Теория вероятностей. Ч.2 Случайные величины и предельные теоремы теории вероятностей. Учебное пособие

Найти коэффициент корреляции между и 2.

2.25. Закон распределения дискретного случайного вектора ( , ) определяется следующей таблицей:

Найти константу p, математические ожидания и дисперсии случайных величин и , ковариационную матрицу случайного вектора ( , ), условное математическое ожидание M( | = 1).

2.26.Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шаров, на-

удачу извлекают 2 шара без возвращения. Случайные величины: – число белых шаров в выборке, – число черных шаров

ввыборке. Вычислить коэффициент корреляции ( , ).

2.27.Производится два выстрела по мишени в неизменных

условиях. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Случайные величины: – число выстрелов до первого попадания (включительно), – число промахов. Найти ( , ) и Р{ + 1}.

2.28.Бросаются две одинаковые игральные кости. Случайные величины: – индикатор четности суммы выпавших очков (т.е. = 1, если эта сумма четна, и = 0 в противном случае), – индикатор четности произведения выпавших. Построить функцию распределения случайного вектора ( , ) и найти ковариационную матрицу случайного вектора ( , ).

2.29.Число выбирается случайным образом из множества

чисел {1, 2, 3}. Затем из того же множества выбирается наудачу число , большее первого или равное ему.

а) Описать закон распределения случайного вектора ( , ).

б) Определить, зависимы или нет случайные компоненты

и .

в) Найти коэффициент корреляции ( , ).

г) Описать условный закон распределения компоненты при условии = 2 и вычислить M( | = 2).

61

2.30. Распределение двумерной случайной величины ( , ) задано таблицей:

Найти константу с, коэффициент корреляции случайных величин и и выяснить, зависимы или нет эти случайные величины.

2.31. Дана плотность вероятности случайного вектора ( , ):

c (x2 y2 ) при 0 x 1, 0 y 1; f (x,y)

0 в остальных случаях.

Найти c, f (x), f (y), M , M , , , ( , ). Выяснить, зависимы или нет и .

2.32. Дана плотность вероятности случайного вектора ( , ):

c xy при 0 x 1, 0 y 1; f (x,y) 0 в остальных случаях.

Найти c и ( , ). Выяснить, зависимы или нет и .

2.33. Дана плотность вероятности случайного вектора ( , ):

c xy при 0 x 1, 0 y 1 x; f (x,y) 0 в остальных случаях.

Найти c и ( , ). Выяснить, зависимы или нет и .

2.34. Дана плотность вероятности случайного вектора ( , ):

0 в остальных случаях.

Найти ( , ). Выяснить, зависимы или нет и .

62

3.ВАЖНЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

3.1. Биномиальное распределение

Дискретная случайная величина имеет биномиальное распределение (или распределена по биномиальному закону), если она принимает значения 0, 1, 2, ..., n c вероятностями

P( k) Cnk pkqn k ,

где 0 < p < 1, q = 1 р.

Биномиально распределенная случайная величина непосредственно может быть связана с испытаниями Бернулли: значения этой случайной величины – количество успехов в n испытаниях Бернулли.

Ряд распределения случайной величины , распределенной по биномиальному закону, имеет вид

Отметим, что

Сn0 p0qn Cn1 pqn 1 ... Cnm pm qn m ... Cnn pn q0

( p q)n ( p 1 p)n 1.

Согласно определению, чтобы вычислить математическое ожидание этой случайной величины , нужно вычислить сумму

n

M xk pk k Cnk pkqn k .

kk 0

Покажем, как можно упростить вычисления, используя свойства математического ожидания и тот факт, что значения случайной величины , имеющей биномиальное распределение, можно интерпретировать как количество успехов в n испытаниях Бернулли. Свяжем с каждым испытанием с номе-

63

ром k случайную величину k (индикатор), которая принимает значение 1 с вероятностью р в случае успеха и значение 0 с вероятностью q в противном случае. Испытания независимые, следовательно, случайные величины k (k = 1, 2, ..., n) независимы. Вычислим

M k = 1 p + 0 q = p. Так как = 1 + 2 + … + n, то

М = M 1 +M 2 + … + M n = nр

(здесь мы не использовали независимость k).

Аналогично можно вычислить и дисперсию: k2 принимает те же значения и с теми же вероятностями, что и k, поэтому

D k = М( k2) – (М( k))2 = р – р2 = р(1 – p) = pq,

тогда

D = D 1 + D 2 + … + D n = nрq

(здесь мы использовали независимость случайных величин k).

Итак:

Задача 3.1. Имеется 200 семей, в каждой из которых 4 ребенка. Найти среднее значение числа семей из 200, имеющих одного мальчика и трех девочек. Вероятности рождения мальчика и девочки считать одинаковыми.

□ Так как по условию вероятность рождения мальчика p1 = 0,5, по формуле Бернулли вероятность p того, что в семье с четырьмя детьми один мальчик и три девочки, равна

Пусть случайная величина – число семей из 200, имеющих одного мальчика и трех девочек.

принимает значения 0, 1, ..., 200 с вероятностями

P{ k} C200k pkq200 k ,

так как каждую из 200 семей можно рассматривать как испытание в серии n = 200 испытаний Бернулли.

64

То есть случайная величина распределена по биномиальному закону, и, следовательно, ее среднее значение (или математическое ожидание) по (3.1) равно

M = np = 200 0,25 = 50. ■

3.2. Распределение Пуассона

Дискретная случайная величина имеет распределение Пуассона, если ее возможные значения: 0, 1, ..., k, ..., а соответствующие вероятности выражаются формулой Пуассона:

pk P{ k} k e ,

k !

где > 0 – параметр.

Ряд распределения случайной величины , имеющей распределение Пуассона, имеет вид

Примерами случайных величин, имеющих распределение Пуассона являются число вызовов, поступающих на телефонную станцию за время t; число опечаток в большом тексте; число отказов сложной аппаратуры (например, ЭВМ) за время t; число -частиц, испускаемых радиоактивным источником за время t и т.д. Вероятность того, что случайная величина примет значение, равное k, в этом случае равна

(ta)k e ta , k !

где a – среднее количество событий, происходящих за единицу времени.

65

D M 2 (M )2 2 2 .

Таким образом, для случайной величины , имеющей распределения Пуассона:

М = и D = .

Задача 3.2. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в минуту, равно 120. Найти вероятность того, что за две секунды на АТС поступит менее двух вызовов.

□ Из условия следует, что среднее число вызовов, поступающих на АТС за две секунды, равно 4.

Пусть случайная величина – число поступивших вызовов на АТС за две секунды. Эта случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром = 4, следовательно, искомая вероятность равна

p P{ 0} P{ 1} 40 e 4 41 e 4 0,092. ■ 0! 1!

3.3. Геометрическое распределение

Дискретная случайная величина имеет геометрическое распределение, если ее возможные значения: 1, 2, ..., k, ..., а вероятности этих значений

P{ k} pqk 1,

где 0 < p < 1, q = 1 р.

66

Ряд распределения такой случайной величины имеет вид

как сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Геометрически распределенная случайная величина может быть связана, например, с такой ситуацией: серия независимых испытаний, в каждом из которых событие А происходит с вероятностью р и не происходит с вероятностью q, проводится до тех пор, пока не появится событие А. В этом случае вероятность того, что придется произвести k испытаний равна рq

Примерами случайных величин, распределенных по геометрическому закону, являются число выстрелов до первого попадания, число испытаний прибора до первого отказа и т.д.

Таким образом, для геометрического распределения

M 1 , D q . (3.2) p p2

67

Задача 3.3. Вероятность попадания в цель при отдельном выстреле для данного стрелка равна 0,2. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины – числа выстрелов по цели до первого попадания.

Случайная величина имеет геометрическое распределение с параметром p = 0,2, следовательно, по (3.2)

M = 1 / p = 1 / 0,2 = 5,

D = q / p2 = 0,8 / 0,04 = 20. ■

Упражнения для самостоятельной работы

3.1.Вероятность отказа каждого прибора при испытании

не зависит от отказов остальных приборов и равна 0,2. Испытано 9 приборов. Случайная величина – число отказавших за

время испытаний приборов. Найти математическое ожидание

идисперсию случайной величины , наиболее вероятное число отказавших приборов и P{ M }.

3.2.Число элементарных частиц, регистрируемых прибором, случайно и образует пуассоновскую случайную величину со средним значением 200 частиц. Каждая регистрируемая частица может нести заряд с вероятностью 0,01 и быть нейтральной с вероятностью 0,99. Определить закон распределения числа заряженных частиц, регистрируемых прибором, и найти среднее значение и дисперсию полученного распределения.

3.3.Сравнить D и D , если имеет распределение Пуассона с параметром M , а – распределение Пуассона с параметром M .

3.4.Вероятность того, что в течение часа на станцию ско-

рой помощи не поступит ни одного вызова, равна 0,00248. Считая, что число вызовов, поступивших в течение часа

на станцию имеет распределение Пуассона, найти математическое ожидание и дисперсию .

3.5.Орудие залпом стреляет в цель до первого попадания. Вероятность попадания в цель орудием при одном выстреле

равна 0,5. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины – числа сделанных залпов.

68

3.6.Вероятность попадания стрелка в мишень в неизмен-

ных условиях постоянна и равна 0,7. Стрелку выдаются патроны до тех пор, пока он не промахнется. Обозначим число

выданных стрелку патронов в данном эксперименте. Найти M , D и моду .

3.7.Испытания по схеме Бернулли с вероятностью успеха 0,6 в одном испытании повторяются до тех пор, пока не поя-

вится успех, после чего прекращаются. Описать закон распределения случайной величины – числа проведенных испытаний до первого успеха включительно, найти M , D , Р{ 3}.

3.8.Вероятность появления брака на автоматической линии равна 0,001. Линия работает без переналадки до появления первого бракованного изделия. Определить, сколько изделий в среднем производит данная автоматическая линия

между двумя переналадками и какова вероятность того, что число произведенных изделий окажется больше 3M .

69

4. ВАЖНЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

4.1. Равномерное распределение

Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке [a, b], если ее плотность вероятности f (х) постоянна на этом отрезке, а вне его равна нулю:

1b a

( ) f x

0,

График плотности вероятности для равномерного распределения непрерывной случайной величины изображен на рис. 4.1.

fξ(х)

1 / (b – a)

Рис. 4.1. График плотности вероятности равномерного распределения f (х) на отрезке [a, b]

Для равномерно распределенной непрерывной случайной величины вероятность попадания ее значений в заданный промежуток на отрезке [a, b] пропорциональна длине этого промежутка и не зависит от его расположения.

К случайным величинам, имеющим равномерное распределение, относятся время ожидания пассажиром транспорта, курсирующего с определенным интервалом; ошибка округле-

70