Теория вероятностей. Ч.2 Случайные величины и предельные теоремы теории вероятностей. Учебное пособие
.pdf
1.16.
|
x |
y |
(– ,0] |
|
(0, 1] |
|
(1, + ) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(– , 0] |
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(0, 1] |
|
0 |
|
0,06 |
|
0,3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(1, + ) |
|
0 |
|
0,2 |
|
1 |
|
||
1.17. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
0,25 |
|
0,05 |
|
0,1 |
|
||
|
4 |
|
0,15 |
|
0,3 |
|
0,15 |
|
||
1.18. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–1 |
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0,06 |
|
0,1 |
|
0,04 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0,21 |
|
0,35 |
|
0,14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
0,03 |
|
0,05 |
|
0,02 |
|
|
0,27; 0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.19. а) с = 1; Р{ + < 1} = 1/3 |
|
|
|
|
||||||
|
x 0,5, |
x [0, 1], |
|
|
|
|
||||
б) f (x) |
x |
[0, 1] |
компоненты и зависимы |
|||||||
|
0, |
|
|
|
|
|||||
|
|
0, |
x ( , 0], |
|||||||
в) F (x) |
0,5(x2 |
x), |
|
x (0, 1], |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0, |
|
x (1, ) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.20. а) с = 3/28; Р{ + < 2} = 3/14
б) f (x) = {3x/14 + 2/7, 0 x 2; 0, x < 0 или x > 2}, компоненты и зависимы
1.21.с = 2; f (x) = {2(1 – x), 0 x 1; 0, x < 0 или x > 1}, f (y) = {1 + 2y – 3y2, 0 y 1; 0, y < 0 или y > 1};
и зависимы
101
|
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
1.22. |
с = 4/ ; f |
(x) {4 |
/ , |
x |
0,1 ; 0, |
x |
0,1 }; |
||||
|
|
|
1 y2 / , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
(y) {4 |
y |
0,1 ; |
0, |
y |
0,1 }; |
|
|||
и зависимы
1.23.c = 1; P(A) = (e –2+1)/2
2.1.с = 0,1; М = 1,7; D = 1,41; xm = 3; М(2 + 3) = 6,4; D(2 + 3) = 5,64
2.2.M = p; D = pq; μ3 = pq(q – p), p = ½
2.3.M = 6/5; D = 14/25
2.4.xm = 5; M = 3,3616
2.5.M = 3,3; D = 0,76, xm = 4
2.6.D = 0,21
2.7.Р{ 1} = 0,75; M = 4/3; D = 2/9; h = 2
2.8.с = 1; М = 0; D( ) = 3/5; D(2 +3) 2,4; M( 2 – 2 +2) = 2,6
2.9.t2/3 = 2
2.10. t2/3 = 2 / 3
2.11.с = 0,5; Р{| | < /4} = 1/ 2; M = 0; D = 2/4 – 2; p = (2 + 2)/4
2.12.xm = 0; h = 0; t0,25 = – 0,293; e = – 0,6; M =0; D = 1/6; M(2 3) = 3; D(2 3) = 2/3
2.13.xm = 0; h =0; t0,75 = 1; не существуют
2.14.M / 2; D = 2 – /2, xm = 1,
h |
2ln2; a 2 |
( 3) / |
(4 )3 |
|
|
|
|
2.15.F (x) = {0, x – 1; 1/2 + 1/ ·arcsinx, |x| < 1; 1, x > 1}; M = 0; D = 1/2; xm не существует; h = 0;
t0,25 = sin( /8)
2.16.М = 1; D = 14,52
2.17.( , ) = 1/ 6
2.18.M( · ) = –11
2.19.M( · ) = 0; D(2 – 4 +3) = 12
102
2.20.M = 9
2.21.3/5
2.22.K11 = 0,24; K12 = K21 = 0,09; K22 = 0,6275; зависимы
2.23.( , ) = 1/ 10, зависимы
2.24.1/ 10
2.25.р = 0,3; M = 0,5; M = 0,3; D = 0,25; D = 0,61;
K11 = 0,25; K12 = K21 = 0,05; K22 = 0,61; M( | = 1) = 2/5
2.26.( , ) = –1
2.27.( , ) = 1/ 2; Р{ + 1} = 0,84
2.28.K11 = 0,25; K12 = K21 = –0,125; K22 = 0,1875
|
y |
(– ,0] |
(0, 1] |
(1, + ) |
x |
|
|||
|
|
|
|
|
(– , 0] |
|
0 |
0 |
0 |
(0, 1] |
|
0 |
0 |
0,5 |
(1, + ) |
|
0 |
0,25 |
1 |
2.29. a)
|
|
1 |
2 |
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
1/9 |
1/9 |
1/9 |
|
|
|
|
|
2 |
|
0 |
1/6 |
1/6 |
|
|
|
|
|
3 |
|
0 |
0 |
1/3 |
|
|
|
|
|
б) Зависимы в) ( , ) = 0,594
г)
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
P{ = xi = 2} |
2/5 |
3/5 |
0 |
M( | = 2) = 8/5
2.30.с = 0,1; ( , ) = 0,36; зависимы
2.31.c = 1,5; f (x) = {(3x2 + 1)/2, 0 x 1;
0 в остальных случаях}, f (y) {(3y2 + 1)/2, 0 y 1; 0 в остальных случаях}, M = M = 5/8,
= 0,276; ( , ) –0,205; зависимы
2.32.c = 4, ( , ) = 0, независимы
103
2.33.c = 24, ( , ) = – 2/3, зависимы
2.34.( , ) =0, независимы
3.1. M = 1,8; D = 1,44; один или два прибора; P{ M } 0,5638
3.2. Закон Пуассона с параметром = 2; M = D = 2
3.3. D = D
3.4. M = D = 5,9994
3.5. M = D = 2
3.6. M = 10/3; D =70/9; xm = 1
3.7. M = 5/3; D =10/9; Р{ 3} = 0,936
|
1 |
2 |
3 |
... |
n |
… |
|
|
|
|
|
|
|
pi |
0,6 |
0,24 |
0,096 |
… |
0,4n – 1 0,6 |
… |
3.8. 1000 изделий; 0,0498.
4.1.F (x) = {0, x 0; х/10, 0 < x 10; 1, x > 10}, M = 5, D = 25/3, P{ > 5} = 1/2
4.2.1/3
4.3.а) 1/ 3, б) 1 – 1/ 3
4.4.Одинаковые
4.5.е –1; 0,632
4.6.e–1/2 – e –3/2; e –2;
4.7.(0, 20)
4.8.0,898
4.9.0,8664
4.10.M =15,39; = 3,26
4.11.95%; 4,299
4.12.99,95%
4.13.М( 2) 1,1842; Р{ 2 > 2} 0,8328
4.14.D(2 – ) = 16/3; М( 2 – 2 ) = 11/3
4.15.M( + – ) = 1; D( – ) = 13/3
104
5.1. а) f (x,y) |
1/ 3 |
при x [ 1, 2], y [1, 2], |
|||
|
|
в остальных случаях; |
|||
|
|
0 |
|||
0, |
|
x ( , 1] или y ( ; 1], |
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
(x 1)(y 1), x [ 1, 2],y [1, 2], |
||||
3 |
|||||
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
F (x) |
|
(x 1), |
x [ 1, 2],y (2, ), |
||
3 |
|||||
|
|
|
x (2, ),y [1, 2], |
||
y 1, |
|
||||
1, |
|
x (2, ),y (2, ) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) компоненты и независимы |
|||||
3 / 4 |
|
0 |
|
|
|
в) |
|
|
|
|
|
0 1/12 |
|
|
|||
г) p1 = 1/6; p2 = /12 |
|
|||
|
f |
1/ 4 |
при x [ 1, 1], y [0, 2], |
P(A) = ¼ |
5.2. |
(x,y) |
в остальных случаях; |
||
|
|
0 |
|
|
5.3.( , ) = –0,5; зависимы
5.4.( , ) = –0,5; зависимы
5.5.( , ) = –0,3; зависимы
5.6.( , ) = 0; зависимы
105
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1982. 256 с.
2.Вентцель Е.С. Теория вероятностей. 8-е изд. М.: Высшая школа, 2002. 575 с.
3.Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. М.: Наука, 1982. 256 с.
4.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. 9-е изд., стер. М.: Высшая школа, 2003. 479 с.
5.Сборник задач по математике для втузов: в 4 ч. Ч. 4: Учебное пособие для втузов / под общ. ред. А.В. Ефимова и А.С. Поспелова. 3-е изд. перераб. и доп. М. Изд-во физ.-мат. лит., 2003. 432 с.
6.Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных процессов / под общ. ред.
А.А.Свешникова. 2-е изд. М.: Наука, 1970. 655 с.
7.Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории вероятностей: учеб. пособие для студ. втузов. 5-е изд. М.: Изд. центр Академия, 2003. 448 с.
8.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. 9-е изд., стер. М.: Высшая школа, 2004. 404 с.
9.Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М.: Наука, 1983. 416 с.
10.Сабурова Т.Н., Шишкова Е.В. Теория вероятностей. Вероятностное пространство. Условная вероятность. Независимость событий: учеб. пособие. М.: МИСиС, 2011. 68 с.
11.Ширяев А.Н. Вероятность. В 2-х кн. 4-е изд., перераб. и доп. М.: МЦНМО, 2007. Кн. 1. 552 с.
12.Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения: в 2 т.: пер. с англ. M.: Мир, 1984. Т 1. 528 с., Т 2. 738 с.
106
ПРИЛОЖЕНИЕ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
Значения функции Лапласа |
|
|
(x) |
1 |
|
|
e 2 dt |
|
|||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
Сотые доли х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
|
4 |
5 |
|
|
6 |
|
|
7 |
|
8 |
9 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0,0 |
0,0000 |
0,0040 |
0,0080 |
0,0112 |
|
0,0160 |
0,0199 |
|
|
0,0239 |
|
0,0279 |
0,0319 |
0,0359 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0,1 |
0,0398 |
0,0438 |
0,0478 |
0,0517 |
|
0,0557 |
0,0596 |
|
|
0,0636 |
|
0,0675 |
0,0714 |
0,0754 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0,2 |
0,0793 |
0,0832 |
0,0871 |
0,0910 |
|
0,0948 |
0,0987 |
|
|
0,1026 |
|
0,1064 |
0,1103 |
0,1141 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0,3 |
0,1179 |
0,1217 |
0,1255 |
0,1293 |
|
0,1331 |
0,1368 |
|
|
0,1406 |
|
0,1443 |
0,1480 |
0,1517 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0,4 |
0,1554 |
0,1591 |
0,1628 |
0,1664 |
|
0,1700 |
0,1736 |
|
|
0,1772 |
|
0,1808 |
0,1844 |
0,1879 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0,5 |
0,1915 |
0,1950 |
0,1985 |
0,2019 |
|
0,2054 |
0,2088 |
|
|
0,2123 |
|
0,2157 |
0,2190 |
0,2224 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0,6 |
0,2258 |
0,2291 |
0,2324 |
0,2357 |
|
0,2389 |
0,2422 |
|
|
0,2454 |
|
0,2486 |
0,2518 |
0,2549 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0,7 |
0,2580 |
0,2612 |
0,2642 |
0,2673 |
|
0,2704 |
0,2734 |
|
|
0,2764 |
|
0,2794 |
0,2823 |
0,2852 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0,8 |
0,2881 |
0,2910 |
0,2939 |
0,2967 |
|
0,2996 |
0,3023 |
|
|
0,3051 |
|
0,3079 |
0,3106 |
0,3133 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0,9 |
0,3159 |
0,3186 |
0,3212 |
0,3238 |
|
0,3264 |
0,3289 |
|
|
0,3315 |
|
0,3340 |
0,3365 |
0,3389 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1,0 |
0,3413 |
0,3438 |
0,3461 |
0,3485 |
|
0,3508 |
0,3531 |
|
|
0,3553 |
|
0,3577 |
0,3599 |
0,3621 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1,1 |
0,3643 |
0,3665 |
0,3686 |
0,3708 |
|
0,3729 |
0,3749 |
|
|
0,3770 |
|
0,3790 |
0,3810 |
0,3830 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1,2 |
0,3849 |
0,3869 |
0,3888 |
0,3907 |
|
0,3925 |
0,3944 |
|
|
0,3962 |
|
0,3980 |
0,3997 |
0,4015 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1,3 |
0,4032 |
0,4049 |
0,4066 |
0,4082 |
|
0,4099 |
0,4115 |
|
|
0,4131 |
|
0,4147 |
0,4162 |
0,4177 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1,4 |
0,4192 |
0,4207 |
0,4222 |
0,4236 |
|
0,4251 |
0,4265 |
|
|
0,4279 |
|
0,4292 |
0,4306 |
0,4319 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1,5 |
0,4332 |
0,4345 |
0,4357 |
0,4370 |
|
0,4382 |
0,4394 |
|
|
0,4406 |
|
0,4418 |
0,4430 |
0,4441 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1,6 |
0,4452 |
0,4463 |
0,4474 |
0,4485 |
|
0,4495 |
0,4505 |
|
|
0,4515 |
|
0,4525 |
0,4535 |
0,4545 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1,7 |
0,4554 |
0,4564 |
0,4573 |
0,4582 |
|
0,4591 |
0,4599 |
|
|
0,4608 |
|
0,4616 |
0,4625 |
0,4633 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1,8 |
0,4641 |
0,4649 |
0,4656 |
0,4664 |
|
0,4671 |
0,4678 |
|
|
0,4686 |
|
0,4693 |
0,4700 |
0,4706 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1,9 |
0,4713 |
0,4719 |
0,4726 |
0,4732 |
|
0,4738 |
0,4744 |
|
|
0,4750 |
|
0,4756 |
0,4762 |
0,4767 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
Десятые доли х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
|
4 |
5 |
|
|
6 |
|
|
7 |
|
8 |
9 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2, |
0,4773 |
0,4821 |
0,4861 |
0,4893 |
|
0,4918 |
0,4938 |
|
|
0,4953 |
|
0,4965 |
0,4974 |
0,4961 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3, |
0,4987 |
0,4990 |
0,4993 |
0,4995 |
|
0,4997 |
0,4998 |
|
|
0,4998 |
|
0,4999 |
0,4999 |
0,5000 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4, |
0,499968 |
|
|
|
|
|
0,499997 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5, |
0,4999997 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Указание. При x > 5 0 (x) 0,5. Функция 0 (x) — нечет- |
|||||||||||||||||
ная, т.е. 0 ( x) 0 (x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
107
Учебное издание
Шишкова Елена Владимировна
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Часть 2. Случайные величины и предельные теоремы теории вероятностей
Учебное пособие
Научный редактор Т.А. Кравченко Технический редактор Т.В. Суханова Верстальщик Ю.Б. Пашкова
Подписано в печать 06.02.23 |
Уч.-изд. л. 6,75 |
Формат 60 90 1/16
Университет науки и технологий МИСИС, 119049, Москва, Ленинский пр-кт, д. 4, стр. 1
Издательский Дом НИТУ «МИСиС», 119049, Москва, Ленинский пр-кт, д. 2А Тел. 8 (495) 638-44-06
Отпечатано в типографии Издательского Дома НИТУ «МИСиС»,
119049, Москва, Ленинский пр-кт, д. 4А Тел. 8 (495) 638-44-16, 8 (495) 638-44-43