Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник задач по синтезу линейных динамических систем управления. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>


			10		−5
	5		10				1	0	0	0
Γ =			0			,	1	0	0	0	(5.15)
Γ =		10		−2		,	Ψ =	1	0	.	(5.15)
		10					0	1	0	0
			0
			0

Решение. Порядок объекта (5.15) равен 4. По формуле (5.2) находим матрицу управляемости

				−4				−4				−4				−4
		10			2	10			3	10			4	10
A	u	(Φ, Γ)= 0				0				0				0			,
	u			−2	10		−2		10		−2		10		−2
		10			10				10				10
			0			0				0				0
			0			0				0				0

её ранг равен 4. Следовательно, система полностью управляема. По формуле (5.8) определяем матрицу наблюдаемости

			1		0		0	0
			0		1		0	0
			0		1		0	0
			1 +10−4		−10−4		10−2	0
			−10	−4	1 +10	−4	0	10	−2
A	n	(ΦT , ΨT )=	−10		1 +10		0	10		,
	n	1 + 4 10−4			− 2 10−4		2 10−2	0
			− 4 10−4		1 + 4 10−4		0	2 10−2
			− 4 10−4		1 + 4 10−4		0	2 10−2
		1 + 9 10−4			− 5 10−4		3 10−2	0
			− 9 10−4		1 + 9 10−4		0	3 10−2
			− 9 10−4		1 + 9 10−4		0	3 10−2

её ранг равен 4. Следовательно, система полностью наблюдаема.

Задача 5.1. Проверить на полную управляемость и наблюдаемость: а) непрерывную систему из задания 4.1; б) дискретную систему из задания 4.2.

ГЛАВА 6. СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Задача оптимального управления заключается в построении такого стабилизирующего управления, которое минимизирует некоторый критерий качества. Далее рассмотрим задачу, которая в отечественной литературе именуется задачей об аналитическом конструировании регулятора, а в иностранной – задачей синтеза линейно-квадратичного регулятора (ЛКР).

6.1. Синтез линейно-квадратичного регулятора для непрерывной системы. Пусть линейный непрерывный объект управления задан системой

уравнений

	x R	n	,	u R	m	,	x(0)= x0 ,	(6.1)
x(t)= Ax(t)+ Bu(t),

пара (A, B) предполагается полностью управляемой. Требуется найти закон управления в виде линейной обратной связи по состоянию

u(t)= −Kx(t), K Rm×n ,

(6.2)

который стабилизирует замкнутую систему и минимизирует квадратичный критерий качества

J = T∫(xT (t)Qx(t)+ uT (t)Ru(t))dt

(6.3)

с некоторыми весовыми матрицами Q,R 0 .

Решение задачи синтеза ЛКР при T < ∞ сводится к решению диффе-

ренциального уравнения Риккати [1, с. 308]:

AT P + PA − PBR−1BT P + Q = −P , P(T )= 0,			(6.4)
относительно матрицы P = P(t) при условии, что
P(t) 0 ,	t [0,T ].
При T → ∞ уравнение (6.4)	переходит в алгебраическое уравнение
Риккати [1, с. 308]:
AT P + PA − PBR−1BT P + Q = 0 ,		P 0 ,	(6.5)

где матрица P является стационарной. При этом оптимальное управление приобретает форму стационарной обратной связи

u(t)= −Kx(t),

K = R−1BT P ,

(6.6)

а оптимальное значение критерия равно

Jmin = xT0 P x0 .

Основная сложность данной задачи состоит в том, что уравнение Риккати (6.5) является нелинейным относительно искомой матрицы P.

6.2. Синтез линейно-квадратичного регулятора для дискретной системы. Рассмотрим линейный дискретный объект управления

x(k +1)= Φx(k)+ Γu(k), (6.7)

такой, что пара (Φ, Γ) – полностью управляема. Задан квадратичный критерий качества

J = ∑∞ (xT (k)Qx(k)+ uT (k)Ru(k)),	Q,R 0 .	(6.8)
k=0

Тогда линейно-квадратичный регулятор принимает форму стационарной обратной связи

u(k)= −Kx(k),

~ −1

P ,

PΓ,

(6.9)

K = R

R = R + Γ

где P – решение алгебраического уравнения Риккати [1, с. 323-324]:

PΦ − P −

~ −1

PΦ + Q = 0,

P 0 .

(6.10)

PΓR

Пример 6.1. Синтез ЛКР в непрерывном времени.

Объект управления описывается уравнениями (см. также пример 1.1)

			x R		2	,	u R	1	,
x(t)= Ax(t)+ Bu(t),			x R			,	u R		,
y(t)= Cx(t),				y R1,
где
0	1	B	0	,		C = [1 0].			(6.11)
A =	,	B	=	,		C = [1 0].			(6.11)
1	0		1

Собственные числа матрицы A равны {1, -1}.

Объект (6.11) полностью управляем и наблюдаем, нуждается в стабилизации. Требуется рассчитать линейно-квадратичный регулятор, минимизирующий квадратичный критерий качества (6.3) с матрицами

Q	0,25	0	,		R =10 .
Q	=		,		R =10 .
	0	0,25
Решение. Решая уравнение Риккати (6.5) в среде Matlab получаем ЛКР:
u(t)= vg(t)− Kx(t),		где		K = [2,025,		2,025].	(6.12)
Выберем в ЛКР v = 1. После замыкания объекта (6.11) регулятором
(6.12) получаем систему уравнений:
	x(t)= Ac x(t)+ Bc g(t),
		y(t)= Cx(t),
		y(t)= Cx(t),
где	0	1				0
	0	1		,	Bc =	0	(6.13)
Ac =				,	Bc =	.	(6.13)
−1,025		− 2,025				1

Собственные числа матрицы Ac:

Λ(Ac) = {-1, -1,025}.

График переходной функции замкнутой системы изображён на рисунке 6.1. Из графика определяем время реакции tp =5,76.

1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0		2,0	3,0	4,0	5,0	6,0	t
0,0	1,0	2,0	3,0	4,0	5,0	6,0	t
		Рисунок 6.1 – Переходная функция

Пример 6.2. Синтез ЛКР в дискретном времени.

Объект управления описывается уравнениями (см. также пример 3.1)

x(k +1)= Φx(k)+ Γu(k),

x R2 ,

u R1,

T = 0,01,

y(k)= Ψx(k),

y R1,

где

−2

−5

Ψ = [1

0].

(6.14)

Φ =

Γ = 5

10−2

Собственные числа матрицы Φ равны {1,010, 0,990}.

Объект (6.14) полностью управляем и наблюдаем, нуждается в стабилизации. Требуется рассчитать линейно-квадратичный регулятор, минимизирующий квадратичный критерий качества (6.8) с матрицами

0,25		0	,	R =10 .
Q =	0
		0,25

Решение. Решая уравнение Риккати (6.10) в среде Matlab получаем ЛКР:

u(k)= vg(k)− Kx(k), где K = [2,014, 2,014].

(6.15)

Выберем в ЛКРv = 1. После замыкания объекта (6.14) синтезированным регулятором получаем систему уравнений:

x(k +1)= Ac x(k)+ Bc g(k),

y(k)= Ψx(k),

где
		1	0,01		−5
	Ac =		,	Bc = 5	10−2	.	(6.16)
	− 0,01		0,98	10
Собственные числа матрицы Ac:
		Λ(Ac) = {0,990, 0,989}.
График переходной функции замкнутой системы изображен на
рисунке 6.2. Из графика определяем время реакции tp =5,76.
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0								t
0,0	1,0	2,0	3,0	4,0		5,0	6,0	t
	Рисунок 6.2 – Переходная функция

Пример 6.3. Синтез ЛКР в непрерывном времени.

Объект управления описывается уравнениями (см. также пример 1.2)

									x R	4	,	1	,
			x(t)= Ax(t)+ Bu(t),						x R		,	u R	,
						y(t)= Cx(t),			y R2 ,
где		0	0	1	0		0
		0	0	1	0		0
		0	0	0						1 0		0 0
A =		0	0	0	1	, B =	0	,	C =	1 0		0 0		(6.17)
A =		2	−1 0 0			, B =		,	C =			.		(6.17)
		2	−1 0 0				1			0 1		0 0
			2	0
	− 2		2	0	0		0

Собственные числа матрицы A равны {1,848, 0,765, -0,765, -1,848}.

Объект (6.17) полностью управляем и наблюдаем, нуждается в стаби-
лизации. Требуется рассчитать линейно-квадратичный регулятор, миними-
зирующий квадратичный критерий качества (6.3) с матрицами
		0,25			0	0	0
			0		0,25	0	0
	Q =		0		0,25	0	0	,	R =10 .
			0		0	0,25	0
			0		0	0,25	0
			0		0	0	0,25
Решение. Решая уравнение Риккати (6.5) в средеMatlab получаем ЛКР:
u(t)= vg(t)− Kx(t),					где	K = [13,73			−13,75	5,242		− 8,989].
Выберем в ЛКР v = -1,00. После замыкания объекта (6.17) синтезиро-
ванным регулятором получаем систему уравнений:

					x(t)= Ac x(t)+ Bc g(t),
					y(t)= Cx(t),
где	0	0			1	0				0
	0	0			1	0				0
	0	0			0	1				0
Ac =	0	0			0	1	,		Bc =	0	.		(6.18)
		12,75		− 5,242
−11,73		12,75		− 5,242		8,989			−1,00
	− 2	2			0	0				0
Собственные числа матрицы Ac равны {-0,773±0,057∙j, -1,790, -1,906}.
Графики переходных функций замкнутой системы изображены на
рисунках 6.3.а – 6.3.б. Из графиков определяем время реакции tp =8,82.
y1
1,0
0,75
0,50
0,25
0,0
-0,25
0,0	1,0	2,0			3,0	4,0	5,0		6,0	7,0		8,0	9,0
			Рисунок 6.3.а – Переходные функции

y2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0										t
0,0	1,0	2,0	3,0	4,0	5,0	6,0	7,0	8,0	9,0	t
		Рисунок 6.3.б – Переходные функции

Пример 6.4. Синтез ЛКР в дискретном времени.

Объект управления описывается уравнениями (см. также пример 3.2)

x(k +1)= Φx(k)+ Γu(k),				x R4 ,			u R1,					T = 0,01,
где		y(k)= Ψx(k),					y R2 ,
где
	1	− 5 10	−5	10	−2		0					10	−5
	1	− 5 10		10			0			5		10
Φ =	−10−4	1		0			10−2		,	Γ = 0				,
	2 10−2	−10−2		1		− 5 10		−5			10−2
		2 10−2		−10−4			1					0
− 2 10−2		2 10−2		−10−4			1					0

1	0	0	(6.19).
Ψ =	1	.	(6.19).
0	1	0

Собственные числа матрицы Φ равны {1,019, 1,008, 0,992, 0,982}. Объект (6.19) полностью управляем и наблюдаем, нуждается в стаби-

лизации. Требуется рассчитать линейно-квадратичный регулятор, минимизирующий квадратичный критерий качества (6.8) с матрицами

0,25		0	0	0
	0	0,25	0	0
Q =	0	0,25	0	0	,	R =10 .
	0	0	0,25	0
	0	0	0,25	0
	0	0	0	0,25

Решение. Решая уравнение Риккати (6.10) в среде Matlab получаем ЛКР: u(k)= vg(k)− Kx(k), где K = [13,51 −13,51 5,174 − 8,824].

Выберем в ЛКР v = -1,00. После замыкания объекта (6.19) синтезированным регулятором получаем систему уравнений:

x(k +1)= Ac x(k)+ Bc g(k), y(k)= Ψx(k),

где

		0,999	0,001	0,010	0				0
		0	1	0					0
Ac =		0	1	0	0,010	,	Bc =		0		(6.20)
Ac =		− 0,115	0,125	0,948		,	Bc =			.	(6.20)
		− 0,115	0,125	0,948	0,088			− 0,01
	− 0,020		0,020	0	1				0

Собственные числа матрицы Ac:

Λ(Ac) = {0,992±6∙10-4∙j, 0,982, 0,981}.

Графики переходных функций замкнутой системы изображены на рисунках 6.4.а – 6.4.б. Из графиков определяем время реакции tp =8,82.

y1
1,0
0,75
0,50
0,25
0,0
-0,25
0,0	1,0	2,0	3,0	4,0	5,0	6,0	7,0	8,0	9,0
		Рисунок 6.4.а – Переходные функции

y2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0										t
0,0	1,0	2,0	3,0	4,0	5,0	6,0	7,0	8,0	9,0	t
		Рисунок 6.4.б – Переходные функции

Задача 6.1. Линейный непрерывный объект управления задан в ПС

			x R	2	,	1	,
x(t)= Ax(t)+ Bu(t),			x R		,	u R	,
y(t)= Cx(t)+ Du(t),					y R1,			(6.21)
где матрицы A, B, C, D приведены в таблице 6.1.
Требуется рассчитать:
а) ЛКР
u(t)= vg(t)− Kx(t),	g R1 ,		v R1 ,			K R 2 ×1 ,		(6.22)
минимизирующий квадратичный критерий качества (6.3) с матрицами
0,25		0		R =10 ,
Q =	0		,	R =10 ,
	0	0,25

и, по возможности, обеспечивающий единичный коэффициент передачи замкнутой системы;

б) собственные числа матрицы Ac замкнутой системы.

								Таблица 6.1
	Матрицы A, B, C, D, вектор x0				и шаг дискретизации			T

Номер				Матрицы
варианта		A		B			C	D
1		2		3			4	5
1		0	1	0		[2 0]		[0]
1						[2 0]		[0]
	−1		2	1
2		0	1	0		[1	0,5]	[0]
2						[1	0,5]	[0]
	−1		2	1
3		0	1	0		[2 0]		[0]
3						[2 0]		[0]
	− 2		2	1
4		0	1	0		[2 0]		[0]
4						[2 0]		[0]
	− 2		3	1
5		0	1	0		[2	0,4]	[0]
5						[2	0,4]	[0]
	− 2		3	1
6		0	1	0		[2 1]		[0]
6						[2 1]		[0]
	− 2		2	1
7		0	1	0		[3 0]		[0]
7						[3 0]		[0]
	− 3		4	1
8		0	1	0		[3	0,5]	[0]
8						[3	0,5]	[0]
	− 3		4	1
9		0	1	0		[5 0]		[0]
9						[5 0]		[0]
	−5		2	1

Продолжение таблицы 6.1

1		2		3		4	5
10		0	1	0	[4 0]		[0]
10					[4 0]		[0]
	−4		5	1
11		0	1	0	[4 2]		[0]
11					[4 2]		[0]
	−4		5	1
12		0	1	0	[5 1]		[0]
12					[5 1]		[0]
	−5		2	1
13		0	1	0	[5 0]		[0]
13					[5 0]		[0]
	− 5		6	1
14		0	1	0	[5	0,5]	[0]
14					[5	0,5]	[0]
	− 5		6	1
15		0	1	0	[5 0]		[0]
15					[5 0]		[0]
	−5		4	1
16		0	1	0	[8 0]		[0]
16					[8 0]		[0]
	− 8		6	1
17		0	1	0	[8	1,6]	[0]
17					[8	1,6]	[0]
	− 8		6	1
18		0	1	0	[10 0]		[0]
18					[10 0]		[0]
	−10		2	1
19		0	1	0	[10 0]		[0]
19					[10 0]		[0]
	−10		7	1
20		0	1	0	[10 1]		[0]
20					[10 1]		[0]
	−10		7	1
21		0	1	0	[13 0]		[0]
21					[13 0]		[0]
	−13		4	1
22		0	1	0	[12 0]		[0]
22					[12 0]		[0]
	−12		7	1
23		0	1	0	[12 2]		[0]
23					[12 2]		[0]
	−12		7	1
24		0	1	0	[10 10]		[0]
24					[10 10]		[0]
	−10		6	1
25		0	1	0	[15 0]		[0]
25					[15 0]		[0]
	−15		8	1

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]