Теория эксперимента. Учебное пособие

8 Рассчитывают оценку дисперсии S2 x :

9 Рассчитывают оценку дисперсии S2 :

10 Оценивается влияние фактора Х по зависимости (4.18) - (4.25).

Результаты расчета, как правило, представляются в виде следующей таблицы дисперсионного анализа.

Таблица 4.2 – Однофакторный дисперсионный анализ с равным числом повторений опытов

В случае, когда на различных уровнях фактора проводится разное число параллельных опытов, можно, ориентируясь на уровень с меньшим числом,

отбросить лишние наблюдения в остальных уровнях. Однако такое

171

Дальнейшие расчеты проводятся по формулам (4.30) - (4.34). Если оценки дисперсий S2 x :и S2 :значимо отличаются друг от друга, то дисперсию фактора Х можно вычислить по формуле:

i 1

При этом соотношение для чисел степеней свободы следующее:

Задача 4.1.

Пороховой завод изготовил заряды к артиллерийским боеприпасам на четырех однотипных поточных линиях. С каждой поточной линии случайным образом было выбрано и отстрелено в одинаковых условиях по пять боеприпасов. Результаты замеров начальных скоростей полета снарядов V0,

м/с, для каждой группы приведены в таблице 4.3.

Таблица 4.3 – Результаты испытаний

Стоит задача: выяснить, существенно ли влияние данных поточных

линий на величину начальной скорости полета снарядов V0.

Решение.

1 Проверяем предпосылки ДА.

173

Пусть из априорных данных известно, что результаты наблюдений являются независимыми случайными величинами, имеющие нормальный закон распределения; опыты, проведенные нами, равноточны, а случайные ошибки наблюдений подчиняются нормальному закону. Однородность выборочных дисперсий проверим по критерию Кохрена.

– определяем средние по столбцам:

– определяем оценки дисперсий для каждого столбца:

– определяем расчетное значение критерия Кохрена:

i1

–определяем табличное значение G-критерия по таблице приложения 4:

174

Так как Gрасч<Gтабл., то оценки дисперсий однородны и можно приступить к проведению ДА.

2 Подсчитываем итоги по столбцам:

n

Yi yji , j 1

Y1 600 420 510 435 495 2460;

Y2 2550;

Y3 3030;

Y4 2460.

3 Вычисляем сумму квадратов всех наблюдений:

Q1 6002 4202 ... 5402 5622750.

4 Вычисляем сумму квадратов итогов по столбцам, деленную на число наблюдений в столбце:

Q2 1 m Yi 2 ; n i 1

175

6Определяем сумму квадратов для столбца:

SSx Q2 Q3 ;

SSx 5557320 5512500 44820.

7Определяем общую сумму квадратов:

SSобщ. Q1 Q3 ;

SSобщ. 5622750 5512500 110250.

8 Определяем остаточную сумму квадратов для оценки ошибки эксперимента:

SS Q1 Q2 ;

SS 5622750 5557320 65430.

9 Рассчитывают оценку дисперсии S2 x :

176

S2x SSx ; m 1

S2x 44820 14940. 4 1

10 Рассчитывают оценку дисперсии S2 :

11 Вычисляем расчетное значение F - критерия:

14940

Fрасч 4089 3,6537.

13 Сравним Fрасч и Fтабл:

177

Fрасч 3,6537 Fтабл 3,2389.

Таким образом, влияние поточных линий на величину начальной скорости полета снаряда V0 следует признать значимым.

14 Определяем величину влияния номера поточной линии:

15 Производим сравнение влияния номеров поточных линий по критерию Дункана. С этой целью:

- вычисляем нормированную ошибку среднего:

- располагаем значения средних по столбцам (смотреть таблицу 2.3) в

порядке возрастания их величин:

y1 y4 y2 y3 ;

492 492 510 606

- выписываем из таблицы Дункана (приложение В)

178

- вычисляем (m-1) наименьшие значимые ранги (НЗР), умножая ранги на нормированную ошибку среднего:

- проверяем значимость различия между средними по столбцам для всех m(m-1)/2 парами:

Таким образом, для выпуска однородной продукции усовершенствование целесообразно начать с третьей поточной линии.

4.4Двухфакторный дисперсионный анализ

Дисперсионный анализ особенно эффективен при одновременном изучении нескольких факторов. В этом случае при постановке активного эксперимента одновременно варьируют все факторы, и каждое наблюдение выходного параметра Y используют для их одновременной оценки. При этом немаловажен и тот факт, что в ряде случаев можно не делать параллельных

179

наблюдений, ограничиваясь лишь одним наблюдением для каждого сочетания уровней изучаемых факторов.

Пусть требуется изучить одновременное влияние на процесс двух качественных факторов ХА и ХВ. Фактор ХА исследуется на уровнях ХА1, ХА2, …,

ХАi, …, ХАК, фактор ХВ – на уровнях ХВ1, ХВ2, …, ХВj, …, ХВm. Допустим, что при каждом сочетании уровней исследуемых факторов было проведено по n

параллельных наблюдений (равное количество взято для упрощения вкладок).

Матрицу наблюдений в рассматриваемом случае можно представить в виде таблице 4.4.

Общее число наблюдений равно:

N n k m.

Таблица 4.4 – Исходные данные для двухфакторного ДА с равным числом повторений опытов

180