Теория математической обработки геодезических измерений. Часть 2. Оценивание результатов геодезических измерений и их погрешностей на основе вероятнос

Подставляем полученные выражения для производных в общее выражение для среднеквадратического отклонения функ-

ствии с существом рассматриваемой задачи, получим

σd = σ~2cos2 α + 2sin2 α = σ~2 .

Дирекционный угол вычисляют по формуле

tgα = yB - yA . xB - xA

Для удобства дальнейшего вычислений функцию tgα целе- сообразно сначала прологарифмировать:

lntgα = ln( yB − yA ) − ln(xB − xA ) .

Поскольку функция задана в неявном виде, вычисляем про- изводную левой части этого выражения:

Тогда частные производные функции α по переменным xA , xB , yA , yB определяются следующими соотношениями:

общее выражение для среднеквадратического отклонения функ-

71

Для перехода от радианной меры к градусной необходимо умножить правую часть на величину ρ = 3438 (число минут в ра-

диане). Тогда получим окончательное выражение для средне-

квадратической погрешности определения дирекционного угла

σα = σ~ρd2 .

Таким образом, погрешность дирекционного угла, вычис- ленного по координатам концов отрезка прямой линии, обратно пропорциональна длине этого отрезка.

3.3.6 Среднеквадратическая погрешность разностей двойных измерений

В геодезической практике особую роль отводят однородным двойным измерениям. К таким измерениям относятся:

-измерения длины линий в прямом и обратном направлениях;

-измерения теодолитом при круге вправо и круге влево;

-измерения по двум сторонам рейки и др.

Метод двойных измерений одной и той же величины широ- ко применяется при исследовании приборов и инструментов, изучении условий, в которых производятся измерения.

Оценку погрешностей таких измерений также проводят с использованием формул для обработки косвенных измерений. Это связано с тем, что каждый результат d двойных измерений является линейной функцией двух аргументов (результата x(1 )

первого измерения и результата x( 2 ) второго измерения)

d = x(1) − x(2) .

Тогда дисперсия σ d2 аддитивной функции d как результата

Так как оба измерения являются измерениями одной и той же величины, проводятся в одинаковых условиях и с помощью

σd2 = 2σ x2 ,

72

σ х2 – дисперсия однократного измерения величины x, равная

дисперсии закона распределения генеральной совокупности ре- зультатов измерений.

Рассмотрим теперь ряд из n однородных двойных измере-

ний {di }1n , i =1, n , di = x(1)i − x(2)i . Для данной совокупности двой-

ных измерений можно записать систему условных уравнений

ния разности двойных измерений по совокупности {di }1n . Приме-

ним метод наименьших квадратов, то есть решение системы ус-

ловных уравнений будем искать путем минимизации суммы квадратов невязок:

Из этого условия следует, что при достаточно большом n

Тогда наиболее эффективная оценка дисперсии многократ-

ных двойных измерений при нулевом среднем арифметическом

~ = имеет вид d 0

где d~( 2 ) – среднее квадратическое результатов двойных измере- ний. Учитывая, что σ d2 = 2σ x2 , получим соотношение для диспер- сии σ x2

73

то есть средняя квадратическая погрешность каждого результата данного ряда измерений равна корню квадратному из суммы квадратов разностей парных измерений, деленной на число всех измерений.

Формула получена при условии отсутствия в измерениях систематических погрешностей. Однако наличие систематиче- ских погрешностей в результатах двойных измерений практиче- ски не оказывает сколько-нибудь заметного влияния на их разно- сти, хотя остаточная величина ее все же может присутствовать в разностях. Поэтому вычисленные по полученной формуле сред- ние квадратические погрешности могут оказаться преуменьшен- ными.

Использование разности двойных измерений представляет собой распространенный, но не единственно возможный случай

использования в качестве отдельных наблюдений комбинаций (функций) частных результатов измерений. Приведем еще один полезный пример.

Предположим, имеется группа результатов измерений {xi }1n . Все xi независимы и принадлежат к одной генеральной совокуп-

ляет собой среднее арифметическое разности двух измерений. Найдем первые два момента (математическое ожидание и дис- персию) величины yk , связав их с соответствующими моментами

74

смотренная ранее разность двух равноточных измерений одной и той же величины также имеет математическое ожидание, равное нулю, а дисперсию – в четыре раза меньшую.

Следовательно, обрабатывая группу yk (k = 1,...,r), можно также найти параметры величины xi (i = 1,...,n) . В частности,

чтобы найти оценку дисперсии x , надо удвоить оценку диспер- сии y .

и в предыдущем случае, вдвое меньше дисперсии x .

Если имеется {xi }1n результатов измерения величины x , то число реализаций r случайных величин y и y′, которые могут быть сформированы, определяется соотношением

только при значительном числе измерений {xi }1n , а соответст-

вующий поправочный коэффициент к оценке дисперсии, отра- жающий наличие связи статистической связи значений y (или

y′), найти нелегко. Эти же соображения полностью относятся и к разности двойных измерений.

75

Контрольные вопросы и задания

1.Что такое «косвенное измерение»? Почему в геодезии возникает потребность косвенных измерений?

2.Запишите формулу разложения произвольной непрерыв- ной и дифференцируемой функции одной переменной в ряд Тей- лора. При каких условиях возможно ограничить ряд Тейлора ли- нейным членом? Каким соотношением связаны дисперсии аргу- мента и функции?

3.Запишите общее соотношение, связывающее дисперсии аргументов и функции нескольких переменных? Как это соотно- шение изменится, если результаты измерений величин- аргументов окажутся статистически зависимыми?

4.Определите связь дисперсии аддитивной функции произ- вольного вида с дисперсиями величин-аргументов. Если имеется несколько величин с извесными дисперсиями, то какая линейная функция этих величин будет обладать меньшей дисперсией: сум- ма или среднее арифметическое?

5.Определите связь дисперсии мультипликативной функции произвольного вида с дисперсиями величин-аргументов. Если имеется несколько величин с извесными дисперсиями, то какая функция этих величин будет обладать меньшей дисперсией: про- изведение или среднее геометрическое?

6.Измерены три величины x, y, z с известными дисперсия-

ми σ x2 ,σ y2 ,σ z2 . Определите дисперсию величины w, если она свя- зана с величинами x, y, z следующими соотношениями:

w = 2(x + y) + z4 ,

w = 7zx32 + ln y ,

= sin x + cos y w e3z .

7.Как рассчитать допустимую угловую невязку теодолитно- го хода?

8.Как рассчитать допустимую невязку нивелирного хода?

76

9.Как рассчитать погрешность длины и дирекционного угла отрезка линии, заданного двумя точками с известными координа- тами?

10.Определите связь среднеквадратической погрешности разностей двойных измерений с среднеквадратической погреш- ностью единичного измерения. Как изменится эта связь, если из- мерять среднюю разность двух измерений или среднюю сумму?

Список литературы к главе 3

1.Ананченко В.Н. Теория измерений : учебное пособие / В.Н. Ананченко, Л.А. Гофман. – Ростов н/Д: Издательский центр ДГТУ, 2002. – 214 с.

2.Большаков В.Д. Теория ошибок наблюдений : учебник для вузов / В.Д. Большаков. – 2-е изд., перераб. и доп. М.: Недра, 1983. – 223 с.

3.Гайдышев И.П. Анализ и обработка данных : Специаль- ный справочник / И.П. Гайдышев. – СПб.: Питер, 2001. – 752 с.

4.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая ста- тистика / В.Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, 2003. – 479 с.

5.Куштин И.Ф. Геодезия: обработка результатов измере- ний : учебное пособие / И.Ф. Куштин. – М.: ИКЦ «МарТ», 2006. – 288 с.

6.Протасов К.В. Статистический анализ экспериментальных данных / К.В. Протасов. – М.: Мир, 2005. – 142 с.

7.Рабинович С.Г. Погрешности измерений / С.Г. Рабинович.

–Л.: Энергия, 1978. – 262 с.

77

Глава 4 Обработка результатов неравноточных измерений

Если все результаты единичных измерений из множества {xi }1n принадлежат к одной генеральной совокупности, то есть по-

лучены в одинаковых условиях с использованием одного и того же измерительного прибора, одним методом, то они обладают одинаковой погрешностью, характеризуемой величиной диспер-

сии σ 2 распределения результатов измерений. Такие измерения называют равноточными. Если же измерения одной и той же ве- личины относятся к разным генеральным совокупностям, то есть

осуществлены в разных условиях с использованием различных измерительных приборов и методов, то они обладают различны-

ми погрешностями (различными значениями дисперсии σi2 ). Та-

кие измерения называют неравноточными. Следовательно, каж-

дое единичное измерение некоторой физической величины всегда характеризуется парой чисел: значением xi и дисперсией σi2 ге- неральной совокупности, к которой принадлежит это измерение. В случае равноточных измерений все σi2 одинаковы. Ранее имен-

но равноточные измерения являлись основным предметом рас- смотрения. В настоящей же главе будут рассмотрены особенно- сти неравноточных измерений, их связь с равноточными, алго- ритмы обработки результатов неравноточных измерений и оцен- ки их погрешностей.

§ 4.1 Особенности неравноточных измерений. Вес результата измерения

Рассмотрим общую схему измерения величины x . Эта схема характеризуется тем, что оценку ~x значения этой величины фор-

мируют по совокупности доступных результатов измерений {yi }1n величины y , связанной с исходной функциональной зависимо- стью y = f (x) . Задача восстановления оценки величины ~x по данным измерений величины y , отягощенных погрешностями, называется обратной задачей измерений.

78

Построим систему условных уравнений для случая измере-

где νi = yi − ~y – невязка i-ого условного уравнения, yi = f (xi ) , ~y = f (~x). Применим метод наименьших квадратов, который пре-

дусматривает поиск решения этой системы уравнений исходя из условия достижения минимума суммой квадратов невязок. Пред- положим при этом, что не все условные уравнения одинаково «ценны» для построения решения. Поэтому вклад каждой из невя-

зок уравнений в формирование критерия для поиска решения также неодинаков. Будем характеризовать значимость каждого условного

уравнения для построения окончательного решения некоторым числом qi > 0. Тогда критерий поиска решения системы условных

уравнений может быть представлен в следующем виде:

n

åqiνi2 ® min ,

i=1

аалгоритм поиска решения (нахождения оптимальной оценки ~x )

Или окончательно выражение для оценки величины ~x :

79

i=1

тата косвенного измерения, отражающий его удельный вклад в формирование оценки ~x . Полученная оценка ~x является квазис-

n

редним. Подчеркнем, что вес gi = qi / åqi при произвольно вы-

i=1

бранных значениях qi > 0 удовлетворяет условию нормировки

n

ågi =1. Докажем это:

i=1

ной функции, когда y = cx , где c = const , то есть в случае непо-

средственных (прямых) измерений величины x, оценка соответ- ствует взвешенному среднему арифметическому:

80