Теория математической обработки геодезических измерений. Часть 2. Оценивание результатов геодезических измерений и их погрешностей на основе вероятнос

Для нахождения максимума L удобно исследовать ln L :

Очевидно, что в этом случае функция ln L не является диф- ференцируемой по ~x . В точках x = xi производная этой функции

имеет разрывы. Вместе с тем анализ этой функции показывает, что максимум ln L , а тем самым и функции правдоподобия, дос- тигается в том случае, если выполняется условие

n

å − ~ →

xi x min .

i=1

Данное соотношение определяет и условие минимизации модульного критерия, рассмотренное нами ранее. Тогда же было установлено, что минимуму модульного критерия соответствует оптимальная оценка, совпадающая с выборочной медианой.

Три примера, приведенные выше, показывают, что вид наи- лучших оценок по результатам многократных измерений сущест- венно зависит от вида закона распределения результатов измере- ний. Только для результатов многократных измерений, распреде- ленных по нормальному закону, наилучшей оценкой истинного значения измеряемой величины является среднее арифметическое.

§2.5 Формирование точечных и интервальных оценок по результатам многократных прямых измерений

При анализе алгоритмов формирования оценок значений физических величин по результатам их многократных измерений будем исходить из следующих обоснованных ранее допущений:

-искомое истинное значение физической величины соответст-

вует значению параметров положения центра функции плотности распределения генеральной совокупности результатов измерения;

-генеральная совокупность результатов измерения распре- делена по нормальному закону, параметром положения центра которого является математическое ожидание значений генераль- ной совокупности;

-исходя из любого доступного, но всегда конечного объема

эмпирических данных {xi}1n , i =1, n , точное определение значения математического ожидания генеральной совокупности невозможно;

41

- наилучшей оценкой математического ожидания генераль- ной совокупности, распределенной по нормальному закону, явля- ется среднее арифметическое, построенное по совокупности дан-

ных выборки {xi}1n .

Тогда алгоритм формирования оценки ~x истинного значения измеряемой величины будет отражать следующее соотношение:

При обработке большого объема последовательно получае- мых результатов измерений полезна рекуррентная формула рас-

чета среднего арифметического

где ~x[n−1], ~x[n] – значения среднего арифметического, рассчитан- ные по результатам (n −1) и n измерений xi ; xn – значение xi

при i = n.

Оценка истинного значения формируется путем вычисления среднего арифметического результатов n повторных измерений и является случайной величиной со своим законом распределения. Чем больше n , тем точнее можно оценить истинное значение.

Мерой точности полученной оценки может служить диспер-

сия σ 2 закона распределения полученной оценки. Если этот закон

~

х

нормальный, то значение σ 2 вполне описывает все статистиче-

~

х

ские свойства погрешности полученной оценки. В противном слу-

чае одного значения дисперсии для определения точности оценки в виде выборочного среднего арифметического недостаточно.

Рассмотрим первый случай, когда точность оценки вполне

характеризуется значением σ 2 . Дисперсия выборочного среднего

~

х

связана с дисперсией σ 2 распределения генеральной совокупно- сти, а тем самым с дисперсией любого результата, составляюще- го генеральную совокупность, соотношением

σ~2 = σ 2 .

х n

42

Это соотношение здесь дается без доказательства, но будет обосновано более строго в §3.2.

Так как значение σ 2 также неизвестно точно, то целесооб-

разно использовать его несмещенную оценку по совокупности полученных результатов измерений {xi}1n . Тогда оценка диспер- сии среднего арифметического может быть вычислена на основа-

В ряде случаев для вычисления оценки дисперсии единич-

ного результата σ~2 при определении дисперсии σ~~х2 = σ~2 / n сред-

него арифметического может оказаться полезной формула

рение (n =1) обладает погрешностью, которую характеризует дисперсия всей генеральной совокупности. На первый взгляд, здесь содержится противоречие: для оценки погрешности одно- кратного измерения необходимо провести многократные измере-

ния с целью определения значения σ~2 . Однако это противоречие

43

разрешается достаточно просто. Проведение измерений величи- ны x и определение дисперсии генеральной совокупности разде- ляют во времени и в пространстве. В частности, если предполо- жить, что случайная погрешность измерений обусловлена осо- бенностями применяемого метода и измерительного прибора, то

величину σ 2 можно определить в процессе калибровки прибора и контролировать в ходе периодических поверок. В определенном смысле с любым результатом измерений xi всегда связано значе-

ние дисперсии генеральной совокупности (или ее оценки). По- этому результаты измерений, относящиеся к одной генеральной совокупности, то есть полученные в одинаковых условиях с ис- пользованием одного и того же измерительного прибора, обла-

дают одинаковой погрешностью, величиной σ 2 . Такие измерения называют равноточными. Если же измерения одной и той же ве- личины относятся к разным генеральным совокупностям, то есть

осуществлены в разных условиях с использованием различных измерительных приборов, то они обладают различными погреш-

ностями (значениями σ~2 ). Такие измерения называют неравноточными. Таким образом, каждое единичное измерение характе-

ризуется парой чисел: значением xi и дисперсией σi2 генеральной совокупности, к которой принадлежит это измерение. В случае равноточных измерений все σi2 одинаковы. Именно обработка равноточных измерений будет рассмотрена в §2.4.

Когда расчеты значений ~x и σ~~х2 проведены, то окончатель-

ный результат равноточных измерений представляют в виде

Такую форму представления результатов многократных из- мерений физической величины называют точечной оценкой.

Данное представление свидетельствует о том, что даже по- сле проведения многократных измерений, точное (истинное) зна- чение измеряемой величины остается неизвестным. Обработка

эмпирических данных позволяет определить некоторый интервал

44

значений, в котором истинное значение может оказаться с доста- точно большой вероятностью. Центр этого интервала определяет оценка математического ожидания генеральной совокупности, то есть выборочное среднее арифметическое, а границы – значения

оценки среднеквадратического отклонения σ~~х , отложенные по

оси x вправо и влево относительно положения ~x . На рисунке 2.4 схематически представлен такой интервал. Для точечной оценки границы изображенного интервала находятся на расстоянии ε от

~x , которое соответствует значению σ~~х .

В соответствии со свойствами нормального распределения в

зультатов измерений. С такой же вероятностью такой интервал может «накрыть» истинное значение измеряемой величины. Од- нако с вероятностью около 32% истинное значение может и не

ность точечной оценки не превышает 68%.

Рис. 2.4. Доверительный интервал

Напомним, что достоверность измерений (один из показа- телей качества получаемых результатов) зависит от степени до- верия к результату и характеризуется вероятностью того, что ис- тинное значение лежит в указанных доверительных границах.

Интервал определяющий границы доверительной области называют доверительным интервалом, вероятность с которой

можно ожидать попадания истинного значения в доверительный интервал – доверительной вероятностью.

Таким образом, точечная оценка представляет собой интер- вальную оценку с доверительной вероятностью P ≈ 0,68.

Если же достоверность точечной оценки не удовлетворяет, есть два пути повышения качества получаемых результатов.

45

Первый путь заключается в увеличении числа проведенных

измерений. В этом случае уменьшается значение σ~~х , что приво-

дит к уменьшению доверительного интервала. Очевидно, что при n → ∞ происходит неограниченное сближение границ довери- тельного интервала к точке ~x , а само значение ~х неограниченно приближается к истинному значению измеряемой величины.

Второй путь – в увеличении доверительной вероятности при неизменном количестве измерений. Это достигается путем рас- ширения границ доверительного интервала. Например, использо-

значением доверительной вероятности получили название ин-

тервальных оценок.

При большом числе результатов измерений ( n > 25...30 ) до- верительную границу случайной погрешности ε вычисляют по

где zP – квантиль нормального распределения (квантильный

среднего арифметического.

Значение квантильного множителя zP определяют по табли-

це функции Лапласа при заданной доверительной вероятности Р (таблица 2.2)

Таблица 2.2 – Значения квантилей нормального распределения

Чем меньше число измерений, тем менее надежным являет-

ся определение доверительного интервала приведенным выше способом.

При небольшом числе результатов измерений ( n < 25...30 ) используют не гауссовское распределение, а распределение Сть- юдента, и доверительную границу случайной погрешности ε

рассчитывают по формуле

46

где tP – коэффициент Стьюдента (квантиль распределения Стью-

дента), σ~~x – оценка среднеквадратического отклонения среднего

арифметического.

Значение коэффициента Стьюдента tP определяют при задан-

ной доверительной вероятности P для n полученных результатов измерений с использованием данных, приведенных в таблице 2.3.

При увеличении числа измерений ( n > 30 ) распределение Стьюдента переходит в нормальное, а коэффициент Стьюдента сближается с квантилем нормального распределения (n → ∞ ,

tP ® zP ).

Анализируя данные таблицы 2.3 можно отметить, что при

фиксированном количестве измерений коэффициент Стьюдента растет по мере увеличения требуемой доверительной вероятно- сти, а при фиксированном значении доверительной вероятности – уменьшается с ростом числа измерений.

Таблица 2.3 – Значения коэффициента Стьюдента tP

Подводя итог сказанному, отметим, что обработка результа- тов многократных прямых измерений {xi}1n некоторой физической

47

величины сводится в общем случае к формированию интерваль- ной оценки, которую определяют три числа:

- значение среднего арифметического результатов измере-

- значение доверительной вероятности P.

В частном случае формирования точечной оценки значение доверительной вероятности не указывают, а границу погрешно-

сти определяют по формуле

В любом случае окончательный результат записывают как

~x ± ε .

После чего его представляют в стандартной форме, которая со- держит только достоверные, то есть правильно округленные, значения этих чисел. Заблуждением было бы полагать, что высо- кая точность вычислений при обработке данных может способст- вовать получению более точного результата измерения. Напри- мер, в ходе проведения расчетов значений ~x и ε компьютер мо- жет выдать с десяток ненулевых цифр, но все ли они будут дос- товерными? Обработка данных, какой бы сложной и трудоемкой она ни была, является вторичной по отношению к природе изу- чаемого объекта и процессу измерения. В окончательных число- вых значениях это следует учитывать, что и делают путем их ок- ругления.

Необходимость округления есть следствие неопределенности при оценивании окончательных результатов. В математиче- ской статистике доказано, что относительная погрешность оце-

личество измерений. При n ~ 10 относительная погрешность

оценивания σ~~x может достигать 30%. Понятно, что тогда теряет

48

смысл приводить в числовом выражении для погрешности лиш- ние цифры, которые окажутся заведомо ненадежными. Правда,

при выполнении промежуточных расчетов полезно иметь одну или две дополнительные цифры, которые понадобятся в процессе округления.

Порядок выполнения округления включает следующие этапы. 1. Выполняют предварительную запись окончательного ре- зультата измерения в виде ~x ± ε и выносят за общие скобки оди- наковые порядки среднего и погрешности, то есть множитель вида

10k , где k – целое положительное или отрицательное число. Числа в скобках переписывают в десятичном виде с использованием за- пятой, убрав тем самым оставшиеся порядковые множители.

2. Округляют в скобках число, соответствующее погрешности:

-до одной значащей (ненулевой) цифры слева, если эта цифра равна или больше 2, например, число 0,03411 округляют до 0,03;

-до двух первых цифр в случае, если первая значащая циф- ра после запятой в десятичной записи числа – единица, например число 0,00014232 округляют до 0,00014.

При округлении используют следующее правило:

-если цифра, расположенная за оставляемой, меньше 5, то

ееотбрасывают, например, число 0,034 округляют до 0,03;

-если больше 5, то оставляемую цифру увеличивают на единицу, например, число 0,037 округляют до 0,04;

-если отбрасываемая цифра равна 5, то наименьшая ошибка

достигается при округлении по правилу Гаусса до ближайшего четного числа, например, число 0,45 округляют до 0,4, и число 0,35 также округляют до 0,4.

3. Округляют в скобках число, соответствующее среднему значению ~x : последними справа оставляют цифры тех разрядов, которые сохранились в погрешности после ее округления.

4. Окончательно записывают ~x ± ε с учетом выполненных округлений. Общий порядок и единицы измерения величины приводят за скобками – получена стандартная форма записи.

Пример округления и записи окончательного результата из- мерений в стандартной форме приведен в таблице 2.4.

49

Таблица 2.4 – Запись окончательного результата измерения

В заключение рассмотрим пример обработки результатов многократных прямых измерений высоты h . Данные измерений помещены в таблице 2.5. Отметим, что измерения проводили с помощью обычной мерной ленты (рулетки) в условиях порыви- стого ветра, что привело к значительному разбросу результатов, как из-за растягивания ленты, так и вследствие влияния порывов ветра. Получившийся разброс хорошо заметен в таблице.

полняют два правых столбца таблицы. Находят среднее квадра-

доверительного интервала, которая служит оценкой случайной погрешности: ε = 1,1×0,18 = 0,20 м. Приборную погрешность при

50