Теория вероятностей. Ч.2 Случайные величины и предельные теоремы теории вероятностей. Учебное пособие

Задача 1.2. Функция распределения F (x) непрерывной случайной величины имеет вид

Найти константы a и b, а также плотность распределения вероятностей f (x).

□Функция распределения непрерывной случайной величины должна быть непрерывной на всей оси. В нашем случае для этого достаточно потребовать выполнения условий непрерывности F (x) при x = – /6 и x = /3, что приводит к системе уравнений

то есть

a sin 0 b 0,

a sin b 1,2

По свойству 3 плотности распределения вероятностей

11

Задача 1.3. Функция распределения непрерывной случайной величины имеет вид

Найти константы a, b и плотность распределения вероятностей f (x).

□Согласно свойствам функции распределения 4 и 5 F (x) должна удовлетворять следующим условиям:

По свойству 3 плотности распределения вероятностей

Задача 1.4. Непрерывная случайная величина распределена по закону, который определяется плотностью распределения вероятностей f (x), заданной графически (рис. 1.2). Найти константу c, f (x), функцию распределения F (x); изобразить график функции распределения и вычислить вероятности: P{–2 < 0,5}, P{ ≥ –1}, P{| | < 0,5}.

12

□1. Из рис. 1.2. имеем

2. Найдем константу c, используя свойство 2 плотности распределения вероятностей:

плотности f (x) и осью Ox, можно вычислить непосредственно как сумму площадей двух прямоугольных треугольников

13

3. Найдем функцию распределения F (x). По определению

x

F (x) f (t)dt.

F (x)

1

Рис. 1.3. График функции F (x) (к задаче 1.4)

14

4.Построим график функции F (x) (рис. 1.3). Заметим, что из графика полученной функции F (x) видно, что она обладает всеми свойствами функции распределения вероятностей не-

прерывной случайной величины (функция непрерывная, ограничена сверху единицей и снизу нулем, не убывает, стремится

к0 при x – , стремится к 1 при x + и т.д.).

5.Вычислим P{–2 < 0,5}:

I способ: по свойству 6 функции распределения

P{ 2 0,5} F (0,5) F ( 2) 58 0 58 .

II способ: по свойству 4 плотности распределения вероятностей

6. Вычислим

P{ 1} P{ 1 } F ( ) F ( 1) 1 0 1.

7. Вычислим

P{ 0,5} P{ 0,5 0,5} P{ 0,5 0,5} P{ 0,5}

P{ 0,5 0,5} F (0,5) F ( 0,5) 0,25,

так как для непрерывной случайной величины P{ = –0,5} = 0.

Заметим, что в данном случае все эти вероятности легко вычисляются, исходя из геометрических соображений, глядя на график плотности распределения вероятностей. ■

Отметим, что дискретные и непрерывные случайные величины – это важные частные случаи, случайная величина может не являться ни дискретной, ни непрерывной.

15

1.2. Многомерная случайная величина (случайный вектор)

1.2.1. Понятие многомерной случайной величины (случайного вектора). Многомерная функция распределения

Если задано вероятностное пространство ( , , P(A)), то упорядоченный набор случайных величин ( 1( ), 2( ), ...,

n( )), где , называется n-мерной случайной величиной, или n-мерным случайным вектором. Случайные величины 1,

2, ..., n в этом случае называются компонентами случайного

вектора.

Совместной функцией распределения (или n-мерной функцией распределения) n-мерной случайной величины ( 1, 2, ..., n) называется функция n переменных F 1 2 ... n (x1, x2, ..., xn ),

равная вероятности пересечения событий { 1 < x1}, { 2 < x2}, ..., { n < xn}:

F 1 2 ... n (x1,x2, ..., xn ) P({ 1 x1 } { 2 x2 } ... { n xn }).

При этом обычно в обозначении опускают символ и пишут вместо него запятую. Таким образом, функция совместного распределения

F 1 2 ... n (x1,x2, ..., xn ) P{ 1 x1, 2 x2, ..., n xn }.

Многомерная функция распределения n-мерной случайной величины обладает рядом свойств, аналогичных соответствующим свойствам функции распределения одномерной случайной величины. Для большей наглядности приведем эти свойства для двумерной случайной величины.

Свойства функции распределения F (x, y) двумерной случайной величины ( , ):

1) 0 F (x, y) 1;

2) F (x, y) по каждому аргументу не убывает;

3) F (x, y) непрерывна слева по каждому аргументу;

4) lim F (x,y) 1;

x y

16

F (y) – функции распределения случайных величин и , соответственно.

Таким образом, зная функцию совместного распределения двух случайных величин, можно найти функцию распределения каждой из них. Обратное неверно, то есть, зная функции распределения каждой из двух случайных величин, без дополнительной информации нельзя найти функцию совместного распределения.

Иногда в таких ситуациях F (x) и F (y) называются маргинальными (частными) функциями распределения.

Случайные векторы могут быть дискретными, непрерывными и смешанными в зависимости от типа компонент. В первом случае компоненты этих случайных векторов дискретны, во втором – непрерывны, в третьем – разных типов.

1.2.2. Дискретная многомерная случайная величина

Как и в одномерном случае, n-мерная случайная величина называется дискретной, если множество ее значений конечно или счетно. Дискретные случайные векторы полностью определяются перечнем возможных значений n компонент и соответствующими каждому такому набору вероятностями (законом распределения). Так, например, для двумерного вектора ( , ), принимающего конечное число значений, закон распределения можно записать в виде таблицы:

17

где x1, x2, …, xl – возможные значения случайной величины ; y1, y2, …, ym – возможные значения случайной величины ; pij = P{ = xi, = yj} (i = 1, …, l; j = 1, …, m). Причем

l m

pij 1.

i 1 j 1

Заметим, что, зная закон распределения случайного вектора ( , ), можно найти закон распределения каждой компоненты следующим образом:

Обратное неверно.

Задача 1.5. Один раз бросают два игральных кубика. Случайная величина – число выпавших четных чисел, случайная величина – максимальное из появившихся чисел. Описать закон распределения случайного вектора ( , ), а также законы распределения отдельных компонент.

□Случайная величина принимает значения 0, 1, 2, так как либо на обоих кубиках выпадает нечетное число очков ( = 0), либо на одном кубике – четное, на другом – нечетное число очков ( = 1), либо на обоих кубиках – четное число очков ( = 2).

Случайная величина принимает значения 1, 2, 3, 4, 5, 6, так как на каждом кубике выпадает одно из чисел от 1 до 6 включительно, max(1, 1) = 1, max(1, 2) = 2, …, max(6, 6) = 6.

Ясно, что число всевозможных равновероятных исходов эксперимента равно 6 · 6 = 36.

Рассмотрим событие { = 0, = 2}. Оно соответствует тому, что на двух кубиках выпали нечетные числа очков, а максимальное из этих чисел – 2, следовательно, это невозможное событие, и вероятность его наступления равна нулю. Аналогично вероятности наступления событий { = 0, = 4}, { = 0, = 6}, { = 1, = 1}, { = 2, = 1}, { = 2, = 3}, { = 2, = 5} равны нулю.

18

Событие { = 0, = 1} соответствует выпадению на обеих костях нечетных чисел, максимальное из которых равно 1. Здесь один благоприятный исход: (1, 1) (первая цифра – число очков, выпавшее на первом кубике, вторая цифра – на втором), и вероятность наступления такого события равна 1/36. Аналогично для событий:

{ = 0, = 3} благоприятные исходы (1, 3); (3, 1); (3, 3), вероятность равна 3/36;

{ = 0, = 5}: (1, 5); (5, 1); (3, 5); (5, 3); (5, 5), вероятность равна 5/36;

{ = 1, = 2}: (1, 2); (2, 1), вероятность равна 2/36; { = 1, = 3}: (2, 3); (3, 2), вероятность равна 2/36;

{ = 1, = 4}: (1, 4); (4, 1); (3, 4); (4, 3), вероятность равна 4/36;

{ = 1, = 5}: (2, 5); (5, 2); (4, 5); (5, 4), вероятность равна 4/36;

{ = 1, = 6}: (1, 6); (6, 1); (3, 6); (6, 3), (5, 6); (6, 5), вероятность равна 6/36;

{ = 2, = 2}: (2, 2), вероятность равна 1/36; { = 2, = 4}: (2,4); (4, 2); (4, 4), вероятность равна 3/36;

{ = 2, = 6}: (2, 6); (6, 2); (4, 6), (6, 4); (6, 6), вероятность равна 5/36.

Таким образом, закон совместного распределения случайных величин и , или закон распределения случайного вектора ( , ), имеет вид:

19

Убеждаемся, что мы не допустили ошибки, складывая все значения вероятностей в таблице:

Законы распределения случайных величин и получаем из закона совместного распределения случайных величин сложением значений вероятностей в строках (для ) и в столбцах (для ):

То есть законы распределения случайных величин и :

Задача 1.6. Задан закон распределения случайного вектора ( , ):

20