Теория математической обработки геодезических измерений. Часть 2. Оценивание результатов геодезических измерений и их погрешностей на основе вероятнос

лую величину zi << zi . Значение функции в этом случае также изменится:

Возводя правую и левую части равенства в квадрат и при- меняя к обеим частям операцию математического ожидания, по-

лучим

где m( ∙ ) – операция определения математического ожидания. Например, для величины h эта операция имеет вид

m(h) = òhp(h)dh ,

Wh

p( h ) – плотность распределения вероятности величины h ; Ωh – область возможных значений величины h . Тогда

61

m[(Dh)2 ] = ò[h - m(h)]2 h(h)dh = σh2 ;

Ωh

m[(Dx)2 ] = ò[x - m(x)]2 p(x)dx = σ x2 ;

Ωx

m(Dx) = ò[x - m(x)]p(x)dx = ò xp(x)dx - m(x) = m(x) - m(x) = 0.

Ωx Ωx

Окончательное выражение имеет вид

Если использовать в качестве меры погрешности измерения величины h величину среднеквадратического отклонения, то

Это выражение имеет общий характер, и его можно исполь- зовать для оценивания погрешности косвенного измерения, вы- полненного при любом виде функции h = f (z1, z2 ,..., zn ) . При этом

следует помнить, что при непосредственных расчетах необходи- мо подставлять погрешности σ~x′i , найденные для одного и того

же значения доверительной вероятности. Погрешность косвенно- го измерения величины h также будет соответствовать этому значению доверительной вероятности. Чаще всего используют значение доверительной вероятности, равное 0,68. То есть при определении погрешности косвенных измерений учитывают то- чечные оценки величин-аргументов. Как и в случае определения погрешности функции одной переменной следует помнить, что

полученное соотношение для определения погрешности функции нескольких переменных справедливо при малых значениях по- грешностей аргументов.

Заметим, что полученные соотношения для определения дисперсии и среднеквадратического отклонения функции не- скольких аргументов справедливы в случае, когда результаты из-

62

мерения величин z1 ,z2 ,...,zn независимы. Иногда это условие не выполняется. Статистическую связь переменных z1 ,z2 ,...,zn опре-

деляет ковариационная матрица

результатов измерений для каждой пары i-ой и j-ой величин, от- ражающие степень их взаимосвязи (−1 ≤ kij ≤ 1; kii = k jj = 1; kij = 0

–для результатов независимых измерений).

Вслучае зависимых погрешностей формула для определе-

ния дисперсии функции переменных z1 ,z2 ,...,zn принимает вид

Пример зависимых величин в практике геодезических изме- рений дают измерения смежных углов способом круговых прие- мов. В самом деле, если уменьшается измеренное значение угла β , то неизбежно увеличивается измеренное значение смежного

ему угла и наоборот. Данное обстоятельство порождает отрица-

тельную статистическую связь с коэффициентом корреляции

k= −0,5.

Вдальнейшем однако будет предполагаться, что аргументы

соответствующих функций при косвенных измерениях являются независимыми переменными.

Рассмотрим несколько характерных примеров для частных

случаев функции h = f (z1, z2 ,..., zn ) , часто встречающихся на практике.

63

§ 3.3 Применение методики оценивания погрешности функции нескольких переменных при решении частных задач

3.3.1 Расчет погрешности аддитивной функции.

Пусть функция h является аддитивной функцией трех аргу- ментов x, y,z , измеренных с погрешностями, имеющими диспер-

сии σ x2 ,σ y2 ,σ z2 :

h = ±ax ± by ± сz ,

где a,b,с – постоянные коэффициенты.

Тогда

σh2 = (∂h / ∂x)2σ x2 + (∂h / ∂y)2σ y2 + (∂h / ∂z)2σ z2 = a2σ x2 + b2σ y2 + с2σ z2 .

В случае произвольного числа n аргументов xi , i =1, n ад-

Часто встречается ситуация, когда все коэффициенты сла- гаемых аддитивной функции ai =1. В этом случае формула для

расчета дисперсии функции h имеет вид

n

σ h2 = åσ x2i ,

i=1

то есть дисперсия суммы слагаемых равна сумме дисперсий сла- гаемых.

Важно отметить, что вне зависимости от знака перед от- дельными слагаемыми аддитивной функции частые составляю- щие погрешности всегда складываются.

Следует обратить внимание на то, что линейный (в данном случае) характер функции h позволяет снять ограничения на ве-

личину σ x2 ,σ y2 ,σ z2 . Формула для дисперсии линейной функции σ h2 справедлива для любых значений дисперсий аргументов.

64

Рассмотрим частный случай линейной функции h , когда она является средним арифметическим величин {xi }1n , то есть

σ2 = σ 2 , получим следующее соотношение:

xi

Именно это выражение для определения дисперсии среднего арифметического было использовано в §2.5 при формировании точечной и интервальной оценок результатов многократных из- мерений.

Важно отметить, что дисперсия среднего арифметического ряда {xi }1n слагаемых в n раз меньше дисперсии суммы этих сла- гаемых.

3.3.2 Расчет погрешности мультипликативной функции

Пусть теперь функция h является мультипликативной функ- цией аргументов x, y,z , измеренных с погрешностями, имеющи-

ми дисперсии σ x2 ,σ y2 ,σ z2 :

h = ±ax±α y±β z±γ ,

где ±α , ± β , ± γ – постоянные показатели степени частных со- множителей функции.

Тогда

σh2 = (∂h / ∂x)2σ x2 + (∂h / ∂y)2σ y2 + (∂h / ∂z)2σ z2 =

=(aαx±α −1 y±β z±γ )2σ x2 + (aβx±α y± β −1z±γ )2σ y2 + (aγx±α y±β z±γ −1)2σ z2 .

65

оценки погрешности мультипликативной функции приобретет простой вид

Для мультипликативной функции относительная дисперсия погрешности равна сумме дисперсий относительных погрешно- стей сомножителей с коэффициентами, равными квадрату пока- зателя степени соответствующего аргумента.

Для частного случая мультипликативной функции, когда все значения показателей степени сомножителей ±αi = 1, формула

для расчета относительной дисперсии функции имеет вид

n

δh2 = åδx2i .

i=1

Этот результат полезно сравнить с результатом определения дисперсии оценки в виде среднего геометрического, сформиро-

ванной по совокупности результатов измерений {xi }1n , то есть мультипликативной функции h вида

n

h= Õxi1/ n . i=1

Получим следующее соотношение:

n

δh2 = n−2 åδx2i .

i=1

Таким образом, относительная дисперсия произведения ряда {xi }1n сомножителей в n2 раз больше относительной дисперсии

среднего геометрического этих сомножителей.

Учитывая, что среднее геометрическое и среднее арифмети- ческое часто используются в качестве оценок измеряемой вели-

66

чины по данным измерений {xi }1n , целесообразно установить, ка- кая из этих оценок обладает меньшей дисперсией. Рассмотрим

одинаковый числитель σ x2 , а отличаются только знаменателем. Поэтому символ σ x2 может быть вынесен за знак суммы:

степенным с показателем степени, равным − 2. Учтем также, что

среднего геометрического и среднего арифметического. С учетом того, что для общей совокупности ненулевых результатов изме-

рений {xi }1n , всегда выполняется неравенство

можно утверждать, что дисперсия среднего арифметического всегда меньше, чем дисперсия среднего геометрического.

3.3.3 Расчет допустимой невязки теодолитного хода

Данный пример демонстрирует возможность применения приемов обработки косвенных измерений в практике геодезиче- ских измерений. Будем полагать, что все углы βi теодолитного

хода измерены техническим теодолитом. Измерения считаем равноточными. Среднеквадратическая погрешность измерения всех углов одинакова σ βi = σ β . Примем, что σ β = 30′′.

67

Определим угловую невязку теодолитного хода νΣβ как раз- ность сумм измеренных значений углов βi и их истинных (теоре- тических) значений β~i , определяемую по формуле

В этом выражении βi рассматриваются как независимые пе-

i=1

Находим частные производные функции νΣβ по переменным

βi :

Используя выражение для дисперсии аддитивной функции,

получим

Тогда

σνΣβ = nσ β2 = σ β2 n .

Вкачестве значения предельной невязки используем интер- вал значений результатов измерений, распределенных по нор- мальному закону относительно среднего, появление любого зна- чения в котором происходит с вероятностью не менее 0,95. Сле-

довательно

ν Σβ = 2σνΣβ = 2σ β n .

Если подставить в это выражение численное значение сред- неквадратической погрешности теодолитного измерения, то по- лучим предельное значение невязки теодолитного хода в зависи-

мости от числа измеренных углов

ν Σβ = 1¢× n .

Таким образом, получена часто используемая в геодезии формула предельно допустимой угловой невязки.

68

3.3.4 Расчет допустимой невязки нивелирного хода

Пусть проложен нивелирный ход длиной L в равнинной ме- стности, вследствие этого на каждый километр хода приходится

примерно одно и то же число станций при среднем расстоянии

среднеквадратической погрешностью σ h .

Определим невязку нивелирного хода ν Σh как разность сумм измеренных значений высот hi и их истинных (теоретических)

i=1

соображений, что и при определении предельной невязки теодо- литного хода, находим вначале частные производные функции ν Σh по переменным hi :

Используя выражение для дисперсии аддитивной функции,

получим

Тогда

σνΣh = nσ h2 = σ h n .

Вкачестве значения предельной невязки используем интер-

вал значений результатов измерений, распределенных по нор- мальному закону относительно среднего, появление любого зна- чения в котором происходит с вероятностью более 0,99. Следо-

вательно

69

Величины σ h для каждого класса нивелирования установле-

ны соответствующими нормативными документами и являются постоянными для каждого класса. Введем обозначение

η = σ ~ ν

3 h / l . Подставив его в формулу для расчета Σh , получим

ν Σh = ηL .

Это соотношение часто используется в геодезии. Причем коэффициент η , зависящий от класса нивелирования, принимает следующие значения:

-для нивелирования IV класса – η = 20 мм;

-технического нивелирования – η = 50 мм.

3.3.5 Расчет погрешности длины и дирекционного угла отрезка линии, заданного двумя точками с известными координатами

Пусть измерены прямоугольные координаты x, y двух точек A и B. Средние квадратические погрешности определения коор- динат σ xA = σ xB = σ yA = σ yB = σ~ . По координатам вычислены дли-

на d и дирекционный угол α отрезка линии AB . Требуется оп- ределить среднеквадратические погрешности σ d , σα определе-

ния величин d и α .

Длину линии вычисляют по формуле

d = (xB − xA )2 + ( yB − yA )2 .

Частные производные функции d по переменным xA , xB , yA , yB определяются следующими соотношениями:

70