Теория вероятностей. Ч.2 Случайные величины и предельные теоремы теории вероятностей. Учебное пособие
.pdf
ft(х) 
0,4 |
n = ∞ (нормальное распределение) |
|
|
0,32 |
n = 3 |
|
–4 |
–3 |
–2 |
–1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
x |
Рис. 4.9. График плотности распределения Стьюдента
При n распределение Стьюдента приближается к нормальному (при n > 30 уже почти совпадает (см. рис. 4.9)).
Mt = 0, Dt = n / (n – 2), n > 2.
4.4.3. Распределение Фишера
Если даны две независимые случайные величин 1 и 2, имеющие распределения 2 с параметрами n1 и n2 соответственно, то распределение случайной величины
F |
1 / n1 |
|
n2 1 |
||
|
|
||||
|
|
/ n |
|
n |
2 |
|
2 |
2 |
1 |
||
называется распределением Фишера, или F-распределением c параметрами (степенями свободы) n1 и n2.
Плотность вероятности F-распределения fF(х) имеет вид
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0, |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
n2 |
|
|
|
|
n1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
n1 |
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
fF |
(x) n |
2 n |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x 2 |
|
|
, |
x 0. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n n |
|
|||||||||
|
|
1 |
2 |
|
n1 |
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n2 xn1 ) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
81
fF (x)
1
0 |
(n1 |
2)n2 |
x |
|
(n1 )(n2 2) |
||||
|
|
|||
Рис. 4.10. График плотности распределения Фишера
При n F-распределение стремится к нормальному закону.
MF |
q |
, q 2; |
DF |
2q2 ( p q 2) |
, q 4. |
||
q 2 |
p(q 2)2 |
(q 4) |
|||||
|
|
|
|
||||
Упражнения для самостоятельной работы
4.1.Автобусы идут с интервалом 10 минут. Считая, что случайная величина – время ожидания автобуса на останов-
ке – распределена равномерно на указанном интервале, найти функцию распределения F (x) случайной величины , M , D , а также вероятность того, что время ожидания превысит 5 минут.
4.2.Азимутальный лимб имеет цену делений один градус. Определить, какова вероятность при считывании азимута угла сделать ошибку в пределах ±10 мин, если отсчет округляется до ближайшего целого числа градусов.
4.3.Шкала рычажных весов, установленных в лаборатории, имеет цену деления 1 г. При измерении массы химических компонентов смеси отсчет делается с точностью до целого деления
сокруглением в ближайшую сторону. Определить, какова вероятность, что абсолютная ошибка определения массы:
а) не превысит величины среднеквадратичного отклонениявозможных ошибок определения массы;
б) будет заключена между значениями и 2 .
82
4.4.Сравнить P{Х < MX} и P{Х < DX}, если X имеет показательное распределение с параметром 1.
4.5.Время безотказной работы радиоаппаратуры является случайной величиной , распределенной по показательному закону с параметром . Найти вероятность того, что радиоаппаратура не выйдет из строя в течение времени t = M . Опреде-
лить, квантилью какого порядка для данного распределения является значение M .
4.6.Время ожидания у бензоколонки автозаправочной станции является случайной величиной , распределенной
по показательному закону со средним временем ожидания, равным 4 мин. Найти P{2 6} и P { 8}.
4.7.Измеряемая случайная величина подчиняется зако-
ну распределения N (10, 5). Найти симметричный относительно M интервал, в который с вероятностью 0,9544 попадет из-
меренное значение.
4.8.Химический завод изготовляет серную кислоту номинальной плотности 1,84 г/см3. В результате статистических испытаний обнаружено, что практически 99,9% всех выпускаемых реактивов имеют плотность в интервале (1,82; 1,86). Найти вероятность того, что кислота удовлетворяет стандарту, если для этого достаточно, чтобы ее плотность не отклонялась от номинала более чем на 0,01 г/см3.
4.9.Производится измерение без систематических ошибок диаметра вала. Случайные ошибки измерения подчиняют-
ся нормальному распределению со стандартным отклонением 10 мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 15 мм.
4.10.В нормально распределенной совокупности 15% значений х меньше 12 и 40% значений х больше 16,2. Найти среднее значение и стандартное отклонение данного распределения.
4.11.Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение контролируемого размера от номинала не превышает 10 мм. Считая, что нормально распределена и
точность изготовления деталей характеризуется стандартным отклонением = 5 мм, выяснить, сколько процентов годных
83
деталей изготовляет автомат. Выяснить, какой должна быть точность изготовления, чтобы процент годных деталей повысился до 98.
4.12.Коробки с шоколадом упаковываются автоматически. Их средняя масса равна 1,06 кг. Известно, что 5% коробок имеют массу, меньшую 1 кг. Определить, каков процент коробок, масса которых превышает 940 г.
4.13.Случайная величина подчиняется закону N(1, ). Известно, что Р{ < 2} = 0,99. Вычислить М( 2) и Р{ 2 > 2}.
4.14.Случайные величины и независимы и распределены: – равномерно на отрезке [0, 2], – нормально с параметрами (1, 2). Вычислить D(2 – ) и М( 2 – 2 ).
4.15.Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами (–1, 2), а не зависимая от нее случайная
величина распределена равномерно на отрезке [–1, 3]. Вычислить M( + – ) и D( – ).
84
5.ВАЖНЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДВУМЕРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
5.1. Равномерное двумерное распределение
Непрерывная двумерная случайная величина ( 1, 2) имеет
равномерное распределение на области W, имеющей площадь |W|, если ее плотность вероятности f 1 2 (x1,x2 ) постоянна и рав-
на |
|
1 |
|
в точках области W, а вне ее равна нулю: |
||||||||
|
W |
|
||||||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
, (x ,x ) W, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
f |
|
(x ,x ) |
W |
1 |
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
(x1,x2 ) W. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
||||
В этом случае вероятность попадания значений двумерной случайной величины ( 1, 2) в заданную область Q W пропорциональна площади этой области Q независимо от ее расположения и равна
P(( 1, 2 ) Q) Q .
W
Заметим, что если двумерная случайная величина ( 1, 2) распределена равномерно на прямоугольнике a x1 b, c x2 d со сторонами, параллельными осям координат, то случайные величины 1 и 2 независимы, так как плотность их совместного распределения
f 1 2 (x1,x2 ) f 1 (x1 ) f 2 (x2 ).
Аналогично определяется n-мерное равномерное распределение в области W Rn .
5.2. Нормальное двумерное распределение
Непрерывная двумерная случайная величина ( 1, 2) имеет нормальное распределение, если ее плотность вероятности равна
85
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x1 a1 |
2 |
|
x1 a1 x2 a2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x2 a2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
||||
f |
|
(x |
,x |
) |
|
|
|
e 2(1 |
) |
1 |
|
|
1 2 |
|
2 |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
2 |
|
|
|
2 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, двумерная плотность нормального распределения зависит от пяти параметров: a1, a2, 1, 2, . Эти параметры имеют следующий смысл:
a1 M 1, 12 D 1, a2 M 2, 22 D 2, ( 1, 2 ),
где ( 1, 2) – коэффициент корреляции случайных величин 1 и 2.
Если двумерная случайная величина ( 1, 2) имеет нормальное распределение, то 1 и 2 также имеют нормальные (одномерные) распределения, причем если ( 1, 2) = 0, то 1 и2 независимые (напомним, что в общем случае это не так).
Ковариационная матрица 1 и 2 имеет вид
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
K |
1 |
|
|
|
, |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
ее определитель |
|
K |
|
12 22 1 2 , а обратная матрица |
||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||
K 1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 2 1 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 2 1 |
|
|
2 |
1 |
|
|
|||||||||||
Поэтому двумерную плотность нормального распределения можно записать в виде
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
L((x1 a1 )(x2 |
a2 ) |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
f |
(x ,x |
|
|
|
|
|
|
e |
2 |
|
|
, |
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|||||||
1 2 |
1 2 |
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
где L((x1 – a1)(x2 – a2)) – положительно определенная квадратичная форма, матрица которой – K–1.
86
Рис. 5.1. График двумерной плотности нормального распределения
График двумерной плотности нормального распределения представляет собой поверхность, имеющую форму холма
свершиной над точкой с координатами (a1, a2) (рис. 5.1). Линии уровня этой поверхности представляют собой (подобные)
эллипсы с центрами в точке (a1, a2), направление осей которых определяются собственными векторами матрицы K–1 (впрочем, собственные векторы матрицы K–1 будут такими же, как и у матрицы К). Оси симметрии этих эллипсов называют осями рассеивания, сами эллипсы – эллипсами рассеивания, или эллипсами равной вероятности, а их центр – центром рассеивания. Происхождение этих названий связано, в частности,
стем, что при стрельбе по плоской мишени отклонение точки разрыва снаряда от точки прицеливания хорошо описывается двумерным нормальным распределением.
Двумерное нормальное распределение возникает при решении многих задач. Например, рост и вес взрослых мужчин (женщин), проживающих в данном регионе, достаточно хорошо описывается двумерным нормальным законом распределения.
87
Упражнения для самостоятельной работы
5.1.Случайный вектор ( , ) распределен равномерно внутри прямоугольника G = {(х, у)| – 1 х 2, 1 у 2}.
а) Получить выражения для плотности распределения
f (x, y) и функции распределения F (x, y).
б) Установить, зависимы или нет компоненты и .
в) Найти ковариационную матрицу случайного вектора ( , ).
г) Вычислить вероятности событий pi = P{(x, y) Gi}, i = 1,2, где G1 = {(х, у)| 0,5 х 1,5; 1,5 у 2,5}, G2 = {(х, у)| х2 +
+(y – 1,5)2 0,25}.
5.2.Случайные величины и независимы и равномерно распределены на отрезках [–1, 1] и [0, 2] соответственно. Най-
ти выражение для плотности f (x, y), вычислить вероятность события А = {(х, у) G}, где область G – треугольник с верши-
нами в точках (–1, 0), (0, 1), (1, 0).
5.3.Случайный вектор ( , ) распределен равномерно в тре-
угольнике с вершинами в точках (–1, 0), (0, 0) и (0, –1). Найти коэффициент корреляции случайных величин и и выяс-
нить, зависимы или нет эти случайные величины.
5.4.Случайный вектор ( , ) распределен равномерно в тре-
угольнике с вершинами в точках (–1, 2), (–1, 0) и (1, 0). Найти коэффициент корреляции случайных величин и и выяс-
нить, зависимы или нет эти случайные величины.
5.5.Случайный вектор ( , ) распределен равномерно в области G = {x2/9 + y2/4 1; x 0; y 0}. Найти коэффициент корреляции случайных величин и и выяснить, зависимы
или нет эти случайные величины.
5.6. Случайный вектор ( , ) распределен равномерно в круге, задаваемом уравнением x2 + y2 4. Найти коэффициент корреляции случайных величин и и выяснить, зависимы или нет эти случайные величины.
88
6. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Во введении к первой части учебного пособия мы говорили, что теория вероятностей предназначена для создания математических моделей случайных событий, связанных с некоторым опытом. Причем относительная частота этих случайных событий обладает свойством устойчивости: с увеличением числа опытов она принимает значения, близкие к некоторому неслучайному числу. Таким образом, необходимо показать, что полученная вероятностная модель хорошо описывает тот факт, что при наложении большого числа случайных факторов результат почти не зависит от случая. Рассмотренные далее предельные теоремы и доказывают адекватность вероятностной модели.
Предварительно приведем полезные для приложений неравенства.
Неравенство Маркова. Если случайная величина принимает только неотрицательные значения и имеет математическое ожидание, то для любого числа A > 0 справедливо неравенство
P( A) M .
A
Отсюда следует, что P( A) 1 M .
A
Задача 6.1. На телефонную станцию в среднем в минуту поступает 300 вызовов. Оценить вероятности того, что число вызовов в течение минуты а) будет больше 400, б) не превысит 500.
□ Из условия задачи видно, что речь идет о дискретной случайной величине, принимающей целые неотрицательные значения, математическое ожидание которой равно 300. Используя неравенство Маркова и его следствие, оценим вероятности:
а) P( 400) 300400 0,75;
б) P( 500) 1 500300 0,4. ■
89
Из неравенства Маркова легко получается неравенство Чебышева.
Неравенство Чебышева. Если случайная величина имеет математическое ожидание и дисперсию, то для любого числа0 справедливо неравенство
P |
|
M |
|
|
D |
|
|
|
|
. |
|||
|
|
2 |
||||
|
|
|||||
Задача 6.2. Автомат выпускает стандартные детали с вероятностью 0,96. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что в партии из 2000 деталей число бракованных находится в пределах от 60 до 100.
□ По смыслу задачи у нас серия из 2000 испытаний Бернулли, следовательно, количество бракованных деталей – значения случайной величины , имеющей биномиальное распределение, причем вероятность «успеха» p = 1 – 0,96 = 0,04. Тогда
M np 2000 0,04 80; D npq 2000 0,04 0,96 76,8 ;
P(60 100) P( 20 80 20)P( 80 20) P( M 20).
В силу неравенства Чебышева P( |
|
80 |
|
20) |
76,8 |
0,192, |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2 |
||||||||||||||||
но |
20 |
|
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
P( |
|
80 |
|
|
|
20) 1 P( |
|
80 |
|
20) 0,192 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
P( |
|
80 |
|
20) 1 0,192 0,808. |
■ |
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В первой части пособия мы рассматривали случайные события и их вероятности. Они играют роль алгебры. Вторая часть посвящена функциям – случайным величинам, т.е. они играют роль математического анализа. Центральное место в математическом анализе занимает понятие предела. Для случайных величин тоже вводится это понятие. Учитывая специфику случайных величин, понятие предела формулируется в терминах вероятности.
90