Теория математической обработки геодезических измерений. Часть 2. Оценивание результатов геодезических измерений и их погрешностей на основе вероятнос

большая вероятность получения совокупности данных результа- тов измерений. Экстремум функции ln L находят с использовани- ем следующих соотношений:

∂ln L / ∂a = 0, ∂ln L /∂b = 0, ∂ln L /∂σ 2 = 0

Система уравнений относительно искомых параметров при- мет вид:

n

å[xi ( yi - axi - b)] = 0,

i=1

n

å( yi - axi - b) = 0,

i=1

n

nσ 2 = å( yi - axi - b)2

i=1

Два первых уравнения есть не что иное, как рассмотренное

выше условие достижения минимума функционалом

n

S= å[ yi - (axi + b)]2 .

i=1

Решение системы этих уравнений было уже получено:

ли, как и ранее, предпочесть эффективной, но смещенной, оценке

111

дисперсии чуть менее эффективную, но не смещенную, то оценка дисперсии будет определяться следующим соотношением:

цию (взвешенную сумму) взаимно независимых величин y j , так как коэффициенты (веса) k j заданы точно (как следует из первого предположения о статистических свойствах величин x, y . Следо- вательно, параметр a распределен по нормальному закону, а его дисперсия σa2 представляет собой линейную комбинацию дис- персий величин y j с коэффициентами k2j . Это свойство сложения

нормальных распределений широко используется при анализе погрешностей косвенных измерений. Тогда

Рассмотрим дисперсию параметра b. Аналогичным образом преобразуем выражение для расчета значения этого параметра:

Этот параметр также распределен нормально. Его дисперсия

Выразим связь σ 2 с дисперсией σa2

112

Подставляя его в выражение для σb2 , получим

Иногда при обработке результатов измерений линейно зави-

симых величин необходимо найти координату точки пересечения графиком y = ax + b оси x

c = − ab .

Соответствующая дисперсия рассчитывается по формуле для определения дисперсии мультипликативной функции

σc2 = c2 (σa2 / a2 + σb2 / b2 ) .

Проведенный анализ показывет, что метод наименьших квад-

ратов и в случае обработки результатов совместных измерений имеет вполне надежное статистическое обоснование при условии, что измеряемые пары величин распределены по нормальному за- кону. Поэтому формулы, полученные с использованием метода максимального правдоподобия, вполне применимы для оценки ка- чества решений, полученных методом наименьших квадратов.

§ 5.3 Общая схема применения метода наименьших квадратов при обработке совместных измерений

Рассмотренная в §5.2 процедура решения задачи совместной обработки результатов измерений двух физических величин, свя- занных зависимостью y = ax + b , продемонстрировала, что метод

наименьших квадратов удобно применять в случае линейной за- висимости измеряемых величин.

Рассмотрим порядок решения задачи совместной обработки результатов измерения m > 2 связанных линейно величин

x, y, z, ..., w:

ax + by + cz + ...+ kw = h,

где a,b,c,...,k – неизвестные коэффициенты, подлежащие опре- делению; h – свободный член. Коэффициенты a,b,c,...,k опреде-

113

{xi }1n ,{yi }1n , {zi }1n ,…, {wi }1n , i =1, n . С учетом того, что результаты измерения величин x, y, z, ..., w вследствие наличия погрешностей

никогда не равны истинным значениям, можно сформировать

систему условных уравнений

axi + byi + czi + ...+ kwi − hi =ν i ,

где νi – невязка i-ого условного уравнения, i =1, n , n ³ m.

Тогда, применяя метод наименьших квадратов, находим оп- тимальное приближенное решение этой системы уравнений, ми- нимизируя сумму квадратов невязок νi , что эквивалентно мини-

a,b,c,...,k . Такие функции непрерывны и дифференцируемы в об-

ласти экстремума. Поэтому поиск экстремума (минимума) осуще- ствляют путем приравнивания нулю частных производных S по неизвестным параметрам a,b,c,...,k , решая систему уравнений

……………….…………………………

После дифференцирования и деления правой и левой части каждого уравнения на постоянную величину (–2) получим

114

n

å(axi + byi + czi + ... + kwi − hi )xi = 0,

i=1

n

å(axi + byi + czi + ... + kwi − hi ) yi = 0,

i=1

n

å(axi + byi + czi + ... + kwi − hi )zi = 0,

i=1

……………….…………………………

При написании нормальных уравнений часто пользуются обозначениями Гаусса или так называемыми «скобками Гаусса»:

но [xz]= [zx], [xw]= [wx] и так далее.

Обозначая подобным образом все суммы, входящие в сис- тему нормальных уравнений, получим

a[xx]+ b[xy]+ c[xz]+ ...+ k[xw]= [xh], a[xy]+ b[yy]+ c[yz]+ ...+ k[yw]= [yh], a[xz]+ b[yz]+ c[zz]+ ...+ k[zw]= [zh],

………………………………………..

a[xw]+ b[yw]+ c[zw]+ ...+ k[ww]= [wh].

115

Особенностью системы нормальных уравнений является то, что она объединяет столько уравнений, сколько неизвестных ко- эффициентов a,b,c,...,k необходимо определить, то есть система

нормальных уравнений – система m линейных уравнений c m неизвестными. Если эта система хорошо обусловлена, то есть в ее составе отсутствуют уравнения, представляющие линейные ком- бинации других уравнений системы, то решение будет единст- венным.

Систему нормальных уравнений можно записать в матрич- ном виде:

Матрица, составленная из «скобок Гаусса, стоящих рядом с неизвестными коэффициентами уравнений нормальной системы, обладает двумя важными свойствами коэффициентов, неизвест- ных в этой системе уравнений:

-эти матрицы симметричны относительно главной диагонали;

-все элементы, стоящие на главной диагонали, положительны.

Нормальная система уравнений может быть решена любым

известным способом решения систем линейных уравнений. Мы будем использовать для этого метод Крамера, ограничив число неизвестных коэффициентов до трех и тем самым уменьшив чис- ло уравнений в системе также до трех. Тогда получим систему

нормальных уравнений вида

Определители этой системы имеют вид

116

= [xx][yy][zz]+ 2[xy][yz][xz]− [xz]2 [yy]− [xy]2 [zz]− [yz]2 [xx],

= [xh][yy][zz]+ [xy][yz][zh]+ [yh][yz][xz]− −[xz][yy][zh]− [xy][yh][zz]−[yz]2 [xh],

=[xx][yh][zz]+ [xh][yz][xz]+ [xy][zh][xz]−

−[xz][yh][xz]− [xy][xh][zz]− [yz][zh][xx], [xx] [xy] [xh]

=[xx][yy][zh]+ [xz][xy][yh]+ [xy][yz][xh]−

−[xh][yy][xz]− [xx][yh][yz]− [xy]2 [zh],

Сиспользованием построенных определителей решение системы нормальных уравнений имеет вид

a = DDx ; b = DDy ; c = DDz .

Теперь необходимо оценить погрешности полученного ре- зультата.

Задача решается, как и в случае линейной зависимости двух величин, путем выделения одной, погрешность измерения кото- рой существенно превышает погрешности измерений остальных. Условные уравнения тогда преобразуют так, чтобы величина, из- меряемая с наибольшей погрешностью, была выделена в свобод- ный член. Результаты же наблюдений xi , yi ,zi тогда считаются

117

точными. В этом случае оценки дисперсии найденных значений неизвестных можно вычислить, пользуясь формулами:

где D11 , D22 , D33 – алгебраические дополнения элементов [xx], [yy] и [zz] определителя D соответственно (они получаются пу-

значение функционала суммы квадратов невязок условных урав- нений в точке его минимума (при подстановке в них получены оптимальные значения коэффициентов a,b и c .

На практике не всегда погрешности измерений всех величин много меньше погрешности измерения величины, выделенной в правую часть условных уравнений. Тем не менее и в этих случаях

желательно пользоваться формулами для σ~a2 ,σ~b2 ,σ~c2 и S , даю-

щими простое решение задачи. Вычисление оценки дисперсии

условных уравнений по этим формулам можно рассматривать как «приведение погрешностей левых частей условных уравнений к правым».

Метод наименьших квадратов дает возможность найти оценки измеряемых величин и оценить их средние квадратиче- ские отклонения.

Доверительные интервалы для истинных значений измеряе- мых величин строят на основе распределения Стьюдента. Число

степеней свободы при этом для всех измеряемых величин равно

n − m.

В качестве примера применения метода наименьших квад- ратов для совместной обработки результатов измерений рассмот-

рим измерение углов треугольника с трехкратным повторением наблюдений.

118

Пусть результаты равноточных измерений углов привели к

Если найти каждый из углов как среднее арифметическое результатов соответствующих наблюдений, то получим

~x = 89°57′, ~y = 45°5,33′, ~z = 44°56,67′.

Известно, что сумма углов треугольника должна удовлетво-

рять условию

x + y + z = 180°.

Однако в результате измерений сумма углов получилась равной

~x + ~y + ~z = 179°59′.

Рассмотрим, можно ли уточнить этот результат за счет со- вместной обработки полученных данных. Выявленное несовпа- дение теоретического и измеренного значений суммы углов тре- угольника – результат погрешностей измерений. Необходимо

вввести поправочные коэффициенты a,b и с такие, чтобы точно известное условие было выполнено, то есть

a~x + b~y + c~z = 180°.

Исходя из данных соображений, формируем систему услов-

ных уравнений

ax1 + by1 + cz1 − h =ν1 , ax2 + by2 + cz2 − h =ν2 , ax3 + by3 + cz3 − h =ν3 ,

где h = 180°, νi - невязки условных уравнений, i = 1, 2, 3. Теперь составим систему нормальных уравнений:

119

Построим определители этой системы и найдем ее решение методом Крамера. Получим следующие значения коэффициентов:

a = 1,000062, b = 1,00012, c = 1,00012.

Подставляя значения коэффициентов в соотношение для суммы углов треугольника, получим

a~x + b~y + c~z =

= 1,000062×(89°57′) +1,00012 ×(45°5,33′) +1,00012×(44°56,67′) = 180°

§ 5.4 Приведение линейных неравноточных условных уравнений к равноточным. Линеаризация нелинейных условных уравнений

5.4.1 Совместная обработка неравноточных измерений нескольких величин, связанных линейной зависимостью

В §5.3 рассмотрен случай совместной обработки результа- тов измерений нескольких физических величин, когда все услов- ные уравнения имеют одну и ту же дисперсию. Такие условные уравнения принято называть равноточными. На практике могут быть случаи, когда условные уравнения имеют разные диспер- сии. Обычно это происходит, если в систему уравнений соединя- ют уравнения, отражающие результаты измерений, выполненных в разных условиях. Соответственно этому и условные уравнения окажутся неравноточными.

При неравноточных условных уравнениях наиболее вероят- ную совокупность значений неизвестных a, b, c, ..., k получают,

если решение системы условных уравнений ищут исходя из ус-

ловия

n

ågiνi2 → min .

i=1

где gi – вес i-ого условного уравнения; νi – невязка i-ого услов-

ного уравнения.

Введение весов равносильно умножению условных уравне- ний на gi :

gi (axi + byi + czi + ... + kwi − hi ) = giνi , i =1, n , n ³ m.

120