Теория эксперимента. Учебное пособие

В таблице 4.4. обозначено:

y111, y112,…, y11n,…, уkmn – наблюдавшиеся значения выходного параметра;

yij – среднее значение в ячейке;

строкам);

столбцам);

y – общее среднее;

среднего по наблюдениям в ij-ой серии от суммы первых трех членов модели

(4.46). Если предположить, что между факторами нет взаимодействия, то можно построить линейную модель вида:

yij di j ijl . (4.47)

Эта модель, как правило, применяется лишь в случае отсутствия параллельных опытов, например, как показано в таблице 4.5. (при анализе трех

182

и более факторов отдельные эффекты взаимодействия удается оценить и без параллельных наблюдений).

Таблица 4.5 – Исходные данные для двухфакторного ДА с одним наблюдением в ячейке

столбцам);

столбцам);

183

среднее;

Врассматриваемом случае (модель (4.47)) оценки общей дисперсии, как

иранее, можно получить из основного тождества ДА. Однако следует подчеркнуть, что в двухфакторном ДА, в отличие от однофакторного, общая

сумма квадратов отклонений наблюдений yij от общего среднего y (числитель

(4.9)) раскладывается согласно (4.47) уже не на две, а на три части: часть,

обусловленную влиянием фактора ХА, часть, обусловленную влиянием фактора

ХВ, и часть, обусловленную влиянием всех неучтенных факторов.

SSXB SSXA S .

184

Слагаемое представляет собой сумму квадратов разностей между

средними по строкам и общим средним и характеризует изменение выходного параметра по фактору ХB:

Слагаемое SSX A представляет собой сумму квадратов разностей между средними по строкам и общим средним и характеризует изменение выходного

параметра по фактору ХA:

i 1

Слагаемое SSЕ называется остаточной суммой квадратов и характеризует влияние неучтенных моделью (4.47) факторов:

Зная суммы квадратов отклонений, определим оценки соответствующих дисперсий:

Нулевые гипотезы о незначимости факторов ХА и ХВ проверяют по критерию Фишера. Если дисперсионное отношение:

где

f1 m 1;

f2 m 1 k 1,

принимается гипотеза H0 : j 0.

Если дисперсионное отношение:

S2

Fрасч X2B Fтабл ( , f1, f2), (4.60)

S

нулевая гипотеза отвергается, и влияние фактора ХВ считается значимым.

Аналогично, если дисперсионное отношение

где

186

f1 k 1;

f2 k 1 m 1,

принимается гипотеза H0 :di 0. При несправедливости неравенства:

влияние фактора ХА считается значимым. При проверке нулевых гипотез,

также принимается односторонний F-критерий (приложение Б).

При проведении ДА в условиях линейной модели (4.47) удобно использовать следующий алгоритм расчета. Находят:

- итоги по столбцам:

m

XAi yij ; j 1

- итоги по строкам:

k

XBj yij ;

i 1

-сумму квадратов всех наблюдений:

k m

Q1 yij2 ;

i 1 j 1

- сумму квадратов итогов по столбцам, деленную на число наблюдений в столбце:

187

- сумму квадратов итогов по строкам, деленную на число наблюдений в строке:

- квадрат общего итога, деленный на число всех наблюдений

(корректирующий член):

-сумму квадратов для столбца:

SSXA Q2 Q4 ;

-сумму квадратов для строки:

SSXB Q3 Q4 ;

-общую сумму квадратов:

SSобщ. Q1 Q4;

-остаточную сумму квадратов:

188

SS SSобщ SSXB SSXA

Q1 Q4 Q3 Q4 Q2 Q4

Q1 Q2 Q3 Q4;

-оценку дисперсии S2XA :

- оценку дисперсии S2XB :

- оценку дисперсии S2 :

Результаты расчета удобно представлять в виде таблицы 4.6.

Таким образом, установив при помощи ДА значимость влияния факторов, выясняют затем, какие именно средние значения Y различны.

Как было отмечено ранее, линейная модель вида (4.47) справедлива лишь при отсутствии взаимодействия факторов. В противном случае этому взаимодействию как самостоятельному фактору присуща своя дисперсия

X2 A XB .

Вприведенном выше алгоритме при наличии взаимодействия между

факторами ХА и ХВ дисперсия X2 A XB , как составная часть, входит в дисперсию

189

ошибки 2 . Выделить и оценить эту дисперсию можно только при наличии параллельных наблюдений (таблица 4.4). При указанном расположении наблюдений их рассеяние в каждой ячейке относительно среднего той же ячейки обусловлено действием только случайных причин с дисперсией X2 A XB .

Рассеяние же самих средних в ячейках по всем возможным сочетаниям уровней факторов ХА и ХВ вокруг общего среднего, помимо фактора случайности, вызывается влиянием фактора взаимодействия ХА ХВ с

дисперсией X2 A XB . Кроме этих факторов на рассеяние средних по строкам

оказывает влияние только один фактор ХВ с дисперсией X2B , а на рассеяние

средних по столбцам – только один фактор ХА с дисперсией X2 A , так как все уровни другого фактора в каждом из этих случаев осреднены.

В этом случае для получения модели вида (4.46) общую сумму квадратов отклонений, наблюдений от общего среднего SSобщ. необходимо разложить уже на четыре компонента, отвечающие перечисленным выше факторам.

Таблица 4.6 – Двухфакторный ДА с одним наблюдением в ячейке

190