Теория эксперимента. Учебное пособие

Такой тип смешивания дает возможность оценивать линейные эффекты совместно с эффектами взаимодействий второго порядка, а взаимодействия первого порядка — совместно друг с другом. Если полуреплики заданы генерирующими соотношениями x4 = x1x2 и x4 = -x1x2, то в этом случае определяющими контрастами являются 1=+x1x2x4 и 1= -x1x2x4,

следовательно, мы получаем планы с разрешающей способностью III и

некоторые основные эффекты смешиваем с парными взаимодействиями:

Разрешающая способность этих полуреплик ниже, чем у планов с разрешающей способностью IV, с помощью которых линейные эффекты определяются независимо от парных взаимодействий.

Эти полуреплики имеют в каждой строке как четные, так и нечетные комбинации букв. Такие полуреплики не являются главными. Разумен выбор такой полуреплики, если имеется априорная информация о большей значимости тройных взаимодействий по сравнению с парными или о незначимости трех парных взаимодействий x2x4, x1x4, х1х2.

Как видим, выбор дробной реплики требует много терпенья и труда. Но другого пути нет. Применяя дробное планирование, нужно точно знать

81

систему смешивания, четко представлять, какую информацию приходится терять.

Теперь рассмотрим пример полуреплики 244 1 . В качестве факторов рассматривались переменные, показанные в таблице 1.14. Матрица планирования представляла собой полуреплику от 24 , заданную генерирующим соотношением x4=x1x2x3. Определяющим контрастом является 1=x1x2x3x4. Умножая определяющий контраст последовательно на

х1, х2, х3 и х4, определяем совместно оценки линейных эффектов и взаимодействий

b1 1 234 , b3 3 124 , b12 12 34 ,

Матрица планирования, результаты эксперимента и коэффициенты регрессии показаны в таблице 1.15.

24 1

Таблица 1.15 – Матрица планирования 4

82

При выборе полуреплики 25 1 в распоряжении экспериментатора имеется множество вариантов. Так, х5 можно приравнять к одному из шести парных взаимодействий. В этом случае получим полуреплику с разрешающей способностью III. Очевидно, это будет не лучший выбор полуреплики. Далее,

х5 можно приравнять к одному из четырех тройных взаимодействий. Тогда получим план с разрешающей способностью IV, и все линейные эффекты будут смешаны с тройными взаимодействиями.

И, наконец, полуреплика может быть задана генерирующими соотношениями x5 = x1x2x3x4 или x5 = x1x2x3x4. Определяющими контрастами в этом случае будут 1 = x1x2x3x4x5 и 1= -x1x2x3x4x5. Такие реплики носят название планов с разрешающей способностью У и обозначаются 255 1.

1.3.4 Реплики большой дробности

Процедура выбора реплики любой дробности совершенно аналогична.

При выборе 1/8-реплики 26 3 можно воспользоваться вектор столбцами трех взаимодействий, например, так:

1)x4 = x1x2, x5 = x1x3, x6 = x2x3;

2)x4 = x1x3, x5 = x2x3, x6 = x1x2x3;

3)x4 = x1x2, x5 = x2x3 x6 = x1x2x3;

4)x4 = x1x2, x5 = x1x3 x6 = x1x2x3.

Для каждого из этих решений можно сделать шесть перестановок. Итого получается 24 возможности выбора 1/8-реплики. Это при условии, что мы всюду выбираем положительные генерирующие соотношения. Из четырех приведенных выше решений наименее удачно первое, поскольку все линейные эффекты смешиваются с парными взаимодействиями. Если априорно известно,

83

что из всех взаимодействий наиболее существенно x1x2, то нужно выбрать второе решение, если x1x3 — третье, а если x2x3 — четвертое.

Мы последовательно рассмотрели реплики различной дробности: 1/2-

реплику от 28, 1/2-реплику от 2*, 1/4-реплику от 25, 1/8-реплику от 2е и 1/16-

реплику от 27. В первом случае необходимы четыре опыта. Во всех прочих случаях экспериментатор ставит восемь опытов. С ростом числа факторов увеличивается дробность реплик и усложняется система смешивания.

Предельное число факторов для восьми опытов — семь. В этом случае

При числе факторов от 8 до 15 приходится ставить 16 опытов. С ростом числа факторов дробность реплик растет следующим образом: 1/32-реплика от

29 , 1/64-реплика от 210 , 1/128-реплика от 211 , 1/256-реплика от 212 , 1/512-

реплика от 213 , 1/1024-реплика от 214 и 1/2048-реплика от 215 . Предельное число факторов для 16 опытов — пятнадцать. План с предельным числом факторов для данного числа опытов и заданной модели называется насыщенным. В этом случае число опытов равно числу оцениваемых коэффициентов. Все рекомендации для выбора системы смешивания аналогичны приведенным выше. Можно, далее, рассматривать построение дробных планов для числа факторов от 16 до 31 (при этом необходимо ставить

32 опыта), для числа факторов от 32 до 63 (здесь необходимы 64 опыта) и т. д.

Однако для решения столь сложных задач рекомендуется применять методы отбора факторов, например метод случайного баланса [5].

Выводы. Дробные реплики находят широкое применение при получении линейных моделей. Целесообразность их применения возрастает с ростом количества факторов. В табл. 1.12 показано, что при исследовании влияния 15 факторов можно в 2048 раз сократить число опытов, применяя реплику большой дробности (16 опытов вместо 32768). Эффективность

84

применения дробных реплик зависит от удачного выбора системы смешивания линейных эффектов с эффектами взаимодействия, а также от умелой стратегии экспериментирования в случае значимости некоторых взаимодействий.

Априорные сведения о взаимодействиях могут оказать большую услугу экспериментатору.

При построении дробных реплик используют следующее правило: для того чтобы сократить число опытов при введении в планирование нового фактора, нужно поместить этот фактор в вектор-столбец матрицы,

принадлежащий взаимодействию, которым можно пренебречь. Реплики,

которые используются для сокращения опытов в 2m раз, где m=1, 2, 3, 4, . . .,

называются регулярными. Они пользуются большой популярностью, так как позволяют производить расчет коэффициентов уравнения так же просто, как и в случае полного факторного эксперимента.

При применении дробных реплик линейные эффекты смешиваются с эффектами взаимодействий. Чтобы определить систему смешивания, нужно знать определяющие контрасты и генерирующие соотношения.

Определяющим контрастом называется символическое обозначение произведения любых столбцов, равное +1.

Чтобы определить, какие взаимодействия смешаны с данным линейным эффектом, нужно умножить определяющий контраст на этот линейный эффект и получить генерирующие соотношения. Например, если имеются следующие генерирующие соотношения: x1 = x2x3, x2 = x1x3 и x3 = x1x2, то определяющий контраст будет 1 = x1x2x3.

Эффективность реплики зависит от системы смешивания. Реплики, у

которых линейные эффекты смешаны с взаимодействиями наивысшего порядка, являются наиболее эффективными, так как обладают наибольшей разрешающей способностью. Для освобождения линейных эффектов от взаимодействий первого порядка можно использовать метод «перевала».

Смысл метода в добавлении новой реплики, все знаки которой противоположны исходной реплике. С ростом числа факторов быстро

85

увеличивается число реплик различной дробности. Эти реплики характеризуются обобщающими определяющими контрастами, которые получаются перемножением по два, по три и т. д. исходных определяющих контрастов.

2 ПРОВЕДЕНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА

После того как матрица планирования сформирована, можно приступать к проведению эксперимента, дополнительно ответив на ряд вопросов.

Как подготовить опыт?

Как реализовать матрицу планирования?

Как подсчитать ошибки и классифицировать их?

Как устранить систематические ошибки, вызванные неоднородностью сырья, различиями в аппаратуре и т. д.?

Для этого надо как-то формализовать имеющиеся сведения об объекте.

При этом можно воспользоваться анкетой.

2.1 Анкета для сбора априорной информации

Постановка задачи, выбор параметров оптимизации

1.Краткое описание процесса, объекта.

2.Формулировка цели исследования (если задач несколько, то ранжирование их по степени важности).

3.Выбор параметров оптимизации (откликов).

Заполните таблицу 2.1, включив в нее все возможные отклики.

Таблица 2.1 – Перечень параметров оптимизации

86

4.Желаемый результат. Число и точность.

5.Какой результат будет считаться отличным, хорошим,

удовлетворительным, неудовлетворительным.

Выбор факторов

1.Список всех «подозреваемых»: факторов, которые могут влиять на процесс.

2.Список факторов, включаемых в реальный эксперимент (таблица 2.2).

Таблица 2.2 – Список факторов

3.Существуют ли возможности установления значения фактора на любом заданном уровне?

4.Сохраняются ли заданные значения уровней в течение опыта?

5.Могут ли некоторые комбинации уровней факторов привести к остановке процесса (например, взрыв, не технологичность и т. д.)?

Число опытов

1.Желаемое число опытов, ограничения на число опытов.

2.Желаемый срок проведения исследования.

3.Примерная длительность одного опыта.

4.Стоимость и затраты труда при проведении одного опыта, серии.

5.Желаемое число уровней для одного фактора.

6.Возможность выполнения параллельных опытов и их желаемое число.

7.Возможность проведения параллельных измерений.

8.Желаемая стратегия проведения опытов (например, по одному в день и т. д.).

Учет априорной информации

1.Условия и результаты, достигнутые при изучении аналогичных процессов.

2.Результаты предварительного эксперимента и данные (литературные и собственные) о величине ошибки эксперимента.

87

3.Взаимодействия факторов.

Вследующем параграфе приведен конкретный пример постановки задачи, в котором использованы некоторые части этой анкеты.

2.2 Реализация плана эксперимента

К проведению опытов необходимо тщательно подготовиться, собрать опытную установку, проверить и прокалибровать приборы, подготовить исходное сырье, составить специальный журнал.

Журнал заранее оформляют в соответствии с методикой и планом опытов так, чтобы была ясна последовательность действий. Первую страницу можно посвятить выбору цели исследования и параметрам оптимизации, с

указанием их размерностей.

Желательно перечислить все параметры, которые могут служить характеристиками процесса и указать, какая между ними существует корреляция. Если же сведения о корреляции отсутствуют, целесообразно подсчитать коэффициенты парной корреляции, проверить их значимость и выделить группу некоррелированных параметров. На второй странице перечислить факторы и поместить таблицу уровней факторов и интервалов варьирования. Не забудьте указать единицы измерения факторов!

Для матрицы планирования удобно отвести разворот журнала, чтобы имелась возможность дополнить ее до расчетной матрицы, записать повторные опыты и примечания.

Чтобы облегчить работу лаборанта и исключить ошибки, связанные с выбором условий опыта, в рабочей матрице планирования целесообразно проставлять не только кодовые значения факторов, но и натуральные.

При составлении рабочей матрицы планирования необходимо оставить место для столбцов, в которых отмечаются даты постановки опытов и фамилии лаборантов, если опыты проводят несколько человек. Имея перед

88

собой план опытов, необходимо подсчитать количество исходного сырья и заранее его подготовить.

Желательно, чтобы сырье было однородное. Если требование однородности выполнить невозможно, нужно заблаговременно определить количество различных партий сырья и соответствующим образом разбить матрицу планирования на блоки.

На этом вопросе мы далее остановимся подробно. Отдельные страницы нужно отвести для расчетов, которые необходимы для определения количества всех компонентов отклика и т. п., а также для анализа результатов эксперимента. Все расчеты должны сохраняться до окончания работы.

Пример 1. В качестве примера приводится оформление журнала при оптимизации исследуемого процесса.

Планирование эксперимента при оптимизации процесса.

Цель исследования: определение оптимальных условий процесса.

Параметры, характеризующие процесс:

Формулировка задачи оптимизации.

Факторы, определяющие процесс.

Выбор варьируемых факторов. Принятие решения по выбору числа управляемых факторов в опытах.

Выбор технологии.

Описание экспериментальной установки. Опыты проводятся на лабораторной установке (описание установки).

Выбор основного уровня и интервалов варьирования. Для того чтобы выбрать уровни факторов, следует собрать и проанализировать литературные и данные ранее проведенных испытаний.

На основании анализа имеющихся сведений решено выбрать следующие уровни и интервалы варьирования факторов таблице 2.3.

89

Таблица 2.3 – Уровни факторов и интервалы варьирования

Имея такую таблицу, можно приступить к обработке экспериментальных данных. Каждая горизонтальная строка матрицы — это условия опыта.

Условия опытов чрезвычайно разнообразны. Ведь мы занимаемся планированием многофакторного эксперимента, когда все факторы изменяются одновременно (таблица 2.4).

Таблица 2.4 – Матрица планирования и результаты эксперимента

Приступая к планированию эксперимента, мы должны отказаться oт

использования классического эксперимента, который применим в основном для исследования систем, у которых, как правило, отсутствует взаимное влияние факторов. В сложных системах обычно наблюдается взаимодействие факторов, что существенно затрудняет выявление истинных связей между

реакцией и факторами методом изменения факторов по одному.

90