Сборник задач по синтезу линейных динамических систем управления. Учебное пособие

Задача 6.2. Линейный дискретный объект управления задан в виде: x(k +1)= Φx(k)+ Γu(k), x R2 , u R1, (6.23)

и, по возможности, обеспечивающий единичный коэффициент передачи замкнутой системы;

б) собственные числа матрицы Ac замкнутой системы.

51

Продолжение таблицы 6.2

52

53

ГЛАВА 7. СИНТЕЗ СТОХАСТИЧЕСКИХ ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

На исследуемые системы весьма часто оказывают одновременное действие, как управляющие воздействия, так и возмущения (шумы). В качестве математической модели шумовых воздействий используются случайные (стохастические) процессы. В этой связи возникаетнеобходимость в рассмотрении стохастических систем управления. В следующем разделе рассматриваются способы математического описания линейных стохастических систем.

7.1. Необходимые сведения из теории случайных процессов и стохастических систем управления. Линейный стохастический объект

управления в непрерывном времени может быть представлен в пространстве состояний:

здесь вектора x, u, y, а также матрицыA, B, C, D имеют тот же смысл, что и в модели (1.3)-(1.4); w и v – векторные случайные процессы, G - постоянная матрица размерности n×r. Случайный процесс w(t) описывает возмущения, действующие на объект со стороны внешней среды, аv(t) - шумы наблюдения.

Линейный непрерывный стохастический объект управления, также может быть представлен с помощью своих матричных передаточных функций:

где y(s), u(s), w(s), v(s) – изображения по Лапласу, соответственно, векторов y(t), u(t), w(t), v(t), а

Вдискретном времени линейный стохастический объект управления

вПС имеет вид

x(k +1)= Φx(k)+ Γu(k)+ Θw(k),

здесь w(k) и v(k) – векторные случайные процессы в дискретном времени. В z-изображениях линейный стохастический объект управления

принимает следующий вид

где y(z), u(z), w(z), v(z) – z-изображения векторов y(k), u(k), w(k), v(k), соответственно, а

– дискретная МПФ по управлению,

54

Приведём сведения из теории вероятностей, используемые в следующем параграфе. Вначале рассмотрим понятия, относящиеся к одномерному стохастическому процессу χ(t). Оператор математического ожидания обозначим за E.

Рассмотрим следующие характеристики случайной величины χ(t) [6,

3)стандартное или среднеквадратическое отклонение

Нормальное распределение, называемое также распределением Гаусса –

распределение вероятностей, которое в одномерном случае задаётся функцией плотности вероятности, совпадающей с функцией Гаусса[6, с. 130-134]:

с заданными параметрами χ и σ>0.

Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием χ = 0 и стандартным откло-

нением σ=1.

Перейдём к рассмотрению векторного стохастического процесса χ(t). Примем, для определённости, что χ(t) в каждый момент времени t является вектор-столбцом размерности n.

Вектором средних значений называется вектор, состоящий из средних значений компонент вектора χ(t):

называется ковариационной матрицей [6, с. 208].

Ковариационная матрица является обобщением дисперсии на многомерный случай, а её след – скалярным выражением дисперсии.

Многомерным нормальным (гауссовским) распределением называется распределение вероятностей, которое задаётся функцией плотности веро-

ятности [6, с. 231-236]:

с заданными χ и M(χ).

55

Нормальное распределение полностью определяется своим первым и вторым моментами, то есть математическим ожиданием и ковариационной матрицей.

Белым шумомназывается стохастический процессχ(t), удовлетворяющий условиям

где δ(t, τ) – символ Кронекера.

Если величина σ2 не зависит от времени, то случайный процесс назы-

вается стационарным белым шумом, если зависит от времени – нестационарным белым шумом.

Белый шум, плотность вероятности которого является функцией Гаусса (7.15) называется гауссовым белым шумом.

Задача управления двухмассовой системой.

Пример 7.1. Рассмотрим систему, изображённую на рисунке 7.1. Непрерывная модель возмущённых колебаний описывается системой уравнений [7, с. 68]:

x1 (t)= v1 (t),

где x1, x2 – координаты 1-й и 2-й тележки; v1, v2 – скорости 1-й и 2-й тележки; m1, m2 – массы 1-й и 2-й тележки; u – управление, прикладываемое к 1-й

тележке; w – возмущение, действующее на 2-ю тележку; k – коэффициент упругости пружины. В работе [7], в качестве переменных состояния модели (7.16) рассматривается вектор

x = [x1 , v1 , x2 , v2 ]T ,

в качестве регулируемых параметров рассматривается координата и скорость 2-й тележки

y = [x2 , v2 ]T .

В принятых обозначениях система (7.16) принимает вид

x(t)= Ax(t)+ Bu(t)+ Gw(t),

y(t)= Cx(t)+ Du(t),

где (с m1=m2=1 и k=1)

56

Собственные числа матрицы A равны

Λ(A) = {±1,414j, 0, 0}.

Рисунок 7.1 – Схема двухмассовой системы

В изображениях по Лапласу данная модель имеет вид (см. формулы

(7.2)-(7.4)):

y(s)= Hu (s)u(s)+ H w (s)w(s),

где

Дискретная модель двухмассовой системы.

Пример 7.2. Дискретная модель двухмассовой системы (7.17) с шагом квантования T = 0,01 принимает вид:

x(k +1)= Φx(k)+ Γu(k)+ Θw(k), Θ = ∆T G , y(k)= Ψx(k)+ Ξu(k),

57

Собственные числа матрицы Φ:

Λ(Φ) = {1 ± 1,41∙10-2∙j, 1, 1}.

7.2. Синтез стохастических оптимальных систем управления 7.2.1. Синтез ЛКГ-регуляторов для непрерывных систем. Оптимальное управление по состоянию. Пусть линейный непре-

рывный объект управления задан уравнениями5)

x(t)= Ax(t)+ Bu(t)+ Gw(t),

здесь w(t), v(t) – гауссов белый шум, w(t) и v(t) не коррелированны между собой и имеют следующие характеристики

E[w] = E [v] = 0,

E[w(t)∙wT(τ)] = Qn∙δ(t, τ), E[v(t)∙vT(τ)] = Rn∙δ(t, τ), E[v(t)∙wT(τ)] = Nn∙δ(t, τ).

Предполагается, что пара (A, B) – полностью управляема, а вектор состояния x(t) полностью доступен измерению. Требуется найти оптимальное управление в виде обратной связи по состоянию

Оптимальный закон управления (7.20), (7.22) совпадает с оптимальным законом управления в детерминированном случае (линейно-квадратичный регулятор). Таким образом, случайное воздействие на объект и случайные начальные условия не влияют на оптимальный закон управления, если имеется полная информация о состоянии.

5) поскольку x(t) принимает случайные значения, вектор начальных условийx(0) не может быть задан точно.

58

Оптимальное управление при неполной информации о состоянии.

Пусть объект управления и критерий оптимальности определены также как в предыдущей задаче (то есть, соответственно, уравнениями (7.19) и (7.21)). Пара (A, B) предполагается полностью управляемой, а (AT, CT) – полностью наблюдаемой.В условиях неполной информации о векторе состояния возникает необходимость в построении наблюдателя. Синтез наблюдателя для оценивания вектора переменных состояния объекта будем проводить исходя из минимизации установившейся ошибки оценивания

P = lim E[(x(t)− xˆ(t))(x(t)− xˆ(t))T ].

t→∞

Оптимальным решением является фильтр Калмана (Калмана-Бьюси)

[1, с. 314-315]:

xˆ(t)= Axˆ(t)+ Bu(t)+ L(y(t)− Cxˆ(t)− Du(t)),

Регулятор, состоящий из последовательно соединённых фильтра Калмана (7.24) и ЛКР (7.20), (7.22) называется линейным квадратичным гауссовым регулятором (ЛКГ-регулятором). ЛКГ-регулятор описывается системой уравнений

ЛКГ-регулятор является решением задачи оптимального управления стохастической системой при неполной информации о состоянии. Тот факт, что задачу оптимального управления можно разделить на задачу оптимальной фильтрации и задачу детерминированного оптимального управления называ-

ется принципом разделения или принципом стохастической эквивалентности

[1, с. 327].

7.2.2. Синтез ЛКГ-регуляторов для дискретных систем. Пусть поведение линейной дискретной системы описывается уравнениями

x(k +1)= Φx(k)+ Γu(k)+ Θw(k),

где w(k), v(k) – дискретные гауссовы белые шумы, w(k) и v(k) не коррелированны между собой и имеют следующие характеристики

59

Пара (Φ, Γ) предполагается полностью управляемой, а (ΦT, ΨT) – полностью наблюдаемой. Критерий качества

Для линейной дискретной динамической системы задача фильтрации состоит в том, чтобы оценить состояние x(k) из зашумлённых наблюдений y(1), y(2), …, y(k). При этом возникают следующие задачи:

а) фильтрации – измерения y(1), y(2), …, y(k) используются для того, чтобы сформировать оценку xˆ(k) состояния в момент k;

б) прогноза (экстраполяции) – измерения y(1), y(2), …, y(k) используются для построения оценки xˆ(k +1) состояния в будущий момент времениk+1.

Данные задачи решаются с помощью дискретного фильтра Калмана рекуррентным образом, что делает его особенно удобным при принятии решений в реальном времени.

Введём обозначения: xˆ(k | k −1) – оценка векторасостоянияx в моментk,

использующая измерения входных и выходных сигналов системы до момента k - 1 (априорнаяоценка)

а также ковариационные матрицы

P(k | k −1)= cov(x(k)− xˆ(k k −1)),

P(k | k)= cov(x(k)− xˆ(k k)).

Процедуру оценки состояния дискретным фильтром Калмана можно представить в виде повторяющихся от момента к моменту циклов, каждый из которых состоит из двух этапов – этапа коррекции и этапа прогноза.

Этап коррекции – переход от априорных оценок к апостериорным в

60