Теория эксперимента. Учебное пособие

Следовательно, каждый из входных факторов моно варьировать только на двух уровнях – верхнем и нижнем, а количество опытов N будет равно 8:

N = 23 = 8.

Для определения дисперсии воспроизводимости экспериментов проведём по три параллельных опыта в каждой точке плана. За центр плана – базовый уровень – принимаем начальные значения исследуемых факторов.

Интервал варьирования входных факторов выбираем широкий и равный четырём срединным ошибкам определения исследуемых входных факторов.

Значения перечисленных параметров в натуральном масштабе приведены в таблице 3.3.

Таблица 3.3 – Исходный статистический материал в натуральном масштабе

Для построения модели вида (3.36) осуществим кодирование входных факторов, построим матрицу планирования ПФЭ 23 и после рандомизации проведем 24 опыта с использованием математический модели движения центра масс снаряда.

Матрица планирования и результаты вычислительного эксперимента приведены в таблице 3.4.

141

Таблица 3.4. – Матрица планирования и результаты вычислительного эксперимента

В таблице 3.4. приняты следующие обозначения: X0 – фиктивная переменная;

X1 – фактор V0 в кодированном виде;

X2 – фактор 0 в кодированном виде;

X3 – фактор С в кодированном виде;

yij, где i-1.8; j-1.3 – значения выходного параметра Dij в метрах и в ij-

опыте.

В качестве входных неуправляемых случайных факторов, создающих «шум» при проведении вычислительного эксперимента, были заданы случайные воздействия внешней среды – метеофакторы, как суммы соответствующих постоянных и случайных составляющих.

2 Проверка возможности проведения обработки результатов эксперимента методом множественного регрессионного анализа.

Выполнение основных предпосылок возможности проведения регрессионного анализа предопределено порядком проведения эксперимента. Так как эксперимент вычислительный, то ошибка фиксации (измерения) значений входных исследуемых факторов равна нулю. «Шум» эксперимента является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами N(M[ ] = 0, 2 const), так как разброс метеофакторов

142

моделировался нормальным законом распределения. Следовательно, и

выходной параметр Д - также будет подчиняться данному закону распределения (это следует из-за того, что в результате композиции нескольких нормальных законов получается нормальное суммарное распределение). Таким образом, следует проверить предпосылку – однородность оценок дисперсии выходного параметра.

Как было отмечено ранее, фактически это проверка постоянства дисперсии «шума»:

2 const.

Считается, что это условие выполнено, если справедлива гипотеза:

опытов в каждой точке плана эксперимента, производится с помощью критерия Кохрена. Статистика G этого критерия имеет вид:

S2 max

G jN , (3.37)

S2

j 1 j

опыта.

Например, для первого опыта имеем:

143

которых приведены в таблице 3.5.

Таблица 3.5 – Исходный материал для проверки однородности оценок дисперсий

Определяем расчетное значение G - критерия по формуле (3.37):

значений G – критерия (приложение А) выбираем его критическое табличное

144

значение для уровня значимости = 0.05 числа степеней свободы f = l – 1 = 3 – 1 = 2 и числа суммируемых оценок дисперсий, равного N:

Gтабл(0,05; N 8; f 2) 0,5157.

Сравниваем расчетное и табличное значение G – критерия:

Gрасч 0,2488 Gтабл 0,5157.

Так как расчетное значение меньше табличного критического значения,

то гипотеза об однородности ряда выборочных дисперсий выходного параметра не отвергается. Это означает, что значимых различий и в качестве оценки дисперсии воспроизводимости эксперимента можно взять среднюю дисперсию, то есть:

fвоспр N(l 1) 8(3 1) 16.

Таким образом, все предпосылки для проведения множественного регрессионного анализа выполняются и можно приступить к расчету коэффициентов уравнения регрессии.

3 Определяем оценки коэффициентов регрессии:

1 N

bi N xji yiэ ,

j 1

145

Таким образом, уравнение приближенной регрессии будет иметь вид:

y 2,208 151,13x1 20,04x2 210,79x3.

4 Проводим статистический анализ уравнения регрессии.

Проверка адекватности уравнения регрессии результатам эксперимента:

Определим значения оценок выходного параметра yj по результатам

вычислений с использованием полученного уравнения приближенной регрессии:

146

y1 2,208 151,13( 1) 20,04( 1) 210,79( 1) 81,909;

y2 2,208 151,13( 1) 20,04( 1) 210,79( 1) 384,159;

y3 2,208 151,13( 1) 20,04( 1) 210,79( 1) 41,833;

y4 2,208 151,13( 1) 20,04( 1) 210,79( 1) 344,083;

y5 2,208 151,13( 1) 20,04( 1) 210,79( 1) 339,669;

y6 2,208 151,13( 1) 20,04( 1) 210,79( 1) 37,417;

y7 2,208 151,13( 1) 20,04( 1) 210,79( 1) 379,743;

y8 2,208 151,13( 1) 20,04( 1) 210,79( 1) 77,493.

Вычисляем оценку дисперсии адекватности:

C целью проверки статистической гипотезы вида:

H0 :S2ад S2воспр.;

H1 :S2ад S2воспр,

определяем из таблицы приложения Б критическое значение F –

критерия для уровня значимости α = 0.05 и степеней свободы числителя

f1 = N – h = 8 – 4 = 4

147

и знаменателя f2 = 16;

Сравниваем расчетное и табличное значения F – критерия:

Fрасч. = 4,5926 > Fтабл. = 3,7294.

Так как расчетное значение F – критерия больше табличного, то гипотеза об адекватности полученного значения приближенной регрессии экспериментальным данным отвергается.

Как было отмечено выше, в данном случае можно уменьшить интервалы варьирования факторов, выбрать другую базовую точку либо перейти к нелинейной модели – к полиному второго порядка. Однако в рассматриваемых условиях целесообразно учесть, что один из часто встречающихся видов нелинейности связан с тем, что эффект одного фактора зависит от уровня, на котором находится другой фактор. ПФЭ позволяет количественно оценить все эффекты взаимодействия факторов. Дополнительных экспериментов при этом проводить не требуется, следует лишь расширить исходную матрицу планирования. Вид такой матрицы приведен в таблице 3.6.

Таблица 3.6 – Расширенная матрица планирования ПФЭ 23

5 Определяем оценки коэффициентов регрессии при взаимодействиях

факторов.

Планирование по матрице, представленной в таблица 3.6, позволяет

получить математическую модель вида:

y b0x0 b1x1 b2x2 b3x3 b12x1x2 b13x1x3 b23x2x3 b123x1x2x3 .

Определяем неизвестные оценки коэффициентов регрессии:

Выполняя аналогичные вычисления, можно получить следующие величины оценок коэффициентов регрессии: b13 = +10.7; b23 = -8.46; b123 = +3.96.

Записываем аналогичные вычисления приближенной регрессии:

y 2,208 151,13x1 20,04x2 210,79x39,3x1x2 10,7x1x3 8,46x2x3 3.96x1x2x3

6 Проводим статистический анализ уравнения регрессии.

Так как в полученном уравнении число оцениваемых коэффициентов регрессии равно числу опытов N и степеней свободы для проверки его адекватности нет, то статистический анализ начнем с проверки значимости коэффициентов.

149

6.1 Проверка значимости оценок коэффициентов регрессии.

C целью проверки статистической гипотезы вида:

H0 :bi 0;

H1:bi 0.

определяем из таблицы приложения Г критическое значение t – критерия для уровня значимости 0.05 и числа степеней свободы:

f fвоспр 16;

tтабл(0,052, f 16) 2,12.

150