Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник задач по синтезу линейных динамических систем управления. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

Алгоритм оценивания, описываемый соотношениями (7.29)-(7.31)

носит название дискретного фильтра Калмана [1, с. 327].

Дискретный ЛКГ-регулятор состоит из последовательно соединенных фильтра Калмана и ЛКР

u(k)= Vg(k)− Kxˆ(k | k −1),

(7.32)

где матрица K определяется из решения уравнения Риккати (6.10). Систему уравнений (7.29)-(7.32) можно сгруппировать в виде двух

независимо решаемых подсистем уравнений. Первая содержит уравнения относительно матриц L(k) и P(k+1|k):

L(k)= (P(k | k −1)ΨT (k)+ Θ(k)Nn )R~ −1 ,

P(k +1| k)= Φ(k)P(k | k −1)ΦT (k)− Φ(k)P(k | k −1)ΨT (k)R~ −1Ψ(k)

P(k \| k −1)Φ	T	~	−1	Ψ(k)P(k \| k −1)Φ	T	(k)+ Qn ,	(7.33)
		(k)− Φ(k)Θ(k)Nn R

с начальным условием P(1| 0)= P0 . Данная система не содержит измерений

сигналов, следовательно, может быть решена перед началом работы фильтра. Вторая подсистема представляет уравнение относительно оценок xˆ(k | k) и

xˆ(k +1| k):

u(k)= Vg(k)− Kxˆ(k | k −1),

xˆ(k | k)= xˆ(k | k −1)+ L(k)(y(k)− Ψ(k)xˆ(k | k −1)− Ξ(k)u(k)),

xˆ(k +1\| k)= Φ(k)xˆ(k \| k)+ Γ(k)u(k),	(7.34)
с начальным условием xˆ(1\| 0)= x0 .
Если объект управления (7.27) стационарен, то есть
Φ(k)= Φ, Γ(k)= Γ, Θ(k)= Θ,
Ψ(k)= Ψ, Ξ(k)= Ξ,

тогда ковариационная матрица P(k|k-1) также будет стационарной, то есть

P(k +1| k)= P(k | k −1)= P .

При этом второе уравнение в (7.33) переходит в уравнение Риккати

ΦPΦ

− P

− ΦPΨ

T ~

−1

ΨPΦ

−1

ΨPΦ

+ Qn = 0,

(7.35)

− ΦΘNn R

а формула для расчёта матрицы L принимает вид

L = (PΨ

−1

+ R n .

(7.36)

+ ΘNn )R

R = ΨPΨ

В результате дискретный фильтр Калмана описывается уравнениями

xˆ

(k | k)= xˆ(k | k −1)+ L(y(k)− Ψxˆ(k | k −1)− Ξu(k)),

yˆ(k | k)= Ψxˆ(k | k)+ Ξu(k).

(7.37)

Дискретный ЛКГ-регулятор принимает вид

xˆ

(k +1| k)= Ak xˆ

(k | k −1)+ Ly(k | k),

Ak = Φ − LΨ − (Γ − LΞ)K ,

u(k)= Vg(k)− Kxˆ(k | k).

(7.38)

Пример 7.3. Синтез ЛКГ-регулятора в непрерывном времени. Объект управления описывается уравнениями (см. также пример 7.1)

	x R	4	,	1	,	1	,
x(t)= Ax(t)+ Bu(t)+ Gw(t),				u R		w R

		y(t)= Cx(t),				y R2 ,
где
0		1	0	0		0		0

A = −1		0	1	0	,	B = 1	,	G =	0	,
	0	0	0						0
	0	0	0	1		0			0
	1	0	−1	0		0		−1

0	1	0	,	(7.39)
C =	0		,	(7.39)
0	0	1

а w – гауссов белый шум с E[w]=0 и дисперсией D[w]≡Qn=1. Собственные числа матрицы A:

Λ(A) = {±1,414j, 0, 0}.

Объект (7.39) полностью управляем и наблюдаем, нуждается в стабилизации. Требуется рассчитать ЛКГ-регулятор, минимизирующий среднеквадратичный критерий качества (7.21) с матрицами

0,25		0	0	0
	0	0,25	0	0
Q =	0	0,25	0	0	,	R =10 .
	0	0	0,25	0
	0	0	0,25	0
	0	0	0	0,25

Решение. Решая уравнение Риккати (7.23) в среде Matlab получаем ЛКР:

u(t)= g(t)− Kxˆ(t),

где

xˆ(t)= [xˆ1 (t), xˆ2 (t),	xˆ3 (t),		xˆ4 (t)]T ,		K = [0,181 0,622 0,043		0,366].
Решая второе уравнение Риккати (7.25) по формуле ( 7.24) получаем
матрицу Калмана			0,736		0,839
			0,736		0,839
				0,132
			L =	0,132	0,036 .

			0,824		0,434
			0,434		0,788
Уравнение ЛКГ-регулятора принимает вид

			xˆ(t)= Ak xˆ(t)+ Ly(t),
			u(t)= g(t)− Kxˆ(t),
где			0	1	− 0,736	− 0,839
			0	1	− 0,736	− 0,839

Ak	=	−1,181 −		0,622	0,825	− 0,402 .	(7.40)
			0	0	− 0,824
			0	0	− 0,824	0,566
			1	0	−1,434	− 0,788

Уравнения замкнутой системы получим путём объединения уравнений объекта управления и ЛКГ-регулятора:

					x(t)			x(t)
								= Ac	+ Bc g(t)+ Gc w(t),
								= Ac	+ Bc g(t)+ Gc w(t),
								xˆ(t)
					xˆ(t)			xˆ(t)
где								y(t)= Cx(t),
где
			0	1		0		0	0	0	0	0
				0		1		0	− 0,181	− 0,622	− 0,043
		−1		0		1		0	− 0,181	− 0,622	− 0,043	− 0,366
			0	0		0		1	0	0	0	0
			0	0		0		1	0	0	0	0
A	c	=	1 0		−1			0	0	0	0	0	,
	c		0	0	0,736			0,839	0	1	− 0,736	− 0,839
			0	0	0,132			0,036	−1,181	− 0,622	0,825
			0	0	0,132			0,036	−1,181	− 0,622	0,825	− 0,402
			0	0	0,824			0,434	0	0	− 0,824	0,566
			0	0	0,434			0,788	1	0	−1,434
			0	0	0,434			0,788	1	0	−1,434	− 0,788
						Bc = [0 1 0 0 0 0 0 0]T ,
						Bc = [0 1 0 0 0 0 0 0]T ,
					Gc		= [0 0		0 −1	0 0 0	0]T .		(7.41)

Собственные числа матрицы Ac:

Λ(Ac) = {-0,068±1,414∙j, -0,243±0,229∙j, -0,256±1,496∙j, -0,550±0,362∙j}.

На рисунках 7.2.а – 7.2.б построены графики переходных функций, рассчитанных при отсутствии помехи (кривые с индексом 1) и с учётом помехи w (кривые с индексом 2). Из графиков видно, что переходные функции колебательны и медленно сходятся даже при отсутствии помехи.

y1
12				1
10				1
10				2
8				2
8
6
4
2
0,0									45		t
0,0	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	t
			Рисунок 7.2.а – Переходные функции

Добавление белого шума в уравнение наблюдения объекта принципиально не меняет ситуацию – соответствующие графики переходных функций изображены на рисунках 7.3.а – 7.3.б.

2,5

2,0

1,5

1,0

0,5

0,0

-0,5												t


	5	10	15		20	25	30	35	40		50
0,0	5	10	15		20	25	30	35	40	45	50
				Рисунок 7.2.б – Переходные функции
y1
14
14
12
12
10



8
6



4


2



0,0



-2



-4												t
-4
0,0	5	10	15		20	25	30	35	40	45	50

Рисунок 7.3.а – Переходные функции с шумом наблюдения

y2
6
4
2
0,0
-2
-4	5			20				40			t
0,0	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	t

Рисунок 7.3.б – Переходные функции с шумом наблюдения

Пример 7.4. Синтез ЛКГ-регулятора в дискретном времени.

Объект управления описывается уравнениями (см. также пример 7.2): x(k +1)= Φx(k)+ Γu(k)+ Θw(k), x R4 , u R1, w R1 , T = 0,01,

y(k)= Ψx(k), y R2 ,

где

		1			10	−2	5	10		−5		0								10		−5			0
		1			10		5	10				0						5		10
	−10		−2		1		10		−2		5	10		−5					10		−2				0
Φ =	−10			−5	1		10				5	10				, Γ =			10				,	Θ =	0	,
				−5									−2												0
5		10			0			1			10									0					0
10−2					5 10−5		−10−2					1								0				−10−2
									Ψ		0		0		1	0	,								(7.42)
									Ψ		=		0		0		,								(7.42)
											0		0		0	1

причем x0 = 0 , P0 = 0 , а w – гауссов белый шум с E[w]=0 и дисперсией

D[w]≡Qn=1. Собственные числа матрицы Φ:

Λ(Φ) = {1 ± 1,41∙10-2∙j, 1, 1}.

Объект (7.42) полностью управляем и наблюдаем, нуждается в стабилизации. Требуется рассчитать ЛКГ-регулятор, минимизирующий среднеквадратичный критерий качества (7.28) с матрицами

0,25		0	0	0
	0	0,25	0	0
Q =	0	0,25	0	0	,	R =10 .
	0	0	0,25	0
	0	0	0,25	0
	0	0	0	0,25

Решение. Решая дискретное уравнение Риккати (6.10) в среде Matlab получаем ЛКР:

u(k)= g(k)− Kxˆ(k | k), K = [0,179 0,621 0,044 0,365].

(7.43)

По формулам (7.35)-(7.36) находим матрицу Калмана (в среде Matlab решаем уравнение (7.35), решение подставляем в (7.36)):

		10	−3	8,3	10	−3
	7,3
	1,3 10−3			0,3 10		−3
L =		10	−3	4,4	10	−3	.
	8,2
			−3	7,9 10		−3
	4,3 10

Уравнения фильтра Калмана (7.37) принимают вид

здесь

						1		0,010			− 0,007		− 0,008
			A k	− 0,012				0,994			0,008		− 0,004 .		(7.44)
			A k	=
						0		0			0,992		0,006
						0		0			0,992		0,006
						0,010		0			− 0,014		0,992
Искомый ЛКГ-регулятор есть объединение уравнений фильтра Калмана
(7.44) и ЛКР (7.43).
После замыкания объекта (7.42) уравнениями (7.43)-(7.44) получаем:
			x(k +1)					x(k)
			xˆ(k +1\| k) = Ac xˆ(k \| k) +Bc g(k)+G c w(k),
где								y(k)= Ψx(k),
где
		1	0,01			0		0			0		0	0	0
			1		0,01			0	−		0,002	− 0,006		0
	− 0,01		1		0,01			0	−		0,002	− 0,006		0	− 0,004
		0	0			1		0,01			0		0	0	0
		0	0			1		0,01			0		0	0	0	,
Ac =		0,01	0	− 0,01				1			0		0	0	0
Ac =		0	0	0,007			0,008				1		0,01	− 0,007	− 0,008
		0	0	0,007			0,008				1		0,01	− 0,007	− 0,008
		0	0	0,001				0	−		0,012		0,994	0,008
		0	0	0,001				0	−		0,012		0,994	0,008	− 0,004
		0	0	0,008			0,004				0		0	0,992	0,006
		0	0	0,004			0,008			0,010			0	− 0,014	0,992
		0	0	0,004			0,008			0,010			0	− 0,014	0,992
							0					0
							0					0
												0
						0,01						0
							0					0
				B			0	,	G		− 0,01 .				(7.45)
				B	c	=	0		G	c	=	0
					c		0			c		0
							0					0
							0					0
							0					0
							0					0
							0					0

Собственные числа матрицы Ac:

Λ(Ac) = {0,999±0,014∙j, 0,997±0,002∙j, 0,997±0,015∙j, 0,994±0,003∙j}.

На рисунках7.4.а– 7.4.бпоказаны графики переходных функций системы (7.45): кривые с индексом 1 рассчитаны при отсутствии помехи, с индексом 2– с учётом помехи w. Сравнивая рисунки 7.2 и 7.4 видим, что поведение непрерывной (7.41) и дискретной (7.45) систем управления не отличаются.

y1
12				1
10				1
10				2
8				2
8
6
4
2
0,0											t
0,0	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	t
	Рисунок 7.4.а – Переходные функции дискретной системы

2,5

2,0

1,5

1,0

0,5

0,0

-0,5	5	10	15	20	25	30	35	40		50	t
0,0									45

Рисунок 7.4.б – Переходные функции дискретной системы

Задача 7.1. Линейный непрерывный объект управления задан уравнениями

	x R	2	,	1	,	1	,
x(t)= Ax(t)+ Bu(t)+ Gw(t),				u R		w R
y(t)= Cx(t)+ Du(t)+ v(t),			y R1,		v R1 ,

здесь матрицы A, B, C, D, G приведены в таблице 7.1, а w(t), v(t) – гауссовы

белые шумы со следующими характеристиками

E[w] = E[v] = 0, E[w(t)∙wT(τ)] = E[v(t)∙vT(τ)] = δ(t, τ), E[v(t)∙wT(τ)] = 0.

Требуется рассчитать:

а) ЛКГ-регулятор, минимизирующий среднеквадратичный критерий качества (7.21) с матрицами

0,25		0	,	R =10 ;
Q =	0
		0,25

б) собственные числа матрицы Ac замкнутой системы.

			Матрицы A, B, C, D, G				Таблица 7.1
			Матрицы A, B, C, D, G

Номер					Матрицы
варианта	A			B	C	D	G
1	2			3	4	5	6
1	− 2	1	0		[1 0]	[0]	1
1					[1 0]	[0]
	−1	0	2				0
2	− 2	1	0,5		[1 0]	[0]	1
2					[1 0]	[0]
	−1	0		1			0
3	− 2	1	0		[1 0]	[0]	1
3					[1 0]	[0]
	− 2	0	2				0
4	− 3	1	0		[1 0]	[0]	1
4					[1 0]	[0]
	− 2	0	2				0
5	− 3	1	0,4		[1 0]	[0]	1
5					[1 0]	[0]
	− 2	0		2			0
6	− 2	1	1		[1 0]	[0]	1
6					[1 0]	[0]
	− 2	0	2				0
7	− 4	1	0		[1 0]	[0]	1
7					[1 0]	[0]
	− 3	0	3				0
8	− 4	1	0,5		[1 0]	[0]	1
8					[1 0]	[0]
	− 3	0		3			0
9	− 2	1	0		[1 0]	[0]	1
9					[1 0]	[0]
	− 5	0	5				0

Продолжение таблицы 7.1

1	2		3	4	5	6
10	− 5	1	0	[1 0]	[0]	1
10				[1 0]	[0]
	− 4	0	4			0
11	− 5	1	2	[1 0]	[0]	1
11				[1 0]	[0]
	− 4	0	4			0
12	− 2	1	1	[1 0]	[0]	1
12				[1 0]	[0]
	− 5	0	5			0
13	− 6	1	0	[1 0]	[0]	1
13				[1 0]	[0]
	− 5	0	5			0
14	− 6	1	0,5	[1 0]	[0]	1
14				[1 0]	[0]
	− 5	0	5			0
15	− 4	1	0	[1 0]	[0]	1
15				[1 0]	[0]
	− 5	0	5			0
16	− 6	1	0	[1 0]	[0]	1
16				[1 0]	[0]
	− 8	0	8			0
17	− 6	1	1,6	[1 0]	[0]	1
17				[1 0]	[0]
	− 8	0	8			0
18	− 2	1	0	[1 0]	[0]	1
18				[1 0]	[0]
	−10	0	10			0
19	− 7	1	0	[1 0]	[0]	1
19				[1 0]	[0]
	−10	0	10			0
20	− 7	1	1	[1 0]	[0]	1
20				[1 0]	[0]
	−10	0	10			0
21	− 4	1	0	[1 0]	[0]	1
21				[1 0]	[0]
	−13	0	13			0
22	− 7	1	0	[1 0]	[0]	1
22				[1 0]	[0]
	−12	0	12			0
23	− 7	1	2	[1 0]	[0]	1
23				[1 0]	[0]
	−12	0	12			0
24	− 6	1	10	[1 0]	[0]	1
24				[1 0]	[0]
	−10	0	10			0
25	− 8	1	0	[1 0]	[0]	1
25				[1 0]	[0]
	−15	0	15			0

Окончание таблицы 7.1

1	2		3		4	5	6
26	− 8	1	1	[1 0]		[0]	1
26				[1 0]		[0]
	−15	0	15				0
27	− 2	1	2	[1	0]	[0]	1
27				[1	0]	[0]
	− 26	0	26				0
28	− 9	1	0	[1	0]	[0]	1
28				[1	0]	[0]
	−14	0	14				0
29	− 9	1	1	[1	0]	[0]	1
29				[1	0]	[0]
	−14	0	14				0
30	− 4	1	0	[1	0]	[0]	1
30				[1	0]	[0]
	− 29	0	29				0

Задача 7.2. Линейный дискретный объект управления задан уравнениями

x(k +1)= Φx(k)+ Γu(k)+ Θw(k), x R2 , u R1, w R1, y(k)= Ψx(k)+ Ξu(k)+ v(k), y R1, v R1 ,

здесь матрицыΦ, Γ, Ψ, Ξ, Θ приведены в таблице7.2, аw(k), v(k) – дискретные гауссовы белые шумы со следующими характеристиками

E[w] = E[v] = 0, E[w(k)∙wT(i)] = E[v(k)∙vT(i)] = δ(k, i),			E[v(k)∙wT(i)] = 0.
Требуется рассчитать:
а) ЛКГ-регулятор, минимизирующий среднеквадратичный критерий
качества (7.28) с матрицами
0,25	0	R =10 ;
Q =	,	R =10 ;
0	0,25

б) собственные числа матрицы Ac замкнутой системы.

				Матрицы Φ, Γ, Ψ, Ξ, Θ				Таблица 7.2
				Матрицы Φ, Γ, Ψ, Ξ, Θ

Номер						Матрицы
варианта		Φ			Γ	Ψ	Ξ	Θ
1		2			3	4	5	6
1		1,22	0,11		0,01	[1 0]	[0]	1
1						[1 0]	[0]
	−0,11		0,99	0,20				0
2		1,22	0,11	0,06		[1 0]	[0]	1
2					0,10	[1 0]	[0]
	−0,11		0,99		0,10			0

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]