Теория вероятностей. Ч.2 Случайные величины и предельные теоремы теории вероятностей. Учебное пособие

□ 1. По свойству 2 плотности распределения вероятностей

f (x)dx 1.

В нашем случае

Следовательно, c/8 = 1, то есть c = 8 и

2. Найдем моду случайной величины – абсциссу точки максимума функции f (x), для этого решим следующее уравнение:

Отметим знаки производной плотности вероятности на оси Ox:

+−

0 2 x

4

51

Следовательно, x 42 – абсцисса точки максимума функ-

где F (x) – функция распределения случайной величины :

4. Верхняя квантиль или квантиль порядка 0,75 случайной величины – решение уравнения:

F (x) = 0,75.

52

Решение этого уравнения лежит в интервале (0, + ), так

5.Найдем математическое ожидание случайной величины

по формуле (2.1):

0

M xf (x)dx x 0dx x 8xe 4x2 dx 8 x xe 4x2 dx

M 2 x2f (x)dx x2 0dx x2 8xe 4x2 dx 8 x2 xe 4x2 dx

0 0

53

Следовательно, дисперсия случайной величины по формуле (2.3) равна

7. Используя свойства математического ожидания и дисперсии, имеем

D D(4 5) 42 D 4 . ■

Задача 2.3. Найти квантиль порядка 0,25 (нижнюю квантиль) случайной величины , определенной в условии задачи 1.4. Определить, квантилью какого порядка является x = 0.

□ В решении к задаче 1.4 найдена функция распределения случайной величины и построен график этой функции, из которого видно, что решение уравнения F (x) = 0,25 (т.е. квантиль порядка 0,25 случайной величины ) лежит в интер-

x2 1 1 ,

2 2 4

находим, что x 22 – квантиль порядка 0,25.

F (0) = 0,5, следовательно, x = 0 – квантиль порядка 0,5 (медиана случайной величины ).■

Задача 2.4. Закон совместного распределения случайных величин и случайного вектора ( , ) имеет вид

54

Найти вероятность p, ковариацию, ковариационную матрицу и коэффициент корреляции случайных величин и . Установить, зависимы или нет случайные величины и .

□ Так как сумма всех вероятностей в совместном законе распределения случайных величин должна быть равна 1, имеем: 0,1 + 0,2 + 0,3 + p = 1, откуда p = 0,4 и закон распределения случайного вектора ( , )

Следовательно, законы распределения отдельных компонент (см. решение задачи 1.5):

По формуле (2.5)

M( ) xi yj pij 0 1 0,1 0 2 0,2 1 1 0,3 1 2 0,4 1,1.

ij

Значит, по формуле (2.4)

cov( , ) = M( ּ· ) – M ·M = 1,1 – 0,7ּ· 1,6 = –0,02.

Чтобы найти ковариационную матрицу случайных величин и , вычислим дисперсии случайных величин по формуле (2.3):

55

По формуле (2.6) коэффициент корреляции случайных величин и равен

Так как cov( , ) = –0,02 0, то случайные величины и зависимые (если бы cov( , ) = 0, то отсюда не следовала бы независимость этих случайных величин). ■

Задача 2.5. Даны две случайные величины и . Известно, что M = –2, M = –1, D = 2, D = 1, D(2 – 3 + 1) = 5. Найти M(2 – 3 + 1) и cov( , ).

□ Используя линейность математического ожидания, а также соответствующие свойства дисперсии и ковариации, находим

M(2 3 1) M(2 ) M( 3 ) M(1)

2M 3M 1 2 ( 2) 3 ( 1) 1 0;

D(2 3 1) D(2 3 ) D(2 ) D( 3 ) 2cov(2 , 3 )

4D 9D 12cov( , )

4 2 9 1 12cov( , ) 17 12cov( , ).

Сдругой стороны, по условию D(2 – 3 +1) = 5, следовательно:

17 12cov( , ) 5; cov( , ) 1. ■

Задача 2.6. Найти математическое ожидание случайной величины = ( – )2, где и – случайные величины со следующими характеристиками: M = 1, M = –1, = 1, = 2,( , ) = – 0,5.

□ По свойствам 3 и 4 математического ожидания случайной величины

M = M( – )2 = M( 2 – 2 + 2) = M 2 – 2M( ּ) + M 2.

Из формулы (2.3) и определения среднеквадратичного отклонения следует:

56

M 2 = D + (M )2 = ( )2 + (M )2 = 12 + 12 = 2, M 2 = D + (M )2 = ( )2 +(M )2 = 22 + (–1)2 = 5.

Из формул (2.4) и (2.6) имеем

M( · ) = cov( , ) + M · M = ( , ) · · + M · M = = –0,5 · 1 · 2 – 1 · 1 = –2.

Следовательно, M = 2 – 2 · (–2) + 5 = 11. ■

Упражнения для самостоятельной работы

2.1. Задан закон распределения дискретной случайной величины :

Найти постоянную с, математическое ожидание, дисперсию, моду случайной величины , а также М(2 + 3) и D(2 + 3).

2.2.Случайная величина принимает всего два значения: 1 с вероятностью p и 0 с вероятностью q = 1 – р. Вычислить математическое ожидание, дисперсию, третий центральный момент и определить значение вероятности р, при котором дисперсия максимальна.

2.3.Из урны, содержащей 4 белых и 6 черных шаров, случайным образом и без возвращения извлекается 3 шара. Най-

ти математическое ожидание и дисперсию случайной величины – числа белых шаров в выборке.

2.4.Производятся последовательные независимые испытания пяти приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, когда предыдущий

оказался надежным. Вычислить моду и математическое ожидание случайной величины – числа испытанных в данном

эксперименте приборов, если надежность каждого из приборов равна 0,8.

2.5.Найти математическое ожидание, дисперсию, моду случайной величины , функция распределения которой име-

ет вид:

57

2.6.Известно, что случайная величина , принимающая

только два значения: 1 и 2, имеет математическое ожидание, равное 1,7. Найти дисперсию случайной величины .

2.7.Найти математическое ожидание, дисперсию, медиану случайной величины , функция распределения которой име-

ет вид

2.8. Случайная величина распределена по закону, определяемому плотностью распределения вероятностей вида

Найти постоянную с, М , D , D(2 + 3), M( 2 – 2 + 2).

2.9.Найти квантиль порядка 2/3 для случайной величины , принимающей с равными вероятностями значения 0, 1,

2, 3.

2.10.Найти квантиль порядка 2/3 для случайной величины , имеющей плотность вероятности

2.11. Случайная величина распределена по закону, определяемому плотностью распределения вероятностей вида

58

Найти константу с, вычислить Р{| | < /4}, M , D . Определить, квантилью какого порядка является точка х = /4.

2.12. Случайная величина распределена по закону, определяемому плотностью распределения вероятностей вида

Найти моду, медиану, верхнюю квантиль и коэффициент эксцесса случайной величины , а также математические ожидания и дисперсии случайных величин и = 2 3.

2.13. Случайная величина распределена по закону, определяемому функцией распределения вероятностей:

Найти моду, медиану и квантиль tp порядка р = 0,75. Определить, существуют ли математическое ожидание и моменты более высокого порядка у данного распределения.

2.14. Случайная величина распределена по закону, определяемому плотностью распределения вероятностей вида

Вычислить M , D , моду, медиану и коэффициент асимметрии.

2.15.Случайная величина подчиняется закону арксинуса

сплотностью распределения вероятностей

моду, медиану и нижнюю квантиль.

2.16.Заданы законы распределения случайных величин

и:

59

Известно, что М = –0,4, D = 1,24, x1 < x2, и – независимы. Найти М и D , где = 3 – 2 + 1.

2.17.Найти коэффициент корреляции ( , ) случайных величин и , если известно, что D = 3, D = 2, D(2 – 2 ) = 28.

2.18.Найти M( · ) случайных величин и , если известно, что М = –1, D = 11, М = 5, D = 1, D(2 + ) = 20.

2.19.Найти M( · ) и D(2 – 4 + 3), если М = –1, М = 1,

2.20.Найти M , если = ( – )2, М = –1, М = 1, = 2,= 3, ( , ) = 0,5.

2.21.Случайные величины и независимы и имеют одинаковое распределение с математическим ожиданием 2 и дис-

персией 1. Найти коэффициент корреляции случайных величин = 2 + и = 2 – .

2.22.Функция распределения дискретного случайного вектора ( , ) имеет вид, определяемый таблицей:

Найти ковариационную матрицу вектора ( , ) и установить, зависимы или нет компоненты и .

2.23.Бросается два игральных кубика. Случайная величина – число появлений двойки, – число появлений числа,

кратного трем. Найти коэффициент корреляции случайного вектора ( , ) и установить, зависимы или нет и .

2.24.Дискретная случайная величина распределена по закону, определяемому таблицей:

60