Теория вероятностей. Ч.2 Случайные величины и предельные теоремы теории вероятностей. Учебное пособие

Сходимость по вероятности обозначают так: n P . Есть целый цикл теорем, использующих понятие сходимости

по вероятности, которые объединены общим названием «Закон больших чисел». Приведем формулировки двух таких теорем.

Теорема Чебышева. Если дана последовательность независимых случайных величин n , дисперсии которых ограничены в совокупности, то

В частном случае, когда функции распределения этих случайных величин одинаковые и M k = a:

1 ... n n

т.е. средние арифметические величин «ведут себя», как константа.

Задача 6.3. Определить, сколько надо провести измерений данной величины, чтобы их среднее арифметическое с вероятностью не менее 0,95 отклонялось от истинного значения этой величины не более чем на 0,1, если среднее квадратическое отклонение каждого измерения не превосходит 0,3.

□ Из постановки задачи следует, что результаты измерений можно считать значениями независимых случайных величин k, имеющих одну и ту же функцию распределения, причем M k = a – истинное значение данной величины. Тогда, если

D k = 0,04, то M(( 1 + 2 +…+ n) / n) = a, D(( 1 + 2 + … + n) / n) = = 0,09/n и, в силу неравенства Чебышева:

91

Решая неравенство

1 0,09 0,95,

0,01n

имеем n > 180. ■

Теорема Бернулли. Если дана последовательность серий испытаний Бернулли {Tn} (в серии Tn n испытаний Бернулли), причем в каждой серии вероятность успеха равна p, то относительная частота успехов kn/n по вероятности сходится к вероятности успеха в одном испытании p .

Эта теорема – частный случай теоремы Чебышева. Она важна в идеологическом плане, так как показывает, что наша вероятностная модель отражает реально наблюдаемую закономерность, например результаты опытов Бюффона и Пирсона.

Теорема Чебышева и теорема Бернулли показывают, что средние большого количества случайных величин с большой вероятностью приближаются к постоянной.

При определенных условиях справедлива теорема, позволяющая более детально описать поведение сумм большого количества случайных величин. Эта теорема носит название центральной предельной теоремы.

Прежде чем привести один из вариантов формулировок этой теоремы, заметим, что если даны независимые случай-

ные величины 1, 2, …, n, причем M k = a и D k = 2, а – случайная величина, равная их среднему арифметическому: =

= ( 1 + 2 + … + n) / n, тогда M = a, D = 2/n. Таким образом

a

случайная величина n является нормированной, т.е. ее ма-

тематическое ожидание равно нулю, а дисперсия равна единице. Перейдем теперь непосредственно к формулировке теоремы.

Центральная предельная теорема. Пусть дана последовательность независимых случайных величин { n}, име-

92

ющих одинаковые функции распределения, математиче-

для любых чисел и > .

Эта теорема показывает, что нормальное распределение играет особую роль. Оно возникает во всех ситуациях, когда рассматривается случайная величина, значения которой определяет большое количество независимых факторов. Аналоги приведенной теоремы были доказаны в разных предположениях, основной смысл которых в том, что все случайные величины { n} ведут себя примерно одинаково, т.е. ни одна из них не подавляет влияния остальных.

Впервой части пособия при подсчете вероятностей в испытаниях Бернулли мы использовали локальную и интегральную теоремы Муавра-Лапласа. Теперь ясно видно, что эти теоремы непосредственно следуют из центральной предельной теоремы.

Взаключение отметим, что и закон больших чисел и центральная предельная теорема играют фундаментальную роль

всоздании теоретических основ статистических методов обработки данных.

93

ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Вариант 1 № 1. Функция распределения непрерывной случайной ве-

личины имеет вид

Найти параметр A, плотность распределения вероятностей случайной величины ; нарисовать графики функции распределения и плотности вероятности; найти математическое ожидание, дисперсию и медиану случайной величины , а также дисперсию случайной величины = 2 – 3 .

№2. Случайная величина имеет равномерное распределе-

ние на отрезке [0; 3]. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины = 3 2– 2 .

№3. Для случайных величин и математические ожидания равны 10 и –6 соответственно, а ковариационная матри-

дисперсию случайной величины = –3 + + 32.

№ 4. Плотность вероятности двумерной случайной величины ( , ) имеет вид

Cxy при 0 x 1, 0 y 1 x; f (x,y) 0 в остальных случаях.

Найти константу C и коэффициент корреляции случайных величин и .

№ 5. Девушка и юноша наудачу извлекают по одному шару из урны, содержащей 2 белых и 3 черных шара (выбор шаров производится без возвращения). Девушка извлекает шар первой. Случайные величины: – число черных шаров у девушки, – число белых шаров у юноши. Найти функцию распределения F (x, y), коэффициент корреляции и , описать условный закон распределения случайной величины при условии = 0.

94

Вариант 2 № 1. Плотность распределения случайной величины име-

ет вид

где B – неизвестный параметр.

Найти значение параметра В, нарисовать график плотности вероятности, вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

№2. В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу ото-

браны четыре детали. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины – числа нестан-

дартных деталей среди четырех отобранных, найти функцию

распределения, математическое ожидание, дисперсию и моду случайной величины .

№3. Даны две СВ и . Известно, что D = 1, M = –1, D = 12, M = 5, D(2 + ) = 20. Найти M(– – 4 ) и cov( , ).

№4. Двумерная случайная величина ( , ) распределена равномерно в области D, где D – треугольник с вершинами А(–1, 0), В(0, 0), С(0, –1). Найти ковариационную матрицу и коэффициент корреляции случайных величин.

№5. Функция распределения случайного вектора ( , ) дискретного типа имеет вид, определяемый таблицей:

Найти коэффициент корреляции вектора ( , ) и установить, зависимы или нет компоненты и .

95

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Теория вероятностей изучает закономерности, возникающие в случайных экспериментах, и является инструментом для изучения скрытых и неоднозначных связей различных явлений во многих отраслях науки, техники и экономики. Также теория вероятностей является основой математической статистики.

В [10] и данном пособии изложены основы теории вероятностей. В силу особенностей учебной программы представленный материал предназначен для использования при первом знакомстве с этой математической дисциплиной. Для желающих получить более глубокие знания по теории вероятностей можно рекомендовать [11] и [12].

Автор выражает огромную благодарность канд. физ.-мат. наук, доц. Сабуровой Татьяне Николаевне за ценные замечания и советы по написанию рукописи данного пособия.

96

ОТВЕТЫ К ВАРИАНТАМ КОНТРОЛЬНОЙ

D = 1/12; Md = –1,5; D(2 – 3 ) = 0,75

2.M = 6, D = 40,8

3.M =60, D = 82,3

4.С = 24, ( , ) = –2/3

5.( , ) = –0,25

97

3. M(– – 4 ) = –19, cov( , ) = 1

5. ( , ) = 0,408, зависимы

98

ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

1.1.с = 0,2; F (x) = {0, x 0; 0,1; 0 < x 1; 0,4; 1 < x 2; 0,6, 2 < x 3; 1, x > 3}, P{ > 1} = 0,6; P{0 < < 2} = 0,3; P{0< 2} = 0,5

1.6.4/5

1.7.Нет, F (1/2) = F (–1/2) = ½

1.8.с = 1/4, f (x) = {0, x 0 или x > 2; x/2, 0 < x 2}, Р{ 1} = 3/4,

Р{ > 1} = 3/4, Р{0,5 3} = 15/16

1.10.Нет

1.11.a = –2, b = 2, f (x) = {0, x < 0 или x > /3; 2sinx,

1.12.a = –1/ , b = 1, f (x) = 1/( (1+ х2)), P( 0) = ½

1.13.c = 1; F (x) = {0, x –1; x + x2/2 + 0,5; –1 < x 0; x – x2/2 + 0,5;

0 < x 1; 1; x > 1}

99

1.14. а) р = 0,3

б) Зависимы в) Р{ = 1, 0} = 0,4; Р{ > }= 0,3 г) F (x):

д) 0,3; 0,5; e)

1.15.

100