Теория математической обработки геодезических измерений. Часть 2. Оценивание результатов геодезических измерений и их погрешностей на основе вероятнос

Сделаем еще несколько замечаний о связи взвешенных и невзвешенных оценок, с которыми мы уже сталкивались ранее. Рассмотрим условие нормировки весов в случае, когда все веса одинаковы gi = g , то есть все результаты измерений равнознач-

ны для построения оценки. Тогда справедливо равенство

Подставив такие значения весов в выражения для взвешен- ных средних, получим уже известные оценки (среднее арифмети- ческое, среднее квадратическое, среднее гармоническое и среднее геометрическое).

Таким образом, решение обратной задачи измерения приво- дит к множеству возможных оценок измеряемой величины ~x в зависимости от характера функции y = f (x) и значимости от-

дельных результатов измерений, характеризуемой их весами. Определим связь весов с параметрами, характеризующими

точность результатов измерений. Интуитивно понятно, что значи- мость отдельного результата должна быть тем больше, чем выше точность этого результата, то есть меньше его погрешность. Уста- новим эту связь в количественной мере для случая непосредствен- ных измерений величины x , распределенной по нормальному за- кону. Используем метод максимального правдоподобия.

Пусть в имеющейся группе результатов измерений {xi }1n ка- ждый отдельный результат xi распределен по нормальному зако- ну с функцией плотности вероятностей следующего вида:

81

В отличие от рассмотренного ранее случая равноточных из- мерений, xi принадлежат к разным генеральным совокупностям,

распределение которых характеризуется различными дисперсия- ми σi2 . Однако математические ожидания этих распределений

одинаковы, то есть все генеральные совокупности были сформи- рованы при измерении одного и того же значения величины x .

Условие

xi , m(xi ) = a

является необходимым для формирования оценок по результатам неравноточных измерений.

Функция правдоподобия может быть представлена как

Для нахождения максимума L удобно исследовать ln L . Тогда

i=1

ån κ (хi − a) = 0,

i=1 σi2

где κ – константа, имеющая размерность [x2 ], общая для всех слагаемых суммы.

Из этого уравнения находим оптимальную оценку для a :

Сопоставляя вид полученной оценки с построенным ранее взвешенным средним арифметическим, можно утверждать, что

82

нормированный вес связан с дисперсией результатов измерений соотношением

i=1

авес, не подвергнутый нормировке, может иметь любое положи-

тельное значение такое, что

qi = K ,

σi2

где K ³ 0 – любое число, отражающее значимость результата из- мерения xi . При K = 0 результат не имеет практического значе-

ния и полностью игнорируется при построении оценки величины х . С формальной точки зрения коэффициент K должен иметь

размерность [x2 ], чтобы обеспечивать безразмерность весового коэффициента qi . Нормированный вес является безразмерным

при любых обстоятельствах.

Следует обратить внимание на то, что полученная обратно

пропорциональная зависимость веса результата измерения и его дисперсии связана с нормальным законом распределения резуль- татов. Если вид закона распределения отличается от нормального веса измерений могут определяться по-другому. Покажем это на примере результатов, распределенных по закону Лапласа.

Для этого определим максимально правдоподобную оценку по результатам неравноточных измерений xi , распределенных по

закону Лапласа

83

Для нахождения максимума L удобно исследовать ln L :

Функция ln L не является дифференцируемой по ~x . В точ- ках x = xi производная этой функции имеет разрывы. Вместе с

тем анализ этой функции показывает, что максимум ln L , а тем самым и функции правдоподобия, достигается в том случае, если

выполняется условие

Данное соотношение определяет условие формирования оценки, которая минимизирует взвешенный модульный крите- рий. В качестве веса выступает параметр масштаба αi распреде-

ления результата xi . Минимуму этого критерия соответствует оп-

тимальная оценка, совпадающая с выборочной медианой в том случае, если все значения σ i близки, или с максимально точ-

ным значением хi , обладающим минимальным σ i . В любом слу- чае вес неравноточного измерения хi , распределенного по закону Лапласа, связан обратной пропорцией не с дисперсией σi2 , а со среднеквадратическим отклонением σ i .

Несмотря на существование подобных исключений, в даль- нейшем будем использовать веса, обратно пропорциональные дисперсиям результатов (их погрешности), подчеркивая близость обрабатываемых данных измерений к случайным величинам, распределенным по нормальному закону.

§ 4.2 Погрешность оценок, сформированных по результатам неравноточных измерений

Все рассмотренные в §4.1 взвешенные оценки, сформиро- ванные в процессе обработки результатов неравноточных изме- рений, относятся к классу взвешенных средних степенных

84

где gi – нормированный вес i-го результата измерений; k – пока-

затель степени, принимающий значения: k = −1 для взвешенного среднего гармонического, k =1 для взвешенного среднего ариф- метического, k = 2 для взвешенного среднего квадратического. Кроме того, легко можно доказать, что

то есть взвешенное среднее геометрическое также относится к группе взвешенных средних степенных и имеет показатель сте- пени k = 0 . Оценки в виде взвешенных средних степенных чрез-

вычайно важны для теории и практики обработки результатов измерений (в том числе геодезических) в силу того, что эти оцен- ки удовлетворяют трем фундаментальным свойствам.

1. Значение оценки определяется значениями частных ре- зультатов измерений (всеми, частью или хотя бы одним), то есть

оно должно усреднять совокупность значений результатов {xi }1n ,

быть средним по Коши:

min{x1,..., xn } ≤ ~x ≤ max{x1,..., xn},

где min{x1,..., xn } = xmin , max{x1,..., xn } = xmax – минимальное и максимальное значения из совокупности {xi }1n . Равенство соот- ветствует ситуации, когда x1 = ... = xi = ... = xn . Взвешенное сред-

нее степенное относится к классу оценок, формируемых по всей совокупности полученных результатов.

2. Для того чтобы можно было бы сравнивать между собой альтернативы, характеризуемые двумя множествами различных

значений частных результатов измерений {xi }1n и {xi′}1n , но оди- наковыми значениями весов qi = qi′, оценка ~x(x1,..., xn ) должна быть монотонной функцией по всем аргументам xi , то есть уве- личение значения хотя бы одного частного значения xi должно

всегда приводить к возрастанию (или убыванию) значения оцен- ки ~x :

"xi , x1′ ÎWx , xi > xi Þ ~x > ~x′

для монотонно возрастающей ~x(x1,..., xn );

85

"xi , x1′ ÎWx , xi > xi Þ ~x < ~x′

для монотонно убывающей ~x(x1,..., xn ).

3. Для количественного сравнения альтернатив в случаях, ко- гда физическая величина x измерена в метрических и некоторых нелинейных шкалах, необходимо, чтобы оценка обладала свойст- вом однородности (точнее, однородности первого порядка):

~x(λx1,...,λxn ) = λ~x(x1,..., xn ) ,

где λ ³ 0 . В чрезвычайно широком классе оценок в виде квазис- редних только оценки в виде взвешенных средних степенных об- ладают всеми тремя свойствами.

На этом основании задачу определения связи дисперсии оценки и дисперсий результатов неравноточных измерений бу-

дем решать в общем виде для взвешенного среднего степенного произвольного порядка.

Множество возможных взвешенных оценок, определенных по совокупности результатов неравноточных измерений {хi }1n с нормированными весами gi в виде взвешенных степенных сред-

них, удовлетворяет цепочке неравенств, которая будет использо-

вана в дальнейших выкладках

функцию n аргументов xi , каждый из которых обладает весом gi , то есть известен с точностью, характеризуемой дисперсией

средние степенные порядков 2k − 2 и k соответственно. Для ча-

86

стных случаев взвешенных средних гармонического (k = −1), геометрического (k = 0 ), арифметического (k = 1), квадратиче- ского (k = 2) полученная формула дает следующие выражения для соответствующих дисперсий:

ных (прямых) неравноточных измерений, которая в случае равно- точных измерений ( gi = g ,σi2 = σ 2 ) совпадает с известным выра-

рактерно, что дисперсии оценок в виде взвешенных средних

В этих двух случаях дисперсия σ 2 будет иметь минимальное

~( k )

x

значение среди степенных оценок с целыми показателями степе-

ни. Функция σ 2 (k), являясь непрерывной функцией k , возрас-

~( k )

x

тает на интервалах k > 2 и k < 1. Соответствующие значения

симального значений из совокупности x1 ,...,xn . В простейшем, но часто встречающемся на практике случае равноточных (σi2 = σ 2 )

значений частных показателей минимальное значение диспепсии

Примечательно, что на интервале 1< k < 2 возможны оценки с дробными показателями степени с дисперсией меньшей, чем

i=1

87

Следует обратить внимание, что только оценка дисперсии

взвешенного среднего арифметического справедлива при любых значениях дисперсий σi2 . Все остальные хорошо отражают влия-

ние дисперсии отдельных неравноточных измерений на величину дисперсии взвешенной оценки при малых σi2 . Точность рачетов

снижается по мере роста погрешности отдельных неравноточных измерений.

§ 4.3 Объединение результатов прямых измерений

Одну и ту же величину часто измеряют в разное время, в разных условиях, различными измерительными приборами, а по- рой разными методами. Поэтому возникает задача объединения полученных данных, с тем чтобы найти наиболее точную оценку измеряемой величины, учитывающую всю полученную инфор- мацию.

Во время длительных циклов измерений, собирая в группы данные за ограниченное время, можно получать промежуточные оценки измеряемой величины, естественно находить окон-

чательный результат измерения путем объединения промежу-

точных результатов, без лишних вычислений.

Поэтому задача объединения результатов измерений имеет большое практическое значение, в том числе в геодезической практике. Вместе с тем важно отличать ситуации, при которых объединение результатов оправдано, от тех, при которых оно недопустимо. Лишено смысла объединение таких результатов из- мерений, при которых, по существу, измерялись разные по раз- меру величины.

Математически строгое решение имеет следующая задача. Есть L групп измерений величины х одного и того же раз-

мера a . По измерениям каждой группы составлены оценки изме- ряемой величины ~х1 , ~х2 , ..., ~хL . Измерения осуществлены методом прямых измерений, поэтому в качестве оценок измеряемой вели- чины использованы средние арифметические результатов в каж- дой группе. При этом математические ожидания частных оценок равны истинному значению a

m(~х1 ) = m( ~х2 ) = ... = m( ~хL ) = a .

88

Известны дисперсии σ12 ,σ 22 ,...,σ L2 результатов измерений в каждой группе и число измерений n1 ,n2 ,...,nL в каждой группе.

Требуется найти оценку измеряемой величины по данным

всех групп наблюдений. Эту оценку обозначают ~х и называют

совокупным средним.

Различие дисперсий результатов измерений в каждой группе позволяет рассматривать проиежуточные оценки как результаты неравноточных измерений. Поэтому будем искать ~х как линей- ную функцию ~х1 , ~х2 , ..., ~хL , то есть как взвешенное среднее ариф- метическое:

i=1

В геодезии такую оценку иногда называют общей арифме-

тической серединой.

Следовательно, задача сводится к нахождению весовых ко- эффициентов (весов) gi .

Поскольку m(~xi ) = a , то и m(~x) = a , поэтому можно запи-

сать

gL =1- ågi . Найдем условие минимума D(x). Для этого возь-

i=1

мем частные производные от D(~x) по каждой величине gi и при-

89

равняем их нулю. Поскольку у нас L − 1 неизвестных, то получим L − 1 уравнений:

Эта система равенств дополнена соотношениями, содержа- щими весовой коэффициент gL , на том основании, что устране- ние gL из системы уравнений с использованием соотношения

{ −1

gL =1- ågi не диктовалось какими-либо принципиальными со-

i=1

ображениями и вместо gL можно было взять весовой коэффици-

ент с любым номером.

Таким образом, веса средних арифметических групп наблю- дений для того, чтобы сформированная оценка была эффектив- ной, должны, помимо условия нормировки, удовлетворять сле- дующему условию:

Чтобы найти веса gi , нужно знать либо дисперсии средних арифметических, либо отношения дисперсий. Если мы имеем

σ~2 , то, полагая, что gi¢ ~ σi−2 , получим

xi

gi = Lgi′

åg¢

i=1

Поскольку веса – неслучайные величины, нетрудно опреде-

лить дисперсию оценки ~ : x

90