Теория математической обработки геодезических измерений. Часть 2. Оценивание результатов геодезических измерений и их погрешностей на основе вероятнос

В итоге в коэффициенты при неизвестных в нормальных уравнениях войдут сомножители gi :

Для системы нормальных уравнений также используют обо- значения Гаусса или так называемые «скобки Гаусса», но изме- ненные для случая неравноточных измерений:

логично [gxz]= [gzx], [gxw]= [gwx] и так далее.

С использованием таких обозначений система нормальных уравнений при неравноточных измерениях примет вид

a[gxx]+ b[gxy]+ c[gxz]+ ... + k[gxw]= [gxh], a[gxy]+ b[gyy]+ c[gyz]+ ... + k[gyw]= [gyh], a[gxz]+ b[gyz]+ c[gzz]+ ... + k[gzw]= [gzh],

………………………………………..

a[gxw]+ b[gyw]+ c[gzw]+ ... + k[gww]= [gwh].

После таких преобразований получают систему m линей- ных уравнений с m неизвестными.

Веса условных уравнений находят в соответствии с рас- смотренными ранее соображениями из условий:

121

n

ågi = 1,

i−1

g1 : g2 :...: gn = 1/σ12 :1/σ22 :...:1/σn2

Следовательно, для решения задачи нужно знать дисперсии условных уравнений или их приближенные оценки. Если веса определены (или выбраны), то после преобразований дальнейшее

решение задачи выполняют в полном соответствии с изложенным ранее. В итоге получают оценки неизвестных величин и их сред- ние квадратические отклонения.

5.4.2Преобразование нелинейных условных уравнений

клинейному виду

Метод наименьших квадратов по ряду причин принципиаль-

ного характера используется только для линейных условных уравнений. В обширном классе практических задач совместно изме- ряемые физические величины связаны нелинейными зависимостя- ми. Для того чтобы расширить область применимости метода наи- меньших квадратов на эту группу задач, целесообразно нелиней- ные условные уравнения преобразовать к линейному виду.

Известны различные способы линеаризации условных урав- нений. Рассмотрим некоторые из них.

Способ замены переменных. Рассмотрим произвольную функциональную зависимость двух величин y = f (x) . В широ- ком ряде случаев ее можно представить в виде степенного ряда:

y = h + ax + bx2 + cx3 + ... + kxm .

Проводя замену переменных y = t , x2 = y , x3 = z ,…,

xm = w, нелинейную функцию преобразуют в линейную для но-

вых переменных

t = h + ax + by + cz + ... + kw .

Если функция имеет вид

y = (h + ax + bx2 + cx3 + ... + kxm )−1,

то заменой переменных y = t−1 , x2 = y , x3 = z ,…, xm = w нели-

нейную функцию преобразуют в линейную

t = h + ax + by + cz + ... + kw .

122

Далее строят систему условных уравнений в новых пере- менных и решают ее методом наименьших квадратов. После чего проводят обратную замену переменных.

Способ выравнивающих функций. Представленный выше пример является частным случаем линеаризации с помощью выравнивающих функций. Для зависимости y = f (x) выравниваю-

щими функциями называют функции F1 = ϕ(x, y) и F2 =ψ (x, y), связанные между собой линейной зависимостью. Для целого ряда функций y = f (x) такие выравнивающие функции существуют.

1. Пусть y = axb . Выравнивающие функции F1 = lg x , F2 = lg y . Тогда линейная зависимость

F2 = lg a + blg F1 .

F2 = аF1 + b.

Общий способ линеаризации. Общий способ решения данной задачи основан на допущении, что несовместность условных урав- нений невелика, то есть их невязки малы. Кроме того, предполагает- ся, что функция т переменных t = f (a, b,c,...,k; x, у, z,...,w) непре- рывна и дифференцируема. Напомним, что неизвестными здесь яв- ляются параметры a, b,c,...,k . Тогда, определив приближенные зна- чения параметров a0 , b0 ,c0 ,...,k0 , раскладывают функцию

t = f (a, b,c,...,k; x, у, z,...,w) в ряд Тейлора в окрестности точки с координатами (a0 , b0 ,c0 ,...,k0 ). Предполагая, что окрестность этой точки, в которой исследуется функция t = f (a, b,c,...,k; x, у, z,...,w) невелика, ряд Тейлора ограничивают линейными членами, то есть

f(a, b,c,...,k; x, у, z,..., w) = f (a0 , b0 ,c0 ,...,k0 ; x, у, z,..., w) +

+∂∂af a=a0 δa + ∂∂fb b=b0 δb + ∂∂fc c=c0 δc + ... + ∂∂fk k =k0 δk ,

123

где δa , δb , δс , ..., δk – поправки к начальным значениям коэффици-

ентов a0 , b0 ,c0 ,...,k0 .

Видно, что в результате нелинейные условные уравнения преобразованы к линейному виду относительно неизвестных по- правок δa , δb , δс , ..., δk . Решая линеаризованную систему уравне-

ний методом наименьших квадратов, получим значения δa , δb , δс , ..., δk , позволяющие уточнить значения коэффициентов

a, b,c,...,k :

a = a0 + δa , b = b0 + δb , c = c0 + δc ,…, k = k0 + δk .

При необходимости уточненные с помощью поправок пер- вого порядка значения коэффициентов можно уточнить еще раз, взяв их за исходные, разложив функцию в окрестности новой точки и построив новую систему условных уравнений относи- тельно поправок второго порядка. Для обеспечения высокой точ-

ности определения коэффициентов нелинейной функции этот процесс может повторяться несколько раз.

Важным практическим вопросом применения этого способа линеаризации является такой: откуда взять нулевое приближение значений коэффициентов, то есть значения a0 , b0 ,c0 ,...,k0 , подле-

жащие дальнейшему уточнению? Может быть предложен сле- дующий вариант ответа на него. Из системы условных уравне- ний, объединяющей n ³ m уравнений, произвольно выбирают m уравнений и решают такую «усеченную» систему относительно m неизвестных a, b,c,...,k . Полученное приближенное решение и

используют в качестве исходного для последующего уточнения.

Контрольные вопросы и задания

1.В чем заключаются основные особенности совместной обработки результатов измерений нескольких величин? Чем со- вместные (совокупные) измерения отличаются от косвенных?

2.Методом максимального правдоподобия для величин y и

x, распределенных по нормальному закону и связанных линей- ной зависимостью y = ax + b , найдите оптимальные оценки зна-

чений коэффициентов a, b и их дисперсии σa2 и σb2 .

124

3. Две величины, y и x , связаны линейной зависимостью y = ax + b . С использованием метода наименьших квадратов оп- ределите значения неизвестных коэффициентов a, b по следую- щим совокупностям полученных результатов измерений:

а)

3.Поясните сущность и перечислите последовательность операций, направленных на решение системы линейных услов- ных уравнений методом наименьших квадратов. Что такое сис- тема нормальных уравнений?

4.Как оценивают дисперсии значений неизвестных коэффи- циентов в линейных зависимостях нескольких величин, установ- ленных в процессе совместной обработки результатов измерений?

5.Как приобразуют систему неравноточных условных урав- нений к системе равноточных условных уравнений?

6.Как линеаризовать систему нелинейных условных урав- нений способом выравнивающих функций?

7.В чем заключается существо общего способа линеариза-

ции условных уравнений при совместном измерении нескольких величин?

125

Список литературы к главе 5

1.Большаков В.Д. Теория ошибок наблюдений : учебник для вузов / В.Д. Большаков. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Не-

дра, 1983. – 223 с.

2.Бурмистров Г.А. Основы способа наименьших квадратов / Г.А. Бурмистров. – М.: Госгеолтехиздат, 1963. – 392 с.

3.Великанов М.И. Ошибки измерений и эмпирические зави- симости / М.И. Великанов. – Л.: Гидрометеоиздат, 1962. – 302 с.

4.Гайдышев И.П. Анализ и обработка данных: специальный справочник / И.П. Гайдышев. – СПб.: Питер, 2001. – 752 с.

5.Гаусс К.Ф. Избранные геодезические сочинения, т. 1. Способ наименьших квадратов / К.Ф. Гаусс. – М.: Геодезиздат, 1957. – 157 c.

6.Куштин И.Ф. Геодезия: обработка результатов измерений: учебное пособие / И.Ф. Куштин. – М.: ИКЦ «МарТ», 2006. – 288 с.

7.Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы теории обработки наблюдений / Ю.В. Линник. – М.: Физматгиз, 1958. – 334 с.

8.Мудров В.И. Методы обработки измерений (квазиправдо- подобные оценки) / В.И. Мудров, В.Л. Кушко. – М.: Советское радио, 1983. – 304 c.

9.Рабинович С.Г. Погрешности измерений / С.Г. Рабинович

–Л.: Энергия, 1978. – 262 с.

10.Чеботарев А.С. Способ наименьших квадратов с основа- ми теории вероятностей / А.С. Чеботарев. – М.: Геодезиздат, 1958. – 606 с.

11.Bonamente M. Statistics and Analysis of Scientific Data. – Springer Science+Business Media, 2013. – 301 р.

12.Buonaccorsi J.P. Measurement error: models, methods, and applications. – New York: Chapman & Hall/CRC interdisciplinary statistics series, 2010. – 438 р.

126

Приложение. Проверка гипотезы о совпадении измеренного среднего и известного значения величины. Распределение Стьюдента

Пусть имеется множество {xi }1n результатов многократного

измерения нормально распределенной величины x . На основании этих данных построены две оценки:

- значения величины x в виде выборочного среднего ариф-

метического

и дисперсии среднего арифметического

Предполагается выяснить (проверить гипотезу), совпадает ли измеренное значение ~x величины x с известным (заданным заранее, точно известным, например, из теоретических соображе- ний, расчетов или данных проведенных ранее измерений) значе- нием x0 этой величины, то есть выполняется ли равенство

~x = x0 .

В качестве x0 может выступать и неизвестное, но объектив-

но существуюшее, истинное значение величины x .

Удобно ввести новую величину, содержащую как результат измерения в виде выборочного среднего арифметического, так и

лением величины t при конечном количестве измерений n явля- ется распределение Стьюдента. Это распределение было ис-

127

пользовано в §2.5 при формировании точечной и интервальной оценок многократно непосредственно измеренной величины. Здесь некоторые свойства этого распределения будут рассмотре- ны подробнее.

Форма кривой этого распределения показана на рисунке П.1. Эта линия симметрична относительно прямой, проходящей через точку t = 0 перпендикулярно оси t , и при неограниченном росте числа n приближается к кривой нормального распределе-

ния с параметрами t = 0 и σt2 =1. При малых n максимум рас-

пределения Стьюдента ниже максимума нормального распреде- ления, а на крыльях, то есть при удалении от центра, график рас- пределения Стьюдента проходит выше.

Рис. П.1. Форма кривой распределения Стьюдента для разного числа измерений: 1 – n = 2; 2 – n = 5; 3 – n → ∞

(нормальное распределение)

Рассмотрим причины, приводящие к появлению распреде- ления Стьюдента. Мысленно представим эксперимент, в котором проводят многократные измерения величины x , нормально рас- пределенной относительно значения математического ожидания,

равного нулю (m(x) = ~x = 0), с точно известной дисперсией σ 2 . Последовательно выполним несколько (т ) серий из n измере-

ет порядковый номер серии многократного измерения. Значения

128

дисперсии среднего арифметичекого, поэтому они, как и сама ве- личина x , являются случайными. Это приводит к различным на- борам данных, реализуемым в каждой серии результатов много- кратного измерения. Среднее ~xj находят согласно выражению

распределения р(x). Это показано на рисунке П.2.

Процедура получения распределений сводится к построе- нию соответствующих гистограмм, как это описано в главе 1.

лю, а его дисперсия – к σ 2 / n.

Преобразуем полученные распределения и приведем их к одному масштабу. Для этого введем новые переменные:

Рис. П.2. Форма кривых распределений р(x) (кривая 1) и р(~x,n) (кривая 2)

Распределение р(t′) – нормальное распределение с нулевым средним и единичной дисперсией, а р(t,n) – распределение

129

Стьюдента, которое формируется в результате наложения стати- стики оценки σ x j на гауссову статистику величины ~x j . Именно эти распределения (для различных n ) приведены на рисунке П.1.

рассмотрении, то можно заметить, что в числителе первого от-

[−t(α,n), t(α,n)], в который величина t попадет с заданной веро- ятностью α . Для этого необходимо решить уравнение

t(α ,n)

òр(t,n)dt = α .

−t(α ,n)

Вероятность α определяет так называемый уровень значи-

мости.

Если значение t = (~x − x0 ) /σ x попадает в указанный интер- вал, то это свидетельствует в пользу справедливости гипотезы о совпадении ~x и x0 при уровне значимости α . Чем больше α , тем шире интервал, тем больше вероятность обнаружить в нем вели- чину t , относящуюся к эксперименту при ~x = x0 . Найдем интер- вал возможного изменения величины x . Воспользуемся

130