Теория вероятностей. Ч.2 Случайные величины и предельные теоремы теории вероятностей. Учебное пособие

Найти функцию распределения F (x, y) случайного вектора ( , ).

□Функция распределения F (x, y) определена на всей плоскости Oxy. Из закона распределения случайного вектора ( , ) видно, что случайная величина принимает значения 1 и 2, которые разбивают ось Ох на три интервала: (– , 1], (1, 2], (2, + ). Аналогично ось Оу значениями разбивается на 4 интервала: (– , 0], (0, 3], (3, 4], (4, + ). Таким образом, плоскость Oxy разбивается на 12 «прямоугольников», внутри каждого из которых F (x, y) постоянна, то есть чтобы вычислить значение F (x, y) в прямоугольнике достаточно вычислить ее значение в любой точке, принадлежащей этому прямоугольнику.

Например, значение F (x, y) при x (1, 2] и y (3, 4] совпадает со значением F (x, y) в точке (1,5; 3,5):

F (1,5; 3,5) = P{ < 1,5, < 3,5} = P{ = 1,

= 0} + P{ = 1, = 3} = 0,1 + 0,2 = 0,3.

Аналогично находим значение функции F (x, y) в любой точке плоскости Oxy. Результат удобно представить в виде таблицы:

■

1.2.3. Непрерывная многомерная случайная величина

По аналогии с одномерным случаем n-мерная случайная величина ( 1, 2, ..., n) называется непрерывной, если

существует такая неотрицательная функция n переменных f 1 2 ... n (x1,x2, ..., xn ), что при любых х1, х2, ... хn функцию распределения F 1 2 ... n (x1,x2, ..., xn ) можно представить

в виде n-кратного интеграла:

21

В этом случае функция f 1 2 ... n (x1,x2, ..., xn ) называется

совместной плотностью вероятности (или n-мерной плотностью распределения вероятностей) непрерывной n-мерной случайной величины ( 1, 2, ..., n).

Отметим основные свойства совместной плотности вероятности для двумерной случайной величины (соответствующие утверждения справедливы и для n-мерной случайной величины).

Свойства плотности вероятности двумерной случайной величины:

1) f (x, y) ≥ 0;

2) f (x,y)dxdy 1;

3) в важнейших для приложений случаях совместная плотность вероятности равна смешанной частной производной совместной функции распределения, то есть

f (x,y) 2 F (x,y) ; x y

4) вероятность попадания значений двумерной случайной величины ( , ) в какую-нибудь область D равна

P{( , ) D} f (x,y)dxdy;

f (y) – плотности вероятности случайных величин и , соответственно. Иногда в таких ситуациях плотности f (x) иf (y) называют плотностями маргинальных (частных) распределений. Таким образом, зная совместную плотность

22

распределения вероятностей двух случайных величин, можно найти плотности вероятности для каждой из них. Обратное неверно.

Задача 1.7. Функция распределения непрерывного случайного вектора ( , ) имеет вид:

Найти совместную плотность распределения вероятностей случайного вектора ( , ) и плотности распределения вероятностей отдельных компонент и . Вычислить вероятность P{( , ) D}, где область D изображена на рис. 1.4.

y

π/2

D

Рис. 1.4. К задаче 1.7

□1. По свойству 3 плотности распределения вероятностей случайного вектора ( , )

f (x,y) 2 F (x,y) .

Имеем

23

2. По свойству 5 совместной плотности распределения вероятностей

f (x) f (x,y)dy

3. По свойству 4 совместной плотности распределения вероятностей

(здесь пределы интегрирования расставлены в соответствии с рис. 1.4 области D). ■

24

Задача 1.8. Задана совместная плотность распределения вероятностей случайного вектора ( , ):

с, (x,y) ABC,

f (x,y) 0, ( , ) ,

x y ABC

где ABC – треугольник с вершинами в точках A(0, 0), B(1, 0), C(0, 1). Найти постоянную с и плотности распределения вероятностей отдельных компонент и .

□ Изобразим ABC на плоскости (рис. 1.5).

Рис. 1.5. К задаче 1.8

По свойству 2 функции плотности случайного вектора имеем

откуда с = 2 (пределы интегрирования расставлены согласно рис. 1.5).

По свойству 5 совместной плотности распределения вероятностей

25

Аналогично

1.2.4. Условные распределения

Если задан закон совместного распределения дискретных случайных величин и и, следовательно, известен закон распределения случайной величины , то условным законом распределения случайной величины при условии, что случайная величина = yj, называется совокупность возможных значений случайной величины и соответствующих этим значениям вероятностей, определяемых равенством

P{ xi | yj } P{ xi , yj } .

Аналогично определяется условный закон распределенияпри заданном значении = хi.

Если задана совместная плотность распределения вероятностей f (x, y) непрерывных случайных величин , и f (y) – плотность распределения случайной величины , то условной плотностью распределения случайной величины при заданном значении = у называется функция

f (x | y) f (x,y) .

Условная плотность распределения обладает теми же свойствами, что и обычная плотность. Аналогично определяется условная плотность распределения при заданном значении= х.

Задача 1.9. Описать условный закон распределения случайной величины при условии = 2 в условиях задачи 1.5.

При решении задачи 1.5 были получены закон совместного распределения случайных величин и и законы распределе-

26

ния случайных величин и . Условный закон распределения случайной величины при условии = 2 находим по формуле

Очевидно, что величины в числителе берутся из совместного закона распределения (в данном случае из последней строки), а величина в знаменателе – из закона распределения случайной величины (9/36). Таким образом, условный закон распределения случайной величины при условии = 2:

■

1.2.5. Независимость случайных величин

Случайные величины 1, 2, ..., n называются независимы-

ми, если для любых чисел х1, х2, ..., хn являются независимы-

ми события { 1 < x1}, { 2 < x2}, ..., { n < xn}.

Если случайные величины 1, 2, ..., n независимы, то их

совместная функция распределения F 1 2 ... n (x1,x2, ..., xn ) равна произведению F 1 (x1 ) F 2 (x2 ) ... F n (xn ) функций рас-

пределения этих случайных величин. Верно и обратное.

В частности, независимость непрерывных случайных величин 1, 2, ..., n равносильна выполнению соответствующего равенства для плотности:

f 1 2 ... n (x1,x2, ..., xn ) f 1 (x1 ) f 2 (x2 ) ... f n (xn ),

а независимость дискретных случайных величин 1, 2, ..., n равносильна выполнению равенства

P{ 1 x1, ..., n xn } P{ 1 x1 } ... P{ n xn }

для любых чисел х1, ..., xn.

Например, в задаче 1.5 случайные величины и не являются независимыми, так как P{ =0, = 1} = 1/36 1/4 · 1/36 = = P{ =0} · ּP{ = 1}. А случайные величины и , имеющие совместную плотность распределения вероятностей:

27

4xy при 0 x 1, 0 y 1, f (x,y) 0 в остальных случаях,

независимые, так как плотности вероятности и равны

2x при 0 x 1,

f (x) 0 в остальных случаях,

2y при 0 y 1,

f (y) 0 в остальных случаях,

и f (x,y) f (x) f (y).

1.2.6. Функция случайных величин

Пусть = ( ) – дискретная (непрерывная) случайная величина, а g(x) – произвольная (непрерывная) числовая функция, тогда случайная величина = g( ( )) = g( ) – функция от случайной величины .

Если задано совместное распределение случайных величин1, 2, ..., n, то можно найти распределение новой случайной величины , которая является функцией от 1, 2, ..., n, то есть случайной величины = g( 1, 2, ..., n). Например, если задана f 1 2 (x1,x2 ) – совместная плотность вероятностей непрерывных случайных величин 1 и 2, то плотность случайной величины = 1 + 2 равна

f (x) f 1 2 (t,x t)dt,

а в случае независимых случайных величин 1 и 2

f (x) f 1 (t) f 2 (x t)dt.

28

сверткой функций f 1 (x) и f 2 (x). Таким образом, для двух независимых непрерывных случайных величин плотность распределения их суммы равна свертке плотностей этих случайных величин.

Упражнения для самостоятельной работы

1.1. Задан закон распределения дискретной случайной величины :

Найти константу с, функцию распределения F (x) случайной величины , P{ > 1}, P{0 < < 2}, P{0< 2}. Построить график F (x).

1.2.При проведении опыта событие А может появиться

свероятностью 0,6. Описать закон распределения и функцию распределения случайной величины – индикатора собы-

тия А (принимает значение 1, если событие А произошло, и значение 0, если событие А не имело места).

1.3.Функция распределения дискретной случайной величины имеет следующий вид

Описать закон распределения случайной величины . Вычислить P{0 < < 4}, P{0 < 4}, Р{ > 3,5} и Р{| | 2,5}.

1.4.Два стрелка независимо друг от друга делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в мишень

для первого стрелка 0,8, для второго – 0,9. Описать закон распределения случайной величины , если – суммарное

число попаданий в мишень в данном эксперименте.

1.5.Один раз брошены три одинаковые игральные кости. Случайная величина принимает значение 1, если хотя

бы на одной игральной кости выпадет цифра 5; значение 0,

29

если пятерка не выпадет ни на одной грани, но хотя бы на одной из граней появилась цифра 6, и принимает значение –1 в остальных случаях. Описать закон распределения случайной величины , найти функцию распределения F (x).

1.6.Известно, что P{ 5} = 1/5. Найти F (5).

1.7.Случайная величина принимает только два различных значения: 1 и –1 с вероятностью 1/2. Определить, является ли она непрерывной. Вычислить F (1/2) и F (–1/2).

1.8.Функция распределения непрерывной случайной величины задана в виде

Найти константу c, функцию плотности распределения вероятности случайной величины . Вычислить Р{ 1}, Р{ > 1}, Р{0,5 < 3}.

1.9. Найти функцию распределения случайной величины, если известна ее плотность распределения вероятностей:

1.10. Определить, может ли функция

быть функцией распределения какой-либо непрерывной случайной величины (a и b – константы).

1.11. Непрерывная случайная величина задана функцией

30