Страхование. Учебное пособие-1

договора страхования, заранее уменьшая их финансовые обязательства. Поэтому при расчетах тарифов по страхованию жизни надо знать, сколько средств следует внести в настоящий момент, чтобы к оговоренному сроку образовалась запланированная сумма. Например, какой взнос необходимо сегодня заплатить страховщику, чтобы при норме доходности 7 % по истечении 5 лет получить 100 000 руб.

Определение неизвестной величины осуществляется с помощью математических расчетов. Для их упрощения вводится специальный показатель, называемый дисконтирующим множителем, или дисконтом. Этот показатель представляет собой современную стоимость будущей выплаты в 1 руб. и позволяет определить, сколько нужно внести средств страхователям сегодня, чтобы через несколько лет с учетом оговоренной нормы доходности страховщик имел необходимый для выплат фонд денежных средств.

В нашем примере, чтобы через 5 лет получить 100 000 руб., страхователь сегодня должен внести страховые взносы в размере 71 299 руб. Эта величина и есть современная стоимость 100 000 руб. При норме доходности 5 % потребуется заплатить 78 353 руб., а при 3 % — 86 261 руб.

Дисконтирующие множители рассчитываются заранее и сводятся в специальные таблицы, которые используются при расчете страховых тарифов (см. табл. 8).

31

Для исчисления суммы, которую нужно внести сегодня в расчете на получение через известное число лет при установленной норме доходности запланированной величины, надо последнюю умножить на дисконт. В результате будет определена современная стоимость будущей выплаты. Так, для того чтобы через 10 лет получить 100 000 руб. при норме доходности 7 %, надо внести в настоящее время 50 835

руб. (100 000 х 0,50835).

Таким образом, нетто-ставки по страхованию жизни исчисляются исходя из современной стоимости будущих выплат, т. е. при определении тарифов учитывают, что поступившие страховые взносы за определенный период времени увеличатся на величину дохода, который страховщик получит от инвестирования этих взносов.

Общая величина дохода зависит от величины вложенного капитала, процентной ставки и времени, в течение которого он находится в обороте, или числа оборотов капитала за определенное время. Этот доход есть страховой фонд t-го года. Он рассчитывается по формуле:

Кt = K(1 + n) × t,

где Кt — сумма страхового фонда, необходимая для выплаты страхового обеспечения к концу t-го года, руб.;

К — первоначальная сумма страхового фонда, т.е. с позиции исходного периода, когда делается первоначальный взнос, руб.;

n — процентная ставка, в долях единицы;

32

t — фактор времени (число лет или число оборотов капитала).

С учетом дохода от вложенного капитала тарифные ставки страхования жизни заранее занижаются на сумму этого дохода.

Сумма первоначального взноса определяется по форму-

ле:

Для упрощения расчетов вводится показатель V, называемый дисконтирующим множителем, который приводится в специальных таблицах (см. табл. 8). Он рассчитывается по формуле:

1

V = n 1 .

Расчет тарифных ставок по страхованию на дожитие

Тарифные ставки по страхованию на дожитие бывают единовременные и годовые.

Единовременная ставка предполагает уплату взноса в начале срока страхования. При такой форме уплаты взноса страхователь сразу при заключении договора погашает все свои обязательства перед страховщиком.

Годовая ставка предполагает постепенное погашение финансовых обязательств страхователя перед страховщиком. Взносы уплачиваются раз в год.

Вначале рассчитывают единовременную ставку. Единовременную ставку по страхованию на дожитие для лица в возрасте х лет при сроке страхования n лет в расчете на 100 руб. страховой суммы (nEx) определяется

33

lх nVn

nEx= lx 100 ,

где lx+n — число лиц, доживающих до возраста х + n (берется из таблицы смертности);

lx — число лиц, подлежащих страхованию (достигших возраста х лет из 100000 родившихся);

Vn — дисконтный множитель, который определяется по формуле

где i — норма доходности инвестиций, n — срок страхования.

Пример 6. Расчет тарифной ставки на дожитие по договору страхования человека в возрасте 50 лет на срок 10 лет со страховой суммы 100 руб. и доле нагрузки в структуре тарифа 30 %. Процентная ставка = 0,40.

Расчет производится в следующей последовательности.

1.Определяем количество выплат страховых сумм через 10 лет. Согласно таблице смертности, до 60 лет доживают 77 018 человек (см. табл. 6). Значит, выплат будет 77 018.

2.Исчислим страховой фонд через 10 лет. Страховая сумма каждого договора — 100 руб. Значит, страховой фонд должен составлять 77 018*100 = 7 701 800 руб.

3.Первоначальную сумму страхового фонда найдем с помощью дисконтирующего множителя V10 = 0,0346:

7 701 800 ∙ 0,0346 = 266482,3 = 266482 руб.

или по формуле:

К = (177018000,4)10 = 266482 руб.

34

Следовательно, чтобы через 10 лет иметь средства для выплаты страховой суммы на дожитие, страховщик в начале страхования должен иметь страховой фонд в размере 266 482 руб. Эту сумму надо единовременно собрать со страхователей. Разница между величиной сбора 266 482 руб. и суммой выплат 7 701 800 руб. будет покрыта за счет 40% дохода на собранные средства при использовании их в качестве вложенного капитала.

Взнос каждого страхователя, т.е. на число человек, доживающих по таблице смертности до начала страхования в 50 лет (87 064 человек), следующий:

266482/87064 = 3 руб. 06 коп.

Тарифную ставку рассчитываем по формуле:

Т = 3,06/(100–30) ∙ 100 = 4 руб. 37 коп.

Таким образом, единовременная тарифная ставка по страхованию на дожитие для лица в возрасте 50 лет сроком на 10 лет составляет 4 руб. 37 коп. на 100 руб. страховой суммы.

Вычислим годовую тарифную ставку на дожитие. Рас-

чет производится по формуле:

Тr = Tab ,

где Тr– годовая тарифная ставка, руб.;

Tb — единовременная тарифная ставка, руб.; а — коэффициент рассрочки.

Коэффициент рассрочки исчисляется с использованием таблиц смертности и дисконтирующих множителей и приводится в специальных таблицах.

Например, при возрасте 50 лет и сроке уплаты 10 лет коэффициент рассрочки равен 8,06. Тогда: Тr = 4,37/8,06 = 0,54 руб.

Годовая тарифная ставка на дожитие составляет 54 коп. на 100 руб. страховой суммы.

35

Расчет тарифных ставок по страхованию на случай смерти

Единовременная нетто-ставка (nAx) на случай смерти на определенный срок вычисляется

где dx,dx +1, dx + n–1 — число лиц, умирающих при переходе от х лет к возрасту (х+1) по годам за срок страхования.

lx — число лиц, подлежащих страхованию.

При смешанном страховании на дожитие и на случай смерти рассчитывается совокупная нетто-ставка.

Тн = nEx + nAx.

Вычисление тарифных ставок при страховании жизни через коммутационные числа

На практике приходится исчислять тарифные ставки для различных возрастов застрахованных лиц и сроков страхования, что очень трудно. Для упрощения актуарных расчетов применяются специальные технические показатели — коммутационные числа.

Страховой взнос для возраста Х:

Dx = LxXx;

Страховые выплаты для возраста Х:

Cx = Dx+Vx+1,

где Х — возраст;

V — дисконтирующий множитель;

L — число лиц, доживающих до возраста х лет.

Существуют специальные таблицы, где приводятся коммутационные числа при разных процентных ставках (см. табл. 9).

36

Тарифные ставки рассчитываются по следующим формулам, учитывающим коммутационные числа.

1. Для расчета единовременной нетто-ставки на случай смерти при страховании на определенный срок используется формула:

nТнх = Mx DMx n × 100,

x

где n — срок страхования, лет;

x — возраст страхователя, лет;

Мх — выплаты для совокупности страхователей; Tн — нетто-ставка.

Пример 7. Возраст страхователя — 40 лет. Срок страхования — 5 лет. Из таблицы находим, что коммутационные числа Мх = 3700; Мх+1= 3197, Dx= 12569. Определить единовременную нетто-ставку на случай смерти. С учетом вышеприведенной формулы имеем:

Или 3,99 руб. на 100 руб. страховой суммы.

2. Для расчета единовременной нетто-ставки для пожизненного страхования на случай смерти применяется формула:

Тнх= Mx 100

Dx

Пример 8. Возраст страхователя — 40 лет. Из табл. 9 находим коммутационные числа: Мх = 3699,52; Dx= 12569. Определить единовременную нетто-ставку для пожизненного страхования на случай смерти. C учетом приведенной формулы имеем:

38

страховой суммы.

3. Единовременная нетто-ставка на дожитие рассчитывается по формуле:

nTн = Dx n 100 .

х Dx

Пример 9. Возраст страхователя — 40 год. Срок страхования — 10 лет. Из таблицы находим коммутационные числа: D40= 12569,34; D50= 6872,61. Рассчитать единовременную нетто-ставку на дожитие.

С учетом формулы имеем:

страховой суммы.

Пример 10. Для лица в возрасте 45 лет определите вероятность: 1) прожить еще один год; 2) умереть в течение предстоящего года жизни; 3) прожить еще два года: Решение. При расчете использована табл. 9 коммутационных чисел по данным переписи населения 1. Вероятность прожить

2. Вероятность умереть в течение предстоящего года

39

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задача 1. Для лица в возрасте 43 лет рассчитайте: а) вероятность прожить еще год;

б) вероятность умереть в течение предстоящего года жизни;

в) вероятность прожить еще три года; г) вероятность умереть в течение предстоящих трех лет;

д) вероятность умереть на четвертом году жизни в возрасте 47 лет.

Задача 2. Рассчитайте единовременную брутто-премию для страхователя в возрасте 47 лет, застрахованному по смешанному страхованию жизни сроком на три года. Норма доходности — 8 %. Страховая сумма 30 тыс. руб. Доля нагрузки в брутто-ставке — 10 %.

Задача 3. Страхователь в возрасте 44 лет заключил договор на случай смерти сроком на пять лет. Норма доходности — 8 %, страховая сумма — 20 тыс. руб., доля нагруз-

ки — 9 %.

Определить через коммутационные числа:

1)единовременную нетто-ставку, брутто-ставку;

2)годовую нетто-ставку, брутто-ставку.

Задача 4. Страхователь в возрасте 42 лет заключил договор страхования на случай смерти сроком на два года. Норма доходности — 8 %.

Определить:

1)единовременную нетто-ставку на случай смерти используя данные таблицы смертности, а также через коммутационные числа;

2)годовую нетто-ставку;

40