Теория вероятностей. Ч.2 Случайные величины и предельные теоремы теории вероятностей. Учебное пособие

ния числа до целого (она равномерно распределена на отрезке [–0,5; 0,5]).

Функция распределения F (х) имеет вид

График функции F (х) изображен на рис. 4.2.

Fξ(х) 1

Рис. 4.2. График функции равномерного распределения F (х) на отрезке [a, b]

На рис. 4.1 хорошо видно, что плотность распределения вероятностей f (х) имеет график, симметричный относительно прямой, проходящей через середину отрезка [a, b] (точку (a+b)/2) параллельно оси Oy. Поэтому математическое ожидание и медиана равномерно распределенной случайной величины равны (a + b) / 2.

71

Таким образом, для равномерно распределенной случайной величины

Задача 4.1. Автобусы идут с интервалом 20 минут. Считая, что случайная величина – время ожидания автобуса на остановке – распределена равномерно на интервале [0, 20], найти среднее время ожидания, среднеквадратичное отклонение времени ожидания и вероятность того, что время ожидания составит от 10 до 15 минут.

□ Случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке [0, 20], следовательно, по (4.1) среднее время ожидания

M = (0 + 20) / 2 = 10;

4.2. Показательное (экспоненциальное) распределение

Непрерывная случайная величина имеет показательный (или экспоненциальный) закон распределения, если ее плотность распределения вероятностей имеет вид

где > 0 – параметр.

Это распределение наиболее часто встречается в теории надежности, теории массового обслуживания, физике, биологии. Оно используется для описания распределения случай-

72

ной величины следующего вида: длительность работы прибора до первого отказа, длительность времени обслуживания в системе массового обслуживания и т.д.

График плотности вероятности для показательного распределения непрерывной случайной величины изображен на рис. 4.3.

fξ(х)

73

Следовательно, для случайной величины , имеющей показательное распределение:

Задача 4.2. Случайная величина – время работы радиолампы – имеет показательное распределение. Найти вероятность того, что лампа проработает более 800 часов, если среднее время работы радиолампы 400 часов.

По условию среднее значение (или математическое ожидание) случайной величины , распределенной по показательному закону, равно 400, то есть M = 1/ = 400 (см. (4.2)), следовательно, параметр = 0,0025.

Искомая вероятность равна

P{ > 800} = P{800 < < + } = 1 – F (800) = = 1 – (1 – e–0,0025ּ800) = e–2 0,135.■

4.3. Нормальное распределение

Непрерывная случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами а и (обозначается ~ N(а, )), если ее плотность распределения имеет вид

Среди всех распределений непрерывных случайных величин нормальное распределение занимает особое место, оно имеет исключительно важное значение и для теории, и для практики. Главная особенность нормального закона состоит в том, что он является предельным законом, к которому при-

74

ближаются при определенных условиях другие законы распределения. Нормальное распределение возникает во всех случаях, когда мы имеем дело с результатом воздействия большого числа (суммы) случайных факторов. Например, можно считать, что нормальное распределение имеют отклонения действительных размеров деталей, обработанных на станке, от стандарта; ошибки при измерении; колебания курса акций; рост человека; вес клубней картофеля; величина шума в радиоприемном устройстве и т.д.

fξ(х)

1/ ( 2 )

Рис. 4.5. График плотности вероятности нормального распределения f (х)

Как видно из рис. 4.5, график плотности нормального распределения (его называют нормальной кривой, или кривой Гаусса) симметричен относительно прямой х = а и имеет единственную точку максимума х = а, то есть нормальное распределение является унимодальным, а математическое ожидание, медиана и мода равны а.

мального распределения это математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение .

75

Изменение значения параметра а ведет только к сдвигу кривой графика функции плотности вероятности f (x). Изменение же параметра приводит к существенному изменению формы кривой: чем меньше , тем больше максимальное значение функции f (x), и тем менее пологим становится график функции f (x). (см. графики на рис. 4.6, соответствующие разным значениям : 1< 2).

fξ(х)

1

2

Рис. 4.6. Графики плотности вероятности нормального распределения f (х), соответствующие разным значениям : 1< 2

Функция распределения нормальной случайной величины

Так как данный интеграл «неберущийся», значения F (х) вычисляют по формуле

Значения функции Ф0(x) приведены в таблице приложения. При использовании таблицы следует иметь в виду, что функция Лапласа нечетная. Кроме того, следует отметить, что

76

иногда приводится таблица непосредственно функции нормального распределения с параметрами a = 0, = 1 (такое нормальное распределение называется стандартным):

График функции нормального распределения F (х) изображен на рис. 4.7.

Fξ(х)

1

0,5

Рис. 4.7. График функции нормального распределения F (х)

Вероятность попадания случайной величины ~ N(а, ) на заданный участок (c, d) равна

На практике часто приходится вычислять вероятность попадания случайной величины ~ N(а, ) в интервал, симметричный относительно центра рассеяния a:

Если = 3 , то

P{ a 3 } 2 0 3 0,9973,

то есть практически достоверно, что случайная величина~ N(а, ) принимает свои значения в промежутке (a – 3 , a + 3 ). Это утверждение носит название правила трех сигм.

77

Задача 4.3. Рост взрослого мужчины описывается нормальным законом распределения. По статистике средний рост составляет 175 см, а среднеквадратичное отклонение равно 7 см. Найти вероятность того, что рост наугад взятого мужчины будет отличаться от среднего роста не больше чем на 7 см.

□ Пусть случайная величина – рост наугад взятого взрослого мужчины. Тогда по условию ~ N(175,7).

Искомая вероятность по формуле (4.3) равна

P{168 182} P{a 7 a 7} P a 7 2 0 7

2 0 1 2 0,3413 0,6826

(значение Ф0(1) взято из приложения). ■

Легко проверить, что если ~ N(а, ), то линейная функция этой случайной величины = k + b ~ N(kа + b, k ), а 0 = = ( – а)/ ~ N(0, 1).

Нормальное распределение обладает и тем свойством, что сумма независимых нормально распределенных случайных величин тоже имеет нормальное распределение. Например, если случайные величины 1, 2, ..., n независимы и у них одинаковые функции распределения, то есть k ~ N(а, ) при

k = 1, 2, ..., n, то ( 1 + 2 + ... + n) ~ N(nа, n ). Верно и обратное: если сумма независимых случайных величин 1, 2, ..., n

имеет нормальное распределение, то и каждая из этих случайных величин имеет нормальное распределение.

4.4. Функции нормально распределенных случайных величин

Рассмотрим некоторые функции случайных величин, имеющих нормальное распределение, которые широко используются в математической статистике.

4.4.1. Распределение 2 (хи-квадрат)

Если даны n независимых случайных величин 1, 2, ..., n, каждая из которых имеет стандартное нормальное распределение (N(0, 1)), то распределение случайной величины

78

2 (n) 12 22 ... 2n

называется распределением Пирсона, или 2 (читается «хи квадрат») с n степенями свободы.

Плотность f 2(х) вероятности распределения 2 имеет вид

где x 1e xdx – гамма-функция Эйлера (Г( ) = ( – 1)!

0

для натуральных , Г( ) определена при > 0.

С возрастанием числа степеней свободы n распределение2 приближается к нормальному закону распределения (при n > 30 распределение 2 практически не отличается от нормального).

Графики плотности распределения 2 при различных значениях n изображены на рис. 4.8.

f 2 (x) n = 1

0,5

n = 2

n >2

Рис. 4.8. График плотности распределения 2 при различных значениях n

79

Для распределения хи-квадрат

M 2 = n, D 2 = 2n.

Распределение 2, как и нормальное, обладает тем свойством, что сумма двух независимых случайных величин, имеющих распределения 2 с параметрами n1 и n2, будет тоже иметь распределение 2 с параметром n1 + n2.

Распределение хи-квадрат является частным случаем гаммараспределения, плотность которого имеет вид

где a > 0 и b > 0 – параметры. Очевидно, распределение 2 – гамма-распределение с параметрами a = n/2 и b = 1/2.

4.4.2. Распределение Стьюдента

Если даны две независимые случайные величины: 1 ~ N(0, 1) и 2, имеющая распределение 2 с параметром n, то распределение случайной величины

называется распределением Стьюдента, или t-распределе- нием с n степенями свободы (под псевдонимом Стьюдент писал свои работы по статистике английский математик В. Госсет).

Плотность вероятности распределения Стьюдента ft(х) имеет вид

80