Теория вероятностей. Ч.2 Случайные величины и предельные теоремы теории вероятностей. Учебное пособие

Найти константы a и b, f (x). Вычислить P( /6 /2)

Найти константы a и b, f (x). Вычислить P( 0) двумя спо-

собами: через f (x) и F (x).

1.13. Случайная величина распределена по закону, определяемому плотностью распределения вероятностей вида

Найти константу c и функцию распределения случайной величины .

1.14. Закон распределения дискретного случайного вектора ( , ) определяется следующей таблицей:

а) Найти константу p и безусловные законы распределения отдельных компонент и .

б) Установить, зависимы или нет компоненты и . в) Вычислить вероятности Р{ = 1, 0} и Р{ > }.

г) Построить функцию распределения F (x, y), оформив результат в виде таблицы.

д) Вычислить функцию распределения в точках (0,5; 0,5) и (0,5; 4).

е) Описать условный закон распределения случайной величины при условии = 1.

1.15. Артем и Кирилл наудачу извлекли по одному шару из урны, содержащей 2 белых и 4 черных шара. Артем извлекал шар первым. Случайные величины: – число черных шаров у Артема, – число черных шаров у Кирилла. Описать закон распределения случайного вектора ( , ), безусловные законы распределения компонент, функцию распределения

31

F (x, y), условный закон распределения случайной величины при условии = 0, если выбор шаров производился: а) без возвращения; б) с возвращением.

1.16.По цели производится два независимых выстрела. Ве-

роятность попадания в цель при первом выстреле равна 0,7, при втором – 0,8. Случайные величины: – число попаданий при первом выстреле, – число попаданий при втором выстреле. Найти функцию распределения F (x, y).

1.17.Функция распределения дискретного случайного вектора ( , ) имеет вид, определяемый таблицей:

Описать закон распределения случайного вектора ( , ).

1.18.Случайная величина принимает значения 0, 1 или 2

свероятностями соответственно 0,2; 0,7 и 0,1, а не зависящая от нее случайная величина – значения –1, 0, 1 соответствен-

но с вероятностями 0,3; 0,5; 0,2. Описать закон распределения случайного вектора ( , ) и вычислить функцию распределе-

ния в точках (1,5; –0,5) и (0,5; 4).

1.19.Плотность распределения вероятностей случайного вектора ( , ) имеет следующий вид:

c (x y), x [0, 1], y [0, 1], f (x,y) 0 в остальных случаях.

а) Вычислить значение постоянной с и вероятность Р{ + + < 1}.

б) Определить безусловную плотность распределения f (x) компоненты и установить, зависимы компоненты и или нет.

в) Вычислить функцию распределения F (x).

1.20. Плотность распределения вероятностей двумерного случайного вектора ( , ) имеет следующий вид:

32

c (xy y2 ), x [0, 2], y [0, 2], f (x,y)

0 в остальных случаях.

а) Вычислить значение постоянной с и вероятность Р{ + + < 2}.

б) Определить безусловную плотность распределения f (x) компоненты и установить, зависимы компоненты и или нет.

1.21. Двумерная случайная величина ( , ) задана плотностью

где ABC – треугольник с вершинами в точках A(0, 0), B(0, 1), C(1, 0).

Вычислить значение постоянной с и определить безусловные плотности распределения отдельных компонент. Установить, зависимы или нет и .

1.22. Функция распределения непрерывного случайного вектора ( , ) имеет вид

где D – четверть круга x2 + y2 1, x 0, y 0.

Вычислить значение постоянной с и определить безусловные плотности распределения отдельных компонент. Установить, зависимы или нет и .

1.23. Дана плотность распределения вероятностей двумерного случайного вектора ( , ):

c e x y , x 0,y 0, f (x,y)

0 в остальных случаях.

Найти постоянную с и вероятность события A = {0 1,

– }.

33

2. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

При решении многих прикладных задач нет необходимости или возможности использовать полную информацию о распределении случайной величины. В этой ситуации используют только некоторые ее числовые характеристики, которые выражают те или иные особенности распределения случайной величины. Приведем важнейшие числовые характеристики случайной величины и системы случайных величин.

2.1. Математическое ожидание случайной величины

Математическим ожиданием (средним значением) случайной величины называется действительное число, определяемое в зависимости от типа случайной величины формулой

если ряд (соответственно, интеграл) сходится абсолютно. Заметим, что в математике есть единое определение для

математического ожидания произвольной случайной величины, но в нем используется понятие интеграла Стилтьеса, которое выходит за рамки курса математики в техническом вузе. Для решения прикладных задач вполне достаточно того определения, которое приведено выше.

Из определения следует, что не у каждой случайной величины есть математическое ожидание. С интуитивной точки зрения математическое ожидание – это среднее значение случайной величины, около которого как бы группируются остальные ее значения.

34

Свойства математического ожидания.

1.Если А В, где А и В – некоторые числа, то А M В.

2.Если = C – константа, то МС = С.

3.Если существует математическое ожидание случайной величины , то случайная величина C , где C – число, тоже имеет математическое ожидание и M(C ) = CM .

4.Если случайные величины и имеют математические ожидания М и М , то случайная величина + тоже имеет математическое ожидание и M( + ) = M + M .

Свойства 3) и 4) отражают свойство линейности математического ожидания.

5.Механический смысл математического ожидания: если

построить график плотности вероятности f (x) непрерывной случайной величины , то математическое ожидание будет

равно абсциссе центра тяжести (однородной) фигуры, ограни-

ченной графиком функции f (x) и осью Оx. Отсюда сразу сле-

дует, что если график плотности вероятности f (x) симметричен относительно прямой х = а, то М = a. Так, например, для

распределения с плотностью

x2

f (x) 1 e 2 , 2

график которой изображен на рис. 2.1, М = 0, так как f (x) – четная функция и ее график симметричен относительно прямой х = 0.

fξ(х)

Рис. 2.1. График плотности нормального распределения f (х)

35

6.Если случайные величины и независимы и имеют математические ожидания М и М , то случайная величина · тоже имеет математическое ожидание и M( ) M( ) M( ).

7.Математическое ожидание функции случайной величины g( ), если онo существует, может быть найдено по формуле

8. Математическое ожидание функции случайных величин g( , ), если оно существует, может быть найдено по формуле

В случае n-мерной случайной величины справедливо аналогичное равенство.

9. Если рассматривать среднее квадратическое уклонение

случайной величины от некоторого числа а: M( a)2 , то эта величина будет минимальна при a = М . Это свойство и согласуется с интуитивным смыслом математического ожидания как среднего значения случайной величины.

Отметим, что иногда вычисление математического ожидания можно упростить, если представить данную случайную величину в виде суммы более простых случайных величин и использовать свойство линейности математического ожидания.

36

2.2. Дисперсия и среднеквадратичное отклонение случайной величины

Дисперсией случайной величины называется число

D = M( – M )2.

Интуитивный смысл дисперсии: дисперсия характеризует рассеяние значений случайной величины около ее центра – среднего значения, т.е. она показывает, на сколько значения случайной величины уклоняются от ее среднего значения.

Свойства дисперсии.

1.D ≥ 0.

2.Если = C – константа, то D = 0, то есть DC = 0.

3.Если случайная величина имеет дисперсию D , то случайная величина C , где C – число, имеет дисперсию и D(C ) =

=C2D .

4.Дисперсия суммы случайных величин не равна сумме дисперсий:

D( + ) = D + D + 2M(( – M )ּ( – M )),

то есть дисперсия суммы отличается от суммы дисперсий слагаемым 2M(( – M )ּ( – M )). Если случайные величины и независимы, то это слагаемое равно нулю, и дисперсия суммы равна сумме дисперсий. В частности, если к случайной величине прибавить (или вычесть) число C, то дисперсия не изменится:

D( ± C) = D .

Если случайные величины 1, 2, ..., n попарно независимы, то дисперсия суммы этих случайных величин тоже равна сумме дисперсий.

5. Часто при вычислении дисперсии удобно пользоваться формулой

Таким образом, для дискретной случайной величины

37

6. Дисперсия, как и математическое ожидание, имеет определенный механический смысл: она является моментом инерции (однородной) фигуры, ограниченной графиком плотности вероятности и осью Оx относительно оси, проходящей через центр тяжести (математическое ожидание) параллельно оси Оy.

Отметим, что дисперсия, являясь характеристикой рассеяния значений случайной величины, имеет тот недостаток, что ее размерность не совпадает с размерностью самой случайной величины (она совпадает с размерностью квадрата случайной величины). Поэтому наряду с дисперсией часто используется

среднеквадратичное отклонение (стандартное отклонение)

D .

Случайная величина 0 называется нормированной, если

М 0 = 0 и D 0 = 1.

Если дана произвольная случайная величина , то

0 M D

будет нормированной случайной величиной.

2.3. Мода и медиана случайной величины. Квантиль распределения порядка р

Модой дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение хm:

P{ xm } maxpi .

i

Для непрерывной случайной величины модой называется абсцисса любой точки локального максимума ее плотности распределения вероятностей.

38

Мода может не существовать, иметь единственное значение (унимодальное распределение) или иметь множество значений (мультимодальное распределение).

Медианой случайной величины с функцией распределения F (x) называется такое число h , что F (h ) 1/2 и F (h + + 0) 1/2.

Медиана, в отличие от математического ожидания, есть у любой случайной величины.

Для непрерывной случайной величины медиана представляет собой корень уравнения

F (x) = 1/2,

иначе говоря, это такая точка оси абсцисс, что прямая, проходящая через нее параллельно оси Оy, делит площадь фигуры под графиком плотности вероятности пополам.

Мода и медиана наряду с математическим ожиданием служат характеристиками расположения значений случайной величины и являются как бы ее типичными значениями. Если распределение одномодальное и симметричное относительно некоторой точки с абсциссой х0, то мода, медиана и математическое ожидание (если оно есть) совпадают с х0 (см., например, рис. 2.1).

Квантилью порядка р функции распределения F (х) случайной величины называется минимальное значение tp, при котором функция распределения F (х) не меньше значения р (–1 p 1), то есть

tp = min{x: F (x) p}.

В частности, для непрерывной случайной величины число tp называется квантилью распределения порядка р, если

F (tp) = p.

Квантиль t0,5 есть медиана, квантили t0,25 и t0,75 называются, соответственно, нижней и верхней квантилью, квантили

t0,1, t0,2, ... – децилями. Знание квантилей tp для некоторого разумного множества значений вероятности р дает хорошее представление о расположении и рассеянии данного распределения.

39

Величина (t0,75 – t0,25) / 2 иногда также используется как характеристика рассеяния и называется семи-интерквар- тильной широтой.

Если все распределение сосредоточено на отрезке [a, b], то есть функция распределения F (x) = 0 при x < a, 0 < F (x) < 1 при a < x <b и F (x) = 1 при x > b, то длина отрезка [a, b] (то есть (b – a)), называется широтой распределения. Это число также характеризует рассеяние значений случайной величины.

2.4. Моменты высших порядков случайной величины

Моментом k-го порядка случайной величины относительно точки а называется число, равное M(( – a)k). Если а = 0, то момент называется начальным, если а = М , то момент называется центральным, то есть начальным моментом k-го порядка случайной величины (если он существует) называется

k M k ;

центральным моментом k-го порядка случайной величины (если он существует) называется

k M ( M )k .

Очевидно, математическое ожидание случайной величины есть начальный момент первого порядка ( 1 = М ), а дисперсия – центральный момент второго порядка (μ2 = D ).

В статистике особенно важную роль играют моменты 1–4-го порядков. Причем между начальными и центральными моментами существует связь:

1 0,2 2 12,

3 3 3 2 1 2 13,4 4 4 3 1 6 2 12 3 14 .

Центральный момент третьего порядка μ3 служит характеристикой асимметрии («скошенности») распределения, так

40