Статистика. Часть I. Теория статистики. Учебно-методическое пособие

где Мо – мода;

xмо – нижняя граница модального интервала; i – величина интервала;

fмо – частота модального интервала;

fмо–1 – частота интервала, предшествующая модальному; fмо+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Ме хме i 2f f Sме 1 , ме

где Ме – медиана,

xме – нижняя граница медианного интервала, i – величина интервала,

Σf – сумма частот ряда,

Sме–1 – сумманакопленныхчастот, предшествующихмедианномуинтервалу. fме – частота медианного интервала.

Вариацией называется изменчивость значений признака у единиц однородной совокупности, которые обусловлены влиянием действия совокупности различных факторов.

Для оценки вариации используются абсолютные и относительные показатели вариации. Показатели вариации рассчитываются для статистических совокупностей, упорядоченных путем группировок, классификаций, построения рядов распределений.

Абсолютные показатели вариации– это размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратичное отклонение:

1. Размах вариации (R):

R = xmax – xmin.

2. Среднее линейное отклонение ( L ):

L (х x) f .f

3. Среднее квадратическое отклонение ( ):

4. Средний квадрат отклонений (дисперсия) ( 2):

2 (x x)2 f .f

Наряду с признаками, которые присущи всем единицам изучаемого явления в количественном выражении (например, заработная плата рабочих),

31

статистика изучает и такие признаки, которыми одни единицы обладают, а другие – нет (например, высшее образование, наличие ученой степени). Такие признаки называются альтернативными, или альтернативно варьирующими.

Дисперсия альтернативного признака равна произведению доли единиц q, обладающих данным признаком, на долю единиц р, не обладающих им (где p + q = 1):

2 q p .

Соответственно среднее квадратичное отклонение равно

Относительные показатели вариации, в отличие от абсолютных,

характеризуют колеблемость изучаемого признака в виде отношения (в процентах) абсолютного показателя вариации к средней арифметической.

Используя абсолютные показатели, мы можем получить следующие относительные показатели вариации:

1. Коэффициент осцилляции:

VR Rx 100% . 2. Относительное линейное отклонение:

VL Lx 100% . 3. Коэффициент вариации:

V x 100% .

4.2.Пример решения типовой задачи

Втабл. 4.2 представлен результат распределения рабочих по величине среднемесячной зарплаты:

32

Определите: средний ежемесячный заработок рабочих предприятия обычным способом (по степенной средней) и «способом моментов». Рассчитайте моду.

и т. д., если границы интервала закрыты.

Если открыта начальная граница, то середину интервала определяют так:

1300 – i = 1300 – 200 = 1100 (так как величина следующего интервала равна 200), середину последнего открытого интервала определяют: 1700 + i = 1700 + 200 = 1900. В ряду распределения интервалы равновеликие, и величина предыдущего интервала также равна 200. Таким образом, получаем середины интервалов (графа 3 табл. 4.3).

2. Для расчета средней величины обычным способом нужно воспользоваться формулой средней арифметической взвешенной:

3. При расчете средней «способом моментов» следует определить произвольное число (А), на которое надо уменьшить все варианты (т. е. найти х1 = х – А). Обычно в качестве произвольного числа А выбирается варианта, которой соответствует наибольшая частота. В нашем примере

А= 1500, так как ей соответствует наибольшая частота (120).

Вкачестве постоянного числа, на которое следует делить все варианты, обычно выбирают величину интервала i (для рядов с равновеликими интервалами). В нашем примере i = 200. Следовательно,

табл. 4.3.

4. Измененную варианту х1 взвешивают на частоты fi, полученные произведения суммируют и делят на сумму частот. В результате получаем новую среднюю арифметическую, уменьшенную на число А и в i раз, которую называют моментом первого порядка и обозначают т1.

В табл. 4.3 представим результаты всех вычислений

33

Таблица 4.3

Вычисление средней заработной платы рабочих предприятия по данным вариационного ряда обычным способом и «способом моментов»

5.Чтобы получить действительную среднюю, надо произвести обратные действия: новую среднюю увеличить в i число раз и прибавить число А, что соответствует формуле

хm1 i A 0,2 200 1500 1540 руб.

6.В равноинтервальном ряду распределения мода вычисляется

вследующей последовательности:

определяется модальный интервал по наибольшей частоте. Поданнымтабл. 4.2, максимальноезначениеf равно120 (модальнаячастота), следовательно, модальный интервал включает значения 1400–1600;

Модальным значением средней заработной платы будет 1531 руб. Это значение близко к средней арифметической взвешенной, исчисленной по данной совокупности рабочих ( х 1540 руб. ). Среднее значение и мода могут совпадать только в случае симметричного распределения частот вариационного ряда.

4.3. Задания на практическое занятие

Все представленные задачи решаются в MS Excel.

Задача 1

Распределение рабочих предприятия по стажу работы следующее:

Определите средний стаж работы рабочих предприятия.

34

Задача 2

Производственная деятельность предприятий корпорации за месяц характеризуется следующими данными:

Определите средние затраты на 1 руб. произведенной продукции в целом по корпорации.

Задача 3

Распределение магазинов района по товарообороту в III кв. 20×× г.:

Определите:

1.Обычным способом и способом моментов: средний товарооборот на одно предприятие.

2.Коэффициент вариации.

3.Моду и медиану.

Сделайте вывод.

Задача 4

Потремрайонамгородаимеютсяследующиеданные(наконецгода):

Определите средний размер вклада в Сбербанке в целом по городу.

35

Задача 5

Даны финансовые результаты работы фермерских хозяйств:

Найдите среднюю рентабельность по всем хозяйствам.

Задача 6

Имеются следующие данные о количестве пропущенных академических часов студентами по дисциплине «Статистика»:

Определите среднее количество пропущенных часов в расчете на одного студента.

Указание. Для вычисления нужного значения в задаче 1 можно воспользоваться встроенной функцией MS Excel

=СУММПРОИЗВ(C4:C8;B4:B8)/B9,

где C4:C8 – диапазон, содержащий группировку рабочих в зависимости от их стажа работы;

B4:B8 – диапазон, содержащий середины возрастных интервалов, B9 – ячейка, вкоторойсуммируетсячисловсехрабочих предприятия.

Этой же функцией можно воспользоваться и при нахождении среднего товарооборота на одно предприятие обычным способом в задаче 3.

36

4.4.Тестовые задания

1.В качестве весов для усредняемого признака могут выступать: а) только абсолютные величины; б) только относительные величины;

в) абсолютные и относительные величины; г) только итоговые обобщающие показатели.

2.В каких случаях взвешенные и невзвешенные средние равны между собой:

а) при отсутствии весов; б) при равенстве весов;

в) при отсутствии или равенстве весов?

3.В каких случаях используется средняя гармоническая:

а) когда неизвестен числитель исходного соотношения; б) когда неизвестен знаменатель исходного соотношения?

4.Изменится ли средняя величина, если все веса уменьшить на некоторую постоянную величину:

а) изменится; б) не изменится.

5.Если все варианты значений признака увеличить в А раз, то средняя арифметическая:

а) уменьшится в А раз; б) увеличится в А раз;

в) изменится, но в другой закономерности; г) не изменится.

6.При уменьшении значений частот в средней арифметической взвешенной в 2 раза значение средней величины признака ...:

а) не изменится; б) увеличится в 2 раза;

в) уменьшится в 2 раза; г) увеличится более чем в 2 раза;

д) уменьшится более чем в 2 раза.

7.Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической равна:

а) 0; б) 1; в) –1;

г) может принять любое значение в зависимости от индивидуальных значений признака.

8.Дополните пробел: «Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической ……. квадратов отклонений индивидуальных значений признака от любой другой произвольной величины»:

37

а) меньше суммы; б) больше суммы; в) равно сумме;

г) может принять любое значение в зависимости от индивидуальных значений признака.

9.Значение моды определяется на основе графика: а) полигона распределения; б) функции распределения; в) кумуляты; г) огивы;

д) кривой Лоренца.

10.Одно из свойств дисперсиигласит, что есливсеварианты значений признака уменьшить на одно и то же число, то дисперсия:

а) тоже уменьшится на это число; б) не изменится вообще; в) уменьшится вполовину;

г) уменьшится на квадрат этого числа.

11.Одно из свойств дисперсиигласит, что есливсеварианты значений признака уменьшить в k раз, то дисперсия:

а) уменьшится в той же пропорции; б) не изменится вообще;

в) уменьшится вполовину; г) уменьшится в k2 раз.

12.Дисперсия постоянной величины А равна:

а) 0; б) 1;

в) –1;

г) А2;

д) может принять любое значение.

13.Средний уровень моментного ряда динамики с равными временными промежутками исчисляется по формуле средней ...:

а) арифметической простой; б) арифметической взвешенной; в) гармонической простой; г) гармонической взвешенной; д) хронологической простой;

е) хронологической взвешенной.

14.Средний уровень периодического ряда динамики не определяется по формуле:

а) средней гармонической; б) средней арифметической простой; в) средней хронологической;

г) средней арифметической взвешенной.

38

15.Эмпирическое корреляционное отношение представляет собой корень квадратный из отношения:

а) средней из групповых дисперсий к общей дисперсии; б) межгрупповой дисперсии к общей дисперсии; в) межгрупповойдисперсииксреднейизгрупповыхдисперсий;

г) среднейизгрупповыхдисперсийкмежгрупповойдисперсии.

16.Что характеризует коэффициент вариации:

а) диапазон вариации признака; б) степень вариации признака;

в) тесноту связи между признаками; г) пределы колеблемости признака?

17.Если все значения признака увеличить в 16 раз, то дисперсия: а) не изменится; б) увеличится в 16 раз;

в) увеличится в 256 раз; г) увеличится в 4 раза;

д) предсказать изменение дисперсии нельзя.

18.Чему равна межгрупповая дисперсия, если отсутствуют различия между вариантами внутри групп:

а) единице; б) нулю;

в) колеблется от нуля до единицы; г) общей дисперсии; д) средней из групповых дисперсий?

19.Модальная выработка продукции в цеху составляет 5 шт./ч. Это означает, что:

а) наибольшеечислорабочихцехавыпускаютза1 ч5 шт. изделий; б) наибольшийвыпускизделий1 рабочимвцехусоставляет5 шт./ч; в) среднийвыпускизделий1 рабочимвцехусоставляет5 шт./ч; г) половина рабочих цеха выпускает не больше 5 шт./ч.

20.Для значений признака: 3, 5, 6, 9, 11, 12, 13 мода:

а) отсутствует; б) равна 3; в) равна 13; г) равна 9; д) равна 6.

21. Если говорят об альтернативной изменчивости качественного признака, то средняя будет равна:

а) 0; б) 0,25; в) 1;

г) доле единиц, обладающих данным признаком.

39

22. Межгрупповая дисперсия характеризует:

а) вариацию признака в совокупности под влиянием всех обусловивших ее факторов;

б) вариацию, происходящую под влиянием прочих факторов, кромепризнака-фактора, положенноговоснованиегруппировки; в) вариацию, возникающую под влиянием признака-фактора,

положенного в основание группировки.

23.В каких единицах измерения выражается дисперсия: а) в процентах;

б) в тех же единицах измерения, что ипризнак (в метрах, тоннах, рублях и т. д.);

в) не имеет единиц измерения?

24.Дисперсия альтернативного признака – ...:

г) x2 x 2 .

25.Если модальное значение признака меньше средней величины признака, то это свидетельствует о:

а) правосторонней асимметрии в данном ряду распределения; б) левосторонней асимметрии в данном ряду распределения; в) нормальном законе распределения; г) биномиальном законе распределения.

26.Списочная численность работников фирмы за год составила: на 1 января – 530 человек, на 1 марта – 570 человек, на 1 июня – 520 человек, на 1 сентября – 430 человек, на 1 января следующего года – 550 человек. Как определить среднегодовую численность за год:

а) по арифметической простой; б) по арифметической взвешенной;

в) по средневзвешенной из индивидуальных средних; г) по средней хронологической?

27.Медиана в ряду распределения рабочих по уровню заработной платы равна 12 тыс. руб., следовательно:

а) среднее значение заработной платы в данном ряду распределения равно 12 тыс. руб.;

б) наиболее часто встречающееся значение заработной платы

вданном ряду распределения равно 12 тыс. руб.;

40