Статистика. Часть I. Теория статистики. Учебно-методическое пособие

в) наименее часто встречающееся значение заработной платы в данном ряду распределения равно 12 тыс. руб.;

г) 50 % рабочих имеет заработную плату 12 тыс. руб. и выше; д) 50 % рабочихимеютзаработнуюплатунеболее12 тыс. руб.

а) 3–5;

б) 11 и более;

в) 7–9; г) 5–7; д) 9–11.

30. По данным обследования домашних хозяйств, средний размер покупки товара А в группе семей со средними доходами равняется 28 единиц, а модальный – 34 единицы. Распределение обследованной совокупности семей по размеру покупки товара А:

а) с левосторонней асимметрией; б) плосковершинное; в) с правосторонней асимметрией; г) симметричное.

Тема 5

ВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД В СТАТИСТИКЕ

5.1. Краткие теоретические сведения

Выборочным называется такое наблюдение, при котором характеристика всей совокупности единиц дается по некоторой их части, отобранной в случайном порядке.

Вся изучаемая совокупность единиц называется генеральной (ее численность обозначается N) и все ее обобщающие показатели – генеральными и обозначаются:

41

Х – генеральная средняя, т. е. среднее значение признака в генеральной совокупности;

W – генеральная доля, т. е. доля единиц, обладающих изучаемым значением признака в генеральной совокупности;

σген2 . – генеральная дисперсия (дисперсия признака в генеральной

совокупности).

Часть единиц совокупности, которая подвергается выборочному обследованию, называется выборочной совокупностью (ее численность обозначается n) и все ее обобщающие показатели – выборочными и обозначаются:

~x – выборочная средняя (среднее значение признака в выборочной совокупности);

– выборочная доля, которая определяется отношением числа единиц, обладающих изучаемым признаком, к общему числу единиц выборочной совокупности. Например, из 100 образцов изделий, подвергшихся выборочному обследованию, 20 изделий оказались нестандартными, таким

образом, выборочная доля составит: = 20/100 = 0,2;2 – выборочная дисперсия изучаемого признака.

Для характеристики выборочной совокупности используют два основ-

ных вида обобщающих показателей: среднее значение количественного признака (средняя заработная плата, средний стаж работы, средний про-

цент влажности муки и т. д.) и относительную величину альтернативного признака (долю бракованных изделий во всей продукции; долю предприятий рентабельных; долю отличников в общем числе студентов; долю мужчин или женщин в общей численности населения; долю трудоспособного населения в общей численности населения в трудоспособном возрасте и т. п.).

Возможные расхождения между характеристиками выборочной и генеральной совокупности измеряются средней ошибкой выборки, она обозначается греческой буквой μ (мю). В табл. 5.1 приведены формулы расчета средней ошибки выборки для разных способов отбора.

Таблица 5.1

Формулы расчета средней ошибки выборки ( )

42

Окончание табл. 5.1

где 2 – дисперсия признака в выборочной совокупности;– доля признака в выборочной совокупности;

(1 – ) – дисперсия альтернативного признака;

n – число единиц в выборочной совокупности; N – число серий в генеральной совокупности;

___

i2 – средняя из выборочных дисперсий типических групп;

____________

i (1 i ) – средняяизвыборочныхдисперсийтипическихгруппдлядоли;

R – общее число серий в генеральной совокупности;

r – число серий, отобранных в выборочную совокупность;

2x – межсерийная (межгрупповая) дисперсия средних;

2 – межсерийная (межгрупповая) дисперсия доли.

43

Для малой выборки средняя (стандартная) ошибка определяется по формуле

С определенной степенью вероятности можно утверждать, что отклонения выборочных характеристик от генеральных не превысят некоторой величины, которая называется предельной ошибкой выборки. Пре-

дельная ошибка выборки (она обозначается греческой буквой (дельта)) связана со средней ошибкой следующим равенством: t μ , где t –

коэффициент кратности ошибки (коэффициент доверия), зависящий от вероятности, с которой можно гарантировать, что предельная ошибка не превысит t-кратную среднюю ошибку.

Величина t дается в таблицах значений интеграла вероятностей (удвоенная нормированная функция Лапласа).

Наиболее часто используются сочетания:

Если численность выборочной совокупности меньше 30 единиц (малая выборка), то расхождение между выборочной средней и генеральной средней имеет особый закон распределения, согласно которому вероятность ошибки выборки зависит как от величины t, так и от объема выборки – n. Наиболее часто используемые в экономике уровни вероятности в малых выборках в зависимости от величины выборки и коэффициента доверия:

Формулы для определения необходимой численности выборки (п) получают из формул ошибок выборки. Для этого в формулах ошибок выборки обе части равенства возводят в квадрат, освобождаясь от корня, и выводят формулу необходимой численности выборки.

44

Получаемую численность выборки рекомендуется округлять в большую сторону до целого значения.

5.2. Пример решения типовой задачи

Из партии электроламп взята 20%-ная случайная бесповторная выборка для определения среднего веса спирали. Результаты выборки представлены в табл. 5.3.

Определите с вероятностью 0,95 (t = 1,96) доверительные пределы, в которых лежит средний вес спирали для всей партии электроламп.

45

Решение:

1.Необходимо преобразовать интервальный ряд распределения

вдискретный путем нахождения середины интервала х :

38 40 39 и т. д. 2

2. Доверительный интервал для генеральной средней с вероятностью р:

x x x x x .

Для его расчета необходимо:

а) рассчитатьсреднийвесспираливвыборочнойсовокупности ламп:

б) выбрать формулу расчета предельной ошибки выборки и вычислить недостающие показатели:

N = 100/0,2 = 500 шт.

г) найти доверительный интервал для генеральной средней:

42,0 0,3 Х 42,0 + 0,3;

41,7 мг Х 42,3мг

Вывод: c заданной вероятностью 0,95 по итогам проведенной случайной бесповторной выборки можно утверждать, что средний вес спирали во всей партии электроламп будет находиться в пределах 41,7–42,3 мг.

5.3. Задания на практическое занятие

Задача 1

На заводе электроламп из партии продукции в количестве 1600 шт. ламп взято на выборку 160 шт. (случайный, бесповторный отбор), из которых 40 шт. оказались бракованными.

Определите с вероятностью 0,997 пределы, в которых будет находиться процент брака для всей партии продукции.

46

Задача 2

Из общего количества рабочих предприятия была проведена 30%-ная случайная бесповторная выборка с целью определения затрат времени на проездкместуработы.

Результатывыборки следующие:

Определите:

1.Средние затраты времени на проезд к месту работы у рабочих данного предприятия, гарантируя результат с вероятностью 0,997.

2.Долю рабочих предприятия, у которых затраты времени на проезд

кместу работы составляют 60 мин. и более, гарантируя результат с вероятно-

стью0,954.

Сделайтевыводы.

Указание. Для вычисления средних затрат времени на проезд

кместу работы в задаче 2 можно воспользоваться встроенной функцией MS Excel СУММПРОИЗВ, один аргумент которой должен представлять массив сгруппированного числа рабочих, второй аргумент – массив середин соответствующих временных интервалов.

Задача 3

Из совокупности 10000 деталей отобрано механическим отбором 1000 деталей, их которых 20 единиц оказались нестандартными.

С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых находится доля нестандартных изделий. Сделайте вывод.

Задача 4

На заводе работают 20 тыс. работников. Для определения их средней выработки необходимо провести типическую выборку рабочих по квалификации методом механического отбора.

Какое число рабочих необходимо отобрать, чтобы с вероятностью 0,997 ошибка выборки не превышала 6 единиц изделий, если на основе предыдущих обследований известно, что дисперсия типической выборки равна 625?

Задача 5

Проведено выборочное 5%-ное обследование партии товара. При механическом способе отбора в выборку взято 100 единиц, из которых 90 оказались стандартными. Средний вес одного изделия в выборке составил

4,2 кг, а среднеквадратическое отклонение 0,2 кг.

47

Определите:

1.С вероятностью 0,954 пределы, в которых находится генераль-

ная доля.

2.С вероятностью 0,997 пределы, в которых находится средний вес одного изделия во всех партиях товара.

Задача 6

В городе А имеется 10000 семей. В порядке механической выборки предполагается определить долю семей с числом человек 3 и более. Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала 0,02, если на основе предыдущих обследований известно, что дисперсия равна 0,2?

5.4.Тестовые задания

1.Отклонение выборочных характеристик от соответствующих характеристик генеральной совокупности, возникающее вследствие нарушения принципа случайности отбора, называется:

а) систематической ошибкой репрезентативности; б) случайной ошибкой репрезентативности.

2.Отклонение выборочных характеристик от соответствующих характеристик генеральной совокупности, возникающее вследствие несплошного характера наблюдения, называется:

а) систематической ошибкой репрезентативности; б) случайной ошибкой репрезентативности.

3.Чтобы уменьшить ошибку выборки, рассчитанную в условиях механического отбора, можно:

а) уменьшить численность выборочной совокупности; б) увеличить численность выборочной совокупности; в) применить серийный отбор; г) применить типический отбор.

4.Какова зависимость между колеблемостью признака в генеральной совокупности и величиной средней ошибки выборки:

а) чем больше колеблемость признака, тем больше ошибка; б) чем больше колеблемость признака, тем меньше ошибка; в) зависимость выявить нельзя?

5.Вформулепредельнойошибкивыборки t μ верноутверждение:

а) чем больше коэффициент доверия t, тем с большей вероятностью судят о величине предельной ошибки выборки;

б) чем больше коэффициент доверия t, тем с меньшей вероятностью судят о величине предельной ошибки выборки.

48

6.Суть «бесповторного» метода отбора единиц в выборочную совокупность заключается в следующем:

а) единицы исследуемой совокупности попадают в выборку только один раз, поскольку проводится единовременное обследование генеральной совокупности;

б) единицы исследуемой совокупности попадают в выборку только один раз, отобранная единица не возвращается в генеральную совокупность.

7.«Малой» называется выборка, которая:

а) осуществляется из однородной совокупности; б) имеет численность не более 30 единиц.

8.Выборочному наблюдению присущи: а) случайные ошибки регистрации;

б) систематические ошибки регистрации; в) систематические ошибки репрезентативности; г) случайные ошибки репрезентативности.

9.Методами распространения выборочных данных на генеральную совокупность являются:

а) отсечение; б) взвешивание;

в) коэффициенты; г) прямой пересчет.

10.Для расчета средней ошибки выборки используют формулу

μ nσ 1 :

а) при наличии высокого уровня вариации признака; б) при изучении качественных характеристик явлений; в) при малой выборке; г) при уточнении данных сплошного наблюдения.

11.Как изменится средняя ошибка случайной повторной выборки, если ее объем увеличить в 4 раза:

а) уменьшится в 2 раза; б) увеличится в 4 раза; в) уменьшится в 4 раза; г) не изменится?

12.Какая категория шире:

а) несплошное наблюдение; б) выборочное наблюдение?

13. Равнаявероятностьпопаданияединицввыборочнуюсовокупность: а) основной принцип собственно-случайной выборки;

49

б) основной принцип серийной выборки при случайном отборе серий;

в) основной принцип любой случайной выборки.

14.Междуошибкамивыборкииобъемомвыборочнойсовокупности: а) существует прямая зависимость; б) имеет место обратная зависимость;

в) зависимость практически отсутствует.

15.Какиеединицыобследуютсявнутригрупппритипическомотборе: а) все единицы; б) отобранные собственно-случайным способом;

в) отобранные собственно-случайным или механическим способом?

16.Какие единицы обследуются внутри каждой серии при серийном отборе:

а) все единицы; б) отобранные собственно-случайным способом;

в) отобранные собственно-случайным или механическим способом?

17.Для каких способов формирования выборочной совокупности необходимый объем выборки определяется по одним и тем же формулам:

а) собственно-случайного и механического; б) собственно-случайного и типического; в) собственно-случайного и серийного; г) типического и механического?

18.Для определения скорости расчетов с кредиторами в коммерческом банке была проведена случайная выборка 100 платежных документов, по которымопределилисреднийсрокперечисления, равный22 дням, среднее квадратическое отклонение равно 6 дням. Определите с вероятностью 0,954 предельнуюошибкусреднейпродолжительностирасчётов(вднях):

а) 1,2; б) 23,2; в) 20,8; г) 3,7; д) 0,6.

19.Репрезентативность результатов выборочного наблюдения зависит от:

а) вариации признака; б) объема выборки;

в) определения границ объекта исследования; г) времени проведения наблюдения; д) продолжительности проведения наблюдения.

50