Сборник задач по синтезу линейных динамических систем управления. Учебное пособие

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«ТЮМЕНСКИЙ ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

О. Ф. Данилов, А. Н. Паршуков

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО СИНТЕЗУ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Учебное пособие

Тюмень

ТИУ

2020

3

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

В книге приняты следующие обозначения. Переменные записываются строчными буквами (например, a или ξ). Векторы и матрицы выделены полужирным шрифтом, причём матрицы записаны заглавными буквами (например, a – вектор, A – матрица). Множества и области записаны заглавными буквами (например,S). Кроме того, будем обозначать:

4

Наряду с изложенными выше обозначениями производных, традиционно точкой сверху будем обозначать первую производную по времени. Крышечкой ^ сверху будем обозначать оценку xˆ(t) сигнала x(t) полученную, например,

на выходе наблюдателя состояния.

5

ВВЕДЕНИЕ

Учебное пособие посвящено задачам теории линейных систем автоматического управления. Задачи по каждой теме предваряются необходимыми теоретическими материалами и разбором примеров. Сборник в основном ориентирован на учебное пособие [1].

Вглаве 1 рассматриваются способы представления линейных непрерывных систем управления (линейное дифференциальное уравнение, пространство состояний, матричная передаточная функция). Приведены примеры составления математических моделей для ряда задач теории управления.

Во 2-й главе излагаются основные понятия, связанные спредставлением общего решения системы линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка в форме Коши. Приведены формулы для нахождения переходной матрицы, матричной импульсной переходной функции, а также записи с их помощью решения указанной системы уравнений.

Глава 3 посвящена вопросам представления линейных дискретных систем управления, а также способам перехода от непрерывного представления модели системы к дискретному.

Вглаве 4 решается задача исследования устойчивости линейных непрерывных и дискретных систем методом функций Ляпунова.

Вглаве 5 изложены проблемы полной управляемости и наблюдаемости (а также связанные с ними вопросы стабилизируемости и восстанавливаемости) линейных непрерывных и дискретных систем.

Вглаве 6 рассмотрена классическая задача синтеза линейноквадратичного регулятора.

Глава 7 посвящена задаче синтеза линейно-квадратичного гауссова регулятора (сокращённо – ЛКГ-регулятора). Приводятся теоретические сведения по стохастическим процессам и системам, рассмотрены методы расчета фильтра Калмана и ЛКГ-регулятора.

6

ГЛАВА 1. ОПИСАНИЕ СОСТОЯНИЯ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Многие объекты управления могут быть описаны системой дифференциальных уравнений вида

Здесь t – непрерывное время, x(t) – действительный n-мерный переменный во времени вектор-столбец, который обозначает состояние системы, а u(t) – действительный m-мерный вектор-столбец, который обозначаетвходную переменную, или переменную управления. Функция f является действительной и векторной. Обычно выбор состояния системы управления определяется её структурой и принципом действия, а уравнение (1.1), называемоеуравнением состояния, вытекает из физических законов, которым подчиняются протекающие в нейпроцессы.

Пусть y(t) – действительная r-мерная переменная системы, которая может быть наблюдаема или с помощью которой система воздействует на окружающую обстановку. Такая переменная называется выходной переменной объекта управления, которая часто может быть представлена следующим образом

Это уравнение называется уравнением наблюдения. Вместе уравнения

(1.1) и (1.2) называются уравнениями объекта управления.

В данной книгерассматривается случай, когдаf и q являются линейными функциями. В этом случае говорят о линейном динамическом объекте управления, уравнение состояния которого имеет вид

где A(t) и B(t) – переменные матрицы соответствующих размерностей. Размерность n вектора x называется размерностью (порядком) системы. Уравнение наблюдения линейной системы принимает вид

где C(t) и D(t) – матрицы размерностей r×n и r×m соответственно.

Если матрицы A, B, C и D постоянны, то система называется линейной стационарной динамической системой. В случае, если r = m = 1, то объект управления называется одномерным, если r ≠ 1 или m ≠ 1 – объект управления называется многомерным.

Представление объекта управления вида (1.3)-(1.4) называется представлением в пространстве состояний (далее коротко – в ПС). Объект управления (1.3)-(1.4) полностью определяется своими матрицами1), поэтому далее иногда будет удобно обращаться к нему как к набору матриц (A, B, C, D).

1) при рассмотрении многих свойств системы (1.3)-(1.4) (например, свойства устойчивости, корневых показателей качества, коэффициентов передачи и др.) влияние начальных условий можно не учитывать.

7

Структурная схема объекта (1.3)-(1.4) изображена на рисунке 1.1. Здесь введены следующие обозначения: p = ddt – оператор дифференци-

рования; обратный к нему оператор именуется оператором интегрирования и обозначается p-1.

D

Рисунок 1.1 – Структурная схема непрерывного объекта управления

Также линейный стационарный динамический объект управления может быть представлен в виде:

где y(s)= [y1 (s), , yr (s)]T – вектор, состоящий из изображений Лапласа переменных yi(t):

+∞

yi (s)= ∫yi (t) e−s t dt , i =1,r ,

−0

здесь s – комплексная переменная (переменная преобразования Лапласа);

Матрица (1.6) называется матричной передаточной функцией (далее –

МПФ). Представление (1.5)-(1.6) называется представлением в формеМПФ.

8

Переход от представления (1.3)-(1.4) к (1.5)-(1.6) всегда однозначен и выполняется по формуле

называется характеристическим полиномом системы (1.3)-(1.4). Собственные числа матрицы A называются корнями характеристического полинома a(s) или

полюсамиМПФH(s).

Обратный переход, то есть переход от представления (1.5)-(1.6) к (1.3)-(1.4), не однозначен. Преобразования вида

~x(t)= Tx(t),

(здесь T – произвольная неособенная квадратная матрица), не меняют МПФ. Для одномерногослучая часто используюттак называемые канонические формы представления в ПС. Пусть линейный одномерный стационарный

объект управления задан дифференциальным уравнением n-го порядка

9

Матрицы A вида (1.12) и (1.13) называются матрицами Фробениуса. Соотношения (1.12), (1.13) были получены в предположении, что m = = n-1; условие 0 < m < n-1 нужно рассматривать как частный случай, когда

все коэффициенты bi при i > m равны нулю.

Проиллюстрируем изложенные теоретические сведения примерами.

Задача управления однозвенным перевёрнутым маятником.

Пример 1.1. Рассмотрим перевёрнутый маятник, показанный нарисунке 1.2. Ось маятника монтируется на тележке, которая может перемещаться в горизонтальном направлении. Звено маятника имеет длинуl, масса маятника – m. Угол отклонения маятника от вертикали обозначим φ. Тележка имеет массу M и под воздействием внешней силыF(t) смещается на величину θ.

θ

Рисунок 1.2 – Перевёрнутый маятник на тележке

Обозначим через (xM, yM) координату массы маятника, из рисунка 1.2 находим

xM = θ −l sin ϕ, yM =l cos ϕ.

Кинетическая EК и потенциальнаяEП энергии маятника будут иметьвид:

EK = m2 ((θ −lϕcos ϕ)2 + (lϕsin ϕ)2 )+ M2 θ2 ,

EÏ = mgl cos ϕ.

Введём функцию ЛагранжаL = EК - EП и составим уравнения Лагранжа

µ = mM , ξ = θl , f = FgM .

10