Сборник задач по синтезу линейных динамических систем управления. Учебное пособие

Окончание таблицы 2.1

21

ГЛАВА 3. ОПИСАНИЕ СОСТОЯНИЯ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Впредыдущих параграфах изложена теория детерминированных линейных непрерывных систем управления. В данном параграфе приводится аналогичная теория для дискретного времени. Поскольку теория линейных дискретных систем тесно связана с теорией линейных непрерывных систем, многие результаты являются подобными. По этой причине пояснения будут даватьсятолькотам, где имеется существенное отличиеот непрерывного случая.

Дискретные системы можно разделить на два типа:

1) собственно дискретные системы, состояние которых известно только в строго определённые (дискретные) моменты времени (примером такой системы является ЭВМ);

2) дискретные системы, полученные в результате перехода от непрерывных моделей к дискретным, путем фиксации состояния непрерывной системы в отдельные (обычно разделённые интервалами одинаковой продолжительности) моменты времени.

Рассмотрим способы представления детерминированных линейных дискретных систем управления.

Впространстве состояний дискретный объект управления описывается

здесь k = 0, 1, … – дискретное время, а x(k), u(k), y(k), Φ, Γ, Ψ, Ξ имеют тот же смысл, что в непрерывном случае.

Для изображения структурной схемы дискретного объекта управления введём обозначения: z – оператор запаздывания на один шаг; обратным к нему будет оператор опережения z -1. Структурная схема объекта (3.1) представлена на рисунке 3.1.

где z – комплексная переменная (переменная преобразования Лорана); y(z) – вектор, состоящий из z-изображений переменных yi(k)

k=0

где u(z) – вектор, состоящий из z-изображений переменных ul(k)

22

состоящая из передаточных функций

Ξ

Рисунок 3.1 – Структурная схема дискретного объекта управления

Переход от представления (3.1) к (3.2) выполняется по формуле

Собственные числа матрицы Φ называются корнями характеристического полинома a(z) или полюсами МПФ H(z).

Непрерывный объект управления может быть записан в дискретном времени. Рассмотрим поведение непрерывной системы (1.3)-(1.4) в кванто-

tk

где Φ(tk+1, tk) – переходная матрица. Пусть сигнал u(t) на отрезке [tk, tk+1] имеет постоянное значение равное u(tk)2), тогда уравнение (3.7) принимает вид

x(tk +1 )= Φ(tk +1 ,tk )x(tk )+ Γ(tk +1 ,tk )u(tk ),

где

tk +1

Γ(tk +1 ,tk )= ∫Φ(tk +1 , τ)B dτ.

tk

2)данная гипотеза соответствует работе экстраполятора нулевого порядка.

23

получим дискретную модель вида (3.1) матрицы Φ, Γ, Ψ, Ξ которой рассчитываются по формулам[1, стр. 332]:

следующей теоремой.

Теорема 3.1 (В. А. Котельников, [1, стр. 358]). Произвольный сигналx(t), спектр которого ограничен сверху частотой fmax, может быть безошибочно восстановлен по последовательности значений x(t0 + k∙ΔT), если T выбран из условия

Как следует из(2.5), общая динамика системы складывается из динамики свободных движений и вынужденной динамики. Таким образом, правило выбора шага дискретизации принимает вид

∆T = min{∆T1 , ∆T2 },

здесь T1 – шаг, выбираемый по теореме Котельникова для свободной динамики, а T2 – шаг, выбираемый по теореме Котельникова для вынужденной динамики. Свободная динамика определяется собственными числами матрицы A, при этом правило для выбора T1 принимает вид

где Λ(A) – множество собственных чисел матрицыA. Вынужденная динамика определяется как свободной динамикой (матрица Φ(t, τ)), так и динамикой входного сигналаu(t).

Из всего изложенного следует, что между непрерывным и дискретным описаниями системы нет существенной разницы.

Дискретная модель перевёрнутого маятника.

Пример 3.1. В модели (1.18)из примера 1.1 выберем шаг дискретизации T = 0,01. В схеме дискретизации (3.8), (3.9) получаем модель

x(k +1)= Φx(k)+ Γu(k), y(k)= Ψx(k)+ Ξu(k),

24

Дискретная модель двухзвенного перевёрнутого маятника.

Пример 3.2. По формулам (3.8), (3.9) находим дискретную модель

двухзвенного перевёрнутого маятника (см. пример 1.2, формулу (1.20)), получаем:

25

Задача 3.1. Линейный непрерывный объект управления задан в ПС

26

Продолжение таблицы 3.1

27

Окончание таблицы 3.1

28

ГЛАВА 4. УСТОЙЧИВОСТЬ. ТЕОРЕМЫ ЛЯПУНОВА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ

4.1. Основные понятия об устойчивости. Рассмотрим векторное дифференциальное уравнение

Решение уравнения (4.1), соответствующее начальному условию y(t0)=y0 обозначим за y(t), а соответствующее начальному условию

y(t0 )= y0 за y*(t). Далее решения y(t) и y*(t) будем называть, соответственно,

невозмущённым и возмущённым.

Образуем разность

здесь

φ(x, t) = f(y*+x, t) – f(y*, t).

Функция φ(x, t) удовлетворяет условиюφ(0, t) = 0, то естьx ≡ 0 является тривиальным решением уравнения (4.2).

Нетрудно видеть, что решению x ≡ 0 соответствует невозмущённое решение y(t) уравнения (4.1).

Определение 4.1 [1, стр. 361]. Тривиальное решение x ≡ 0 называется устойчивым по Ляпунову, если для всякого произвольно заданного положительного числа ε, как бы мало оно ни было, найдётся другое положительное число δ(ε) такое, что при ||x(t0)|| < δ будет выполняться

||x(t)|| < ε

для любого t > t0. В противном случае x ≡ 0 неустойчиво.

Невозмущённое решение y(t) устойчиво по Ляпунову, если тривиальное решение x ≡ 0 устойчиво по Ляпунову.

Определение 4.2 [1, стр. 361]. Невозмущённое решение y(t) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и

lim x(t) = 0 ,

t→∞

при x(t0 ) S , где S – замкнутая выпуклая окрестность точки x = 0.

4.2. Теорема Ляпунова об устойчивости линейной системы.

Рассмотрим линейную стационарную автономную систему

Система (4.3) называется устойчивой, если устойчивы все её решения. Аналогично, система (4.3) называется асимптотически устойчивой, если асимптотически устойчивы все её решения.

29

Теорема 4.1 (А. М. Ляпунов, [1, стр. 367-368]). Для асимптотической устойчивости системы (4.3) необходимо и достаточно, чтобывсе собственные значения λi матрицыA лежали в левой полуплоскости, то есть выполнялось

Если хотя бы одно собственное значение λi находится в правой полуплоскости, то есть

Re(λi )> 0 ,

то система (4.3) неустойчива. Если собственные значения матрицы A не удовлетворяют ни одному из указанных двух условий, имеет место пограничный случай, требующий дополнительных исследований.

Второй способ исследования системы на устойчивость называется

методом функций Ляпунова.

Функция V(x), непрерывно дифференцируемая в некоторой окрестности X начала координат, называется функцией Ляпунова, если выполнены следующие условия:

1)V (x)> 0 , x X \ {0},

2)V (0)= 0,

Теорема 4.2 (А. М.Ляпунов, [1, стр. 364]). Еслив некоторой окрестности X решения x ≡ 0 автономной системы (4.5) существует функция Ляпунова V(x), то данное решение является устойчивым по Ляпунову.

Теорема 4.3 (А. М. Ляпунов, [1, стр. 364]). Если в некоторой окрестности X решения x ≡ 0 автономной системы (4.5) существует функция Ляпунова V(x) такая, что

то решение x ≡ 0 является асимптотически устойчивым.

Проблема исследования устойчивости методом функций Ляпунова состоит в том, что не существует общих процедур построения функций Ляпунова. Тем не менее, для некоторых классов систем разработаны так называемые «кандидаты» в функции Ляпунова. Так, например, для линейной однородной системы

(4.8)

где матрица P(t) подлежит определению. Первая производнаяфункции V(t, x) по времени равна

30