Сборник задач по синтезу линейных динамических систем управления. Учебное пособие

Выберем в качестве номинального решение ξ = 0 , ϕ = 0 , f = 0 и

выполним линеаризацию уравнений (1.14) вблизи номинального решения. Разлагая sin φ и cos φ в ряды Тейлора, и ограничиваясь линейным приближением, получаем систему

В литературе под моделью перевёрнутого маятника понимают два типа моделей. В модели первого типа в качестве переменных состояния выбирают вектор

x = [ϕ, ξ, ϕ, ξ]T ;

непосредственному наблюдению, как правило, доступны только угол φ и перемещение ξ, то есть, вектор наблюдения

величиной более высокого порядка, чем те величины, которые входят в уравнения. В системе (1.15) приξ≈0остаётсятолькопервое уравнение системы:

наблюдению доступен только угол φ, то есть

y= x1 ;

вкачестве управляющего воздействия u выбирают силу f прикладываемую

кточке опоры маятника. В результате модель перевёрнутого маятника принимает вид [3, стр.46-47]:

где (при μ→0)

11

Далее, под моделью перевёрнутого маятника мы будем понимать модель второго типа, иными словами – модель (1.18).

Представлению (1.18) соответствует каноническая форма управляемости (и каноническая форма наблюдаемости – в данном случае они совпали). Собственные числа матрицы A:

Λ(A) = {-1, 1}.

Передаточная функция модели (1.18): h(s)= s21−1.

Задача управления двухзвенным перевёрнутым маятником.

Пример 1.2. При выводе математической модели двухзвенного перевёрнутого маятника проводятся рассуждения, аналогичные тем, что изложены в предыдущем примере. Мы не будем повторяться и приведём здесь только конечный результат моделирования. Непрерывная модель двухзвенного перевёрнутого маятника (см. рисунок 1.3) описывается системой уравнений [3,

здесь φ1, φ2 – углы отклонения от положения равновесия 1-го и 2-го звена маятника, u – управляющее воздействие (как и в предыдущей задаче). Измерению доступны углы φ1 и φ2.

ϕ2

ϕ1

u

Рисунок 1.3 – Двухзвенный перевёрнутый маятник

Вводя обозначения

12

Собственные числа матрицы A равны

Λ(A) = {1,848, 0,765, -0,765, -1,848}.

МПФ объекта (1.17)

H(s)= h1 ((s)) ,h2 s

Задача управления состоянием проточной смесительной ёмкости.

Пример 1.3. Рассмотрим бак (см. рисунок 1.4), в котором смешиваются два входных регулируемых потока с мгновенными объёмными расходами Q1(t) и Q2(t). Оба потока представляют собой раствор одного и того же химического вещества с постоянными концентрациямиc1 и c2 соответственно. Мгновенный расход выходного потока обозначимQ(t).

Предполагается, что концентрация растворённого вещества во всех точках раствора в баке в каждый момент времени остается одна и та же.

Обозначим через V(t) – мгновенный объём жидкости в баке, h(t) – высоту уровня жидкости, S - площадь дна, c(t) – мгновенную концентрацию вещества в баке.

13

Изменения объёмаV(t) и концентрацииc(t) вещества в баке описываются уравнениями материального баланса

где θ – коэффициент пропорциональности, определяемый экспериментально. В установившемся состоянии потокиQ1, Q2, Q, высотаh и концентрация c являются постоянными. Обозначим постоянные значения потоковQ1, Q2, Q,

соответственно, за Q01, Q02, Q0; установившуюся высоту h обозначим за h0, а постоянную концентрацию c за c0. Таким образом, вблизи установившегося

высоты

h(t)= h0 + x1 (t),

и концентрации

c(t)= c0 + x2 (t).

Здесь через x1 обозначено колебание высоты h, а за x2 – колебание концентрации c в баке. В рассматриваемомтехнологическом процессе данные переменные являются переменными состояния. За u1 и u2 обозначены изменения входных потоков Q1 и Q2. В новых обозначениях система уравнений (1.21)-(1.22) принимает вид

S x1 (t)= (Q01 + u1 (t))+ (Q02 + u2 (t))−θh0 + x1 (t),

V0 x2 (t)+ c0 x1 (t)= c1 (Q01 + u1 (t))+ c2 (Q02 + u2 (t))−

где V0=S∙h0.

После линеаризации системы уравнений (1.23) получаем

здесь T=V0/Q0 – постоянная времени.

Как правило, наблюдению доступны только колебания выходного потока

14

Рассмотрим случай, когда заданы следующие численные значения

параметров:

T=50 c., S=1 м2, c1-c0=-0,25 моль/м3, c2-c0=0,75 моль/м3.

Представляя систему (1.24)-(1.25) в матричной форме, получаем [2,

стр. 22]:

коэффициенты которого приведены в таблице1.1. Требуется записать объект управления в следующих формах:

а) в ПС, в канонической управляемой форме; б) в ПС, в канонической наблюдаемой форме; в) с помощью МПФ.

15

16

ГЛАВА 2. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ

Решение системы дифференциальных уравнений (2.1) может быть записано в общем виде, для этого необходимо ввести понятия переходной матрицы и матричной импульсной переходной функции.

Если A(t) в этом уравнении является постоянной матрицей для всех t, то оно всегда имеет решение

где переходная матрица Φ(t, t0) является решением матричного дифференциального уравнения

Если переходная матрица найдена, то решение дифференциального уравнения состояния (2.1) легко может быть получено на основании следующей теоремы.

Теорема 2.2 [2, стр. 25]. Пусть в уравнении состояния (2.1) матрица A(t) представляет непрерывную функцию времени, а B(t) и u(t) – кусочнонепрерывные функции для всех t. Тогда решение уравнения (2.1) имеет вид

переводящий систему (2.1) из начального состояния x0 в состояние x(t). Первое слагаемое в правой части (2.7) называется свободной составляющей (она зависит от начального состояния x0 системы и не зависит от управления), а второе – вынужденной составляющей реакции (она зависит только от управления u и не зависит от начального состояния).

Если система (2.1), (2.6) имеет нулевое начальное состояние, то есть x(t0)=0, то реакция выходной переменной записывается в форме

17

где матрица

называется матричной импульсной переходной функцией.

Переходная матрица системы (2.2) с постоянными коэффициентами может быть вычислена на основании следующей теоремы.

Теорема 2.3 [2, стр. 26]. Система (2.2) в случае стационарной матрицы A имеет переходную матрицу

Выражение (2.11) называется матричной экспонентой. Ряд, стоящий в правой части (2.11) сходится для всех A и (t - t0). При малых t = t - t0 матричная экспонента хорошо аппроксимируется первыми двумя слагаемыми ряда (2.11)

(2.12)

В частном случае, когда динамическийобъект управления описывается системой уравнений (1.3)-(1.4) с постоянными коэффициентами, его реакция на заданный входной сигнал u(t) принимает вид:

Нахождение переходной матрицы и матричной импульсной переходной функции.

Пример 2.1. Рассмотрим модель (1.26) из примера 1.3. В указанном примере матрица A равна

18

Матричную импульсную переходную функцию M(t, τ) вычисляем по формуле (2.9), получаем

Задача 2.1. Линейный непрерывный объект управления задан в представлении ПС

матрицы A, B, C, D и вектор начальных условийx0 приведены в таблице 2.1. Требуется:

а) рассчитать переходную матрицу; б) рассчитать матричную импульсную переходную функцию.

19

Продолжение таблицы 2.1

20