как статистика

служит доверительным (1-р)100 % интервалом для Ci Cg ;

168

– сравнение всех средних при помощи множественного рангового критерия Дункана, попарное сравнение по t-критерию и другие.

При интерпретации результатов ДА необходимо иметь в виду, что очень низкое значение дисперсионного отношения может быть связано с тем, что влияние какого-то важного неконтролируемого в ходе эксперимента не было рандомизировано.

Это может увеличить дисперсию внутри уровней, а дисперсию между уровнями оставить неизменной, что уменьшает дисперсионное отношение. В

данном случае результаты проведенных экспериментов уже не будут подчиняться модели (4.8).

При интерпретации результатов ДА для математической модели со случайными уровнями факторов обычно интересуются не проверкой гипотез относительно средних, а оценкой компонент дисперсий. В отличие от модели с фиксированными уровнями выводы по случайной модели распространяются на генеральную совокупность уровней.

4.3 Алгоритм расчета однофакторного дисперсионного анализа

Проведение ДА связано с большими вычислениями, поэтому желательно применение вычислительной техники и упрощающих приемов. Так, перед началом «ручного» счета все исходные данные можно уменьшить (увеличить)

на одну и ту же величину – на дисперсиях это не отразится.

Оформив все данные в виде таблицы 4.1 и, используя зависимости (4.6) – (4.18), алгоритм однофакторного ДА можно представить в виде следующей последовательности вычислений

1 Подсчитывают итоги по столбцам – суммы наблюдений по каждому уровню фактора Х:

2 Вычисляют сумму квадратов всех наблюдений:

3 Вычисляют сумму квадратов итогов по столбцам, деленную на число наблюдений в столбце:

4 Рассчитывают квадрат общего итога, деленный на число всех наблюдений (корректирующий член):

5 Определяют сумму квадратов для столбца:

6 Определяют общую сумму квадратов:

7 Определяют остаточную сумму квадратов для оценки ошибки эксперимента:

170