Теория математической обработки геодезических измерений. Часть 2. Оценивание результатов геодезических измерений и их погрешностей на основе вероятнос

12. Измерены три величины x, y, z с известными весами qx , qy , qz . Определите вес величины w, если она связана с величи- нами x, y, z следующими соотношениями:

w = 2(x + y) + z4 ,

= 7x2 w z3

= sin x + cos y w e3z .

13. Чему равен вес суммы углов теодолитного хода? Вес

суммы линейных измерений вытянутого полигонометрического хода? Вес превышения нивелирного хода, проложенного в рав- нинной местности?

Список литературы к главе 4

1.Ананченко В.Н. Теория измерений: учебное пособие / В.Н. Ананченко, Л.А. Гофман. – Ростов н/Д: Издательский центр ДГТУ, 2002. – 214 с.

2.Большаков В.Д. Теория ошибок наблюдений: учебник для вузов / В.Д. Большаков. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Недра, 1983. – 223 с.

3.Гайдаев П.А. Теория математической обработки геодези- ческих измерений / П.А. Гайдаев, В.Д. Большаков. – М.: Недра, 1969. – 400 с.

4.Гайдышев И.П. Анализ и обработка данных : специаль- ный справочник / И.П. Гайдышев. – СПб.: Питер, 2001. – 752 с.

5.Куштин И.Ф. Геодещия: обработка результатов измерений: учебное пособие / И.Ф. Куштин. – М.: ИКЦ «МарТ», 2006. – 288 с.

6.Мудров В.И. Методы обработки измерений (квазиправдо- подобные оценки) / В.И. Мудров, В.Л. Кушко. – М.: Советское радио, 1983. – 304 c.

7.Рабинович С.Г. Погрешности измерений / С.Г. Рабинович.

–Л.: Энергия, 1978. – 262 с.

8.Buonaccorsi J.P. Measurement error: models, methods, and applications. – New York: Chapman & Hall/CRC interdisciplinary statistics series, 2010. – 438 р.

101

Глава 5 Обработка результатов совместных и совокупных

измерений

§ 5.1 Особенности совместной обработки результатов измерений нескольких величин

Пусть имеется некоторая функция y = f (x1,..., xm ) , отра- жающая связь величины y и величин x1,..., xm , где m – число ар- гументов функции y . Эту зависимость можно записать в виде y − f (x1,..., xn ) = 0. Фактически, если известны точные значения величин y, x1, ..., xm и вид функции f , любую из величин y, x1, ..., xm можно выразить через все оставшиеся. Этот факт от-

ражает неявная форма записи исходной функции

ϕ( y, x1,..., xm ) = 0 .

Эта запись функциональной связи величин отражает тот факт, что любое изменение значения одной из величин неизбеж- но влечет изменения всех других (или хотя бы части из них).

Наличие функциональной связи ϕ( y, x1,..., xm ) = 0 приводит

ктрем типам задач.

Кзадачам первого типа относятся задачи определения од-

эту совокупность, на основе их известных функциональных свя- зей. Если предположить, что известные и неизвестные величины находятся в причинно-следственных отношениях, то в рамках данного типа задач возникают прямые задачи, если известны причины, а неизвестны следствия, и обратные задачи, если, на- орот, известны следствия, а неизвестны причины. Примером прямой задачи является определение одной неизвестной величи- ны (пусть это будет величина y ), представленной в виде извест-

ной функции y = f (x1,..., xm ) . К такого рода задачам относятся

задачи обработки косвенных измерений. Обработка прямых из- мерений, когда величины x1, ..., xm являются реализациями одной

и той же случайной величины x , а величина y = ~x – оценкой ис- тинного значения величины x , также входит в эту группу задач.

102

Ко второму типу относятся задачи уточнения вида функ- циональной зависимости ϕ( y, x1,..., xm ) = 0 по известным значени-

ям величин y, x1,..., xm . Обычно речь идет об уточнении парамет-

ров функциональной зависимости для известного класса функ- ций. Такие задачи обычно называют задачами аппроксимации. Если значения величин y, x1,..., xm известны точно, то решение

данной задачи носит тривиальный характер. Однако при обра- ботке данных измерений величин y, x1,..., xm , отличающихся от

истинных значений вследствие неизбежных погрешностей, реше- ние подобных задач требует применения специальных приемов.

Рассмотрим функциональную зависимость ϕ( y, x1,..., xm ) = 0 .

Для того чтобы подчеркнуть возможность корректировки вида этой зависимости по результатам измерений величин y, x1,..., xm ,

запишем ее в виде ϕ( y, x1,..., xm ;a0 ,...,am ) = 0, где a0 ,...,am – коэф-

фициенты, определяющие различия функций y = f (x1,..., xm ) в рамках заданного семейства функций. Пусть {yi }1n , {x1i }1n ,…, {xтi }1n

– множества результатов совместных измерений величин y, x1,..., xт . По результатам этих измерений может быть построена

система п условных уравнений:

ϕ( y1, x11,..., xm1;a0 ,...,am ) =ν1;

ϕ( y2 , x12 ,..., xm2 ;a0 ,...,am ) =ν2 ;

……………………………….

ϕ( yп , x1п ,..., xmп ;a0 ,...,am ) =νп .

Если бы результаты измерений yi , x1i ,..., xmi были строго равны истинным значениям величин y, x1,..., xт , то все уравнения выродились бы в одно уравнение ϕ( y, x1,..., xm ;a0 ,...,am ) = 0. Од-

нако вследствие наличия погрешностей измерений левые части всех уравнений отличаются друг от друга, а их правые части не равны нулю. Величины νi , стоящие в правых частях уравнений,

называют невязками. Устранить (или уменьшить) невязки можно путем правильного выбора параметров a0 ,...,am . Эти параметры в

рассматриваемой системе уравнений являются неизвестными.

103

Решение этой системы может быть найдено, если число уравне- ний будет не менее числа неизвестных n ³ m +1. При этом реше- ние может быть найдено лишь приближенное, удовлетворяющее некоторому критерию. В качестве такого критерия часто исполь- зуют сумму квадратов невязок, а решение ищут из условия дос- тижения минимума этим критерием, то есть методом наимень- ших квадратов.

Третий тип задач также связан с обработкой данных со- вместных измерений всей совокупности величин y, x1,..., xт . При

этом вид функциональной зависимости уточнению не подлежит, так как определяется некими внешними условиями, часто зако- номерностями фундаментального характера. Единственный путь согласования в рамках незыблемой модели функциональной свя- зи величин y, x1,..., xn , результатов измерений, полученных с по-

грешностями, связан с введением поправок к полученным значе- ниям величин. Введение таких поп»равок приводит к тому, что исправленные результаты в большей степени соответсвуют тео- ретической модели их функциональной связи, по сравнению с исходными значениями. Фактически введение поправок регули-

рует смещение результатов измерений относительно истинных значений. Эту процедуру называют уравновешиванием или уравниванием результатов измерений, а весь третий тип задач –

задачами уравнивания результатов.

Вэтом случае система условных уравнений имеет вид

ϕ( y1 − z0 , x11 − z1,..., xm1 − zm ) =ν1 ;

ϕ( y2 − z0 , x12 − z1,..., xm2 − zm ) =ν2 ;

…………………………………….

ϕ( yn − z0 , x1n − z1,..., xmn − zm ) =νп .

Устранить (или уменьшить) невязки условных уравнений можно путем правильного выбора поправок z0 ,...,zm . Эти поправ-

ки в рассматриваемой системе уравнений являются неизвестны- ми. Решение этой системы может быть найдено, если число урав- нений не менее числа неизвестных n ³ m +1. При этом решение может быть найдено также лишь приближенное, удовлетворяю- щее некоторому критерию. В качестве такого критерия и в этой

104

группе задач часто используют сумму квадратов невязок, а реше- ние ищут из условия достижения минимума этим критерием, то есть методом наименьших квадратов.

При совместной обработке результатов геодезических изме- рений могут возникать задачи второго типа (аппроксимации), а особенно часто – задачи третьего типа, то есть задачи уравнива- ния. Примечательно, что задачи аппроксимации могут быть трансформированы в задачи уравнивания и наоборот. Покажем

3

это на простом примере линейной функции y = åxt = x1 + x2 + x3 .

t=1

Пусть xt – значения углов в треугольнике, тогда система услов- ных уравнений для задачи второго типа имеет вид (i = 1, n )

x1i + z1 + x2i + z2 + x3i + z3 −180 =νi .

Здесь zt – соответствующие поправки к измеренным значе-

ниям углов треугольника. Таким образом, условное уравнение, характерное для задач аппроксимации, трасформировалось в ус- ловное уравнение для задач уравнивания.

§ 5.2 Определение параметров линейной функции

Рассмотрим задачу совместной обработки результатов изме- рений двух величин y и x , связанных линейной зависимостью

общего вида

y = ax + b .

где a, b – неизвестные коэффициенты, подлежащие определению по совокупности полученных результатов измерений, включаю- щие множества {yi }1n , {xi }1n .

Составим систему условных уравнений:

yi − axi − b =νi , i = 1, n , n ³ 2 .

Решение системы условных уравнений будем искать при выполнении следующего условия:

n

åνi2 → min .

i=1

105

Требование поиска решения в условиях, когда сумма квад- ратов невязок условных уравнений принимает минимальное зна-

чение является следствие применения для решения задачи метода наименьших квадратов. Ранее была рассмотрена возмож-

ность применения этого метода при решении задач обработки прямых (непосредственных) и косвенных измерений. При этом было доказано совпадение оценок, полученных методом наи-

меньших квадратов и максимального правдоподобия при условии нормального закона распределения результатов измерений. Рас-

смотрим возможность его применения при обработке результатов совместных измерений на примере двух величин y и x , связан-

ных линейной зависимостью.

Возведем правые и левые части сформированных условных уравнений в квадрат и просуммируем преобразованные уравнения

Следовательно, условие достижения минимума суммой

квадратов невязок эквивалентно минимизации функционала

n

S = å( yi − axi − b)2 :

i=1

n

å( yi − axi − b)2 → min

i=1

Функционал S – квадратичная функция параметров a, b, следовательно, она непрерывна и дифференцируема в области экстремума (рисунок 5.1). Поэтому поиск экстремума (миниму- ма) осуществляют путем приравнивания нулю частных произ- водных S по неизвестным параметрам a, b, решая систему урав-

нений

После дифференцирования получим

n

− 2å( yi − axi − b)xi = 0,

i=1

106

n

−2å( yi − axi − b) = 0.

i=1

Тождественные преобразования приводят к окончательному следующему виду системы уравнений:

Рис. 5.1. Схема, иллюстрирующая процедуру поиска

n

минимума функционала S = å( yi − axi − b)2

i=1

В результате получена система двух линейных уравнений с двумя неизвестными a и b.

Решая эту систему уравнений, например, методом Крамера, получают значения параметров a и b, определяющие положение оптимальной линейной зависимости, «наилучшим образом» со- ответсвующей данным измерений. Для этого строят определите-

ли системы

107

а с их помощью рассчитывают значения параметров a и b:

На рисунке 5.2 представлена найденная в процессе решения задачи оптимальная линейная зависимость y = ax + b (обозначе- на пунктирной линией, пересекающей ось абсцисс в точке x = −b / a под углом ϕ = arctg a ). Прямая «наилучшим образом» пересекает окрестности точек (обозначенных черными кружками) с координатами (xi , yi ), соответствующими парам результатов со- гласованных измерений величин y и x . Невязки условных урав- нений νi для каждой пары результатов обозначены вертикальны-

ми отрезками, соединяющими экспериментальные точки с най- денной линией y = ax + b . Символами y)i обозначены «исправ-

ленные» значения величины y , лежащие на найденной прямой. Метод наименьших квадратов, использованный для получе-

ния оптимальной линейной зависимости величин x, y по резуль- татам их совместных измерений напрямую не опирается на ка- кие-либо вероятностные представления. Поэтому целесообразно сопоставить результаты, полученные этим методом и методом максимального прадоподобия. Пусть (как и ранее) имеется n

парных измерений величин x, y : {xi , yi }1n , где i = 1,n . По данным измерений необходимо найти оценки параметров a и b, а также оценки их дисперсий σa2 и σb2 . О статистических свойствах ре-

зультатов измерений и их погрешностей сделаем следующие предположения.

108

совпадают с точным значением функции axi + b . Это предполо- жение иллюстрирует рисунок 5.3.

Рис. 5.3. Схематическое представление найденной оптимальной линейной зависимости как линии, соединяющей точки, в которых величина y принимает значение математического

ожидания yi , связанного с соответствующим значением xi

Распределение плотности вероятности величины yi вокруг точного значения axi + b определяет выражение:

Вследствие взаимной независимости значений yi , называе-

мой функцией правдоподобия, определяют как произведение плотностей вероятностей распределений отдельных измерений:

n

L( y1, y2 ,..., yn ) = ∏ p( yi ) =

i=1

110