Сборник задач по синтезу линейных динамических систем управления. Учебное пособие

таким образом, dV/dt также является квадратичной формой.

По теореме 4.3 для асимптотической устойчивости системы (4.8) необходимо и достаточно, чтобы данная квадратичная форма была отрицательно определена. Воспользуемся свободой в выборе P(t) и будем искать

(4.10) и (4.11) получаем следующее матричное уравнение(дифференциальное уравнение Ляпунова, [1, стр. 366]):

Таким образом, поиск функции Ляпунова сводится к решению уравнения (4.12) относительно матрицы P(t). Если решение является положительно определённой матрицей при всех t>t0, то система (4.8) асимптотически устойчива.

Для линейной однородной системы (4.8) с постоянной матрицей A в качестве матриц P(t) и Q(t) можно выбрать постоянные матрицы. При этом для асимптотической устойчивости системы необходимо и достаточно,

чтобыматрицаP, являющаяся решениемалгебраическогоуравненияЛяпунова

была положительно определена. Доказано, что если такое решение существует, то оно единственно.

4.4. Устойчивость дискретных систем. До сих пор мы рассматривали системы в непрерывном времени, аналогичные результаты имеют место и в дискретном случае. Изложим основные результаты для дискретного случая без вывода.

Рассмотрим линейную стационарную автономную дискретную систему

Теорема 4.4 [1, стр. 318]. Для асимптотической устойчивости системы (4.14) необходимо и достаточно, чтобы все собственные значенияzi матрицы Φ по модулю были меньше единицы3), то есть выполнялось

3) иными словами, все zi должны лежать на комплексной плоскости внутри круга единичного радиуса с центром в начале координат

31

Если хотя бы одно собственное значениеzi по модулю больше единицы, то система (4.14) неустойчива. Если собственные значения матрицы Φ не удовлетворяют ни одному из указанных двух условий, имеет место

ФункцияV(x), определённая в некоторой окрестностиX начала координат называется функцией Ляпунова, если выполнены следующие условия:

1)V (x)> 0 , x X \ {0},

2)V (0)= 0,

Аналогично непрерывному случаю доказывается, что для асимптотической устойчивости линейной стационарной дискретной системы (4.14)

необходимо и достаточно, чтобы дискретное уравнение Ляпунова

с заданной положительно определённой матрицей Q в качестве решения имело положительно определённую матрицу S.

Задача нахождения квадратичной функции Ляпунова для непрерывных и дискретных систем именуется задачей квадратичной устойчивости.

Квадратичная устойчивость непрерывных и дискретных систем.

Пример 4.1. Определим, является ли система (1.26) из примера 1.3 квадратично устойчивой.

Решение. Выберем матрицу

следовательно, по критерию Сильвестра матрица P положительно определена. Таким образом, система (1.26) квадратично устойчива.

32

следовательно, по критерию Сильвестра матрица S положительно определена. Таким образом, система (4.19) квадратично устойчива.

Задача 4.1. Задана линейная непрерывная система в ПС

где матрицы A, B, C, D приведены в таблице 3.1 (см. задачу 3.1). Требуется решить непрерывное уравнение Ляпунова (4.13) с матрицей

Q = diag(1,1).

Задача 4.2. Задана линейная дискретная система в ПС

x(k +1)= Φx(k)+ Γu(k), y(k)= Ψx(k)+ Ξu(k),

матрицы Φ, Γ, Ψ, Ξ которой приведены в таблице 4.1.

Требуется решить дискретное уравнение Ляпунова (4.18) с матрицей

Q = diag(1,1).

33

34

35

ГЛАВА 5. УПРАВЛЯЕМОСТЬ И СТАБИЛИЗИРУЕМОСТЬ. НАБЛЮДАЕМОСТЬ И ВОССТАНАВЛИВАЕМОСТЬ

5.1. Проблема управляемости. Обратная связь по состоянию.

Рассмотрим систему

Трудность задачи управления состоит в том, что обычно число m управляющих воздействий меньше числаn переменных состояния. Возникает вопрос: всегда ли возможно перевести систему из начального состояния x0 в любое заданное состояние x1 за конечное время T при помощи ограниченного кусочно-непрерывного управления?

Система (5.1) называется полностью управляемой, если для любых x0 , x1 Rn и любого T > 0 найдётся ограниченное кусочно-непрерывное управление, переводящее систему из x(0) = x0 в x(T) = x1.

Теорема 5.1 (о полной управляемости) [1, с. 269]. Система (5.1) полностью управляема, тогда и только тогда, когда пара матрицA, B невырожденная, то есть

rank(Au )= n ,

где

Матрица Au называется матрицей управляемости. Далее пару матриц (A, B) удовлетворяющую (5.2) также будем называть управляемой.

Во многих задачах управление ищется в виде обратной связи по состоянию

Управления вида (5.3) называются статическими линейными регуля-

торами. Подставим управление (5.3) в уравнение (5.1) получаем следующую замкнутую систему управления

Рассмотрим следующий вопрос: пусть исходная система (5.1) неустойчива, всегда ли возможно выбором матрицы K обеспечить наперёд заданное расположение собственных чисел матрицы Ac? Если для системы (5.4) такая матрицаK всегда существует, то система (5.4) называетсястабилизируемой.

Теорема 5.2 (о размещении собственных чисел) [4, с. 116]. Пусть пара (A, B) управляема, тогда в (5.4) найдётся матрица K такая, что собственные числа матрицы Ac (то есть корни её характеристического полинома) совпадают с корнями заданного полинома aet(s).

Важным свойством регулятора (5.3) является то, что замкнутая система (5.4) имеет тот же порядок, что и исходный объект управления (5.1)

36

В дискретных системах линейная обратная связь имеет вид

Таким образом, матрица Ac замкнутой дискретной системы определяется по той же формуле, что и в непрерывном случае. Очевидно, что в дискретном случае справедливы те же результаты, что и в непрерывном.

5.2. Проблема наблюдаемости. Оценка состояния по выходу.

Состояние системы не всегда доступно измерению, часто единственная информация о системе предоставляется её выходом y. Попытка построить регулятор в форме обратной связи по выходу

u(t)= −Ky(t), K Rm×l ,

как правило, бывает неудовлетворительной [5, с. 50]. Поэтому для системы4)

где xˆ(t) – оценка состояния x(t) по наблюдаемым значениям выхода системы.

Управления вида (5.7) называютсядинамическимилинейнымирегуляторами.

Прежде чем переходить к конкретным способам построения оценок xˆ(t) рассмотрим принципиальную возможность восстановления состояния по

выходу. Система (5.6) называется ненаблюдаемой, если разным траекториям x(t) соответствуют одинаковые выходыy(t) (то есть найдутся такие x0 ≠ x′0 , что для

соответствующих траекторий x(t), x′(t) и выходов y(t), y′(t) будет y(t) ≡ y′(t)). В противном случае система называется полностью наблюдаемой. Полная

наблюдаемость означает, что можно точно восстановить значения x(t) по измеренным значениям y(t), y(1)(t), …, y(n-1)(t).

Теорема 5.3 (о полной наблюдаемости) [1, с. 273]. Система (5.6) полностью наблюдаема, тогда и только тогда, когда пара матриц AT, CT невырожденная, то есть

rank(An )= n ,

где

Матрица An называется матрицей наблюдаемости. Далее пару матриц (AT, CT) удовлетворяющую (5.8) будем называть наблюдаемой.

Отметим, что результаты, аналогичные теоремам 5.1, 5.2 имеют место и в дискретном случае.

4) в данном параграфе, для простоты рассуждений, рассматривается случай D≡0.

37

Далее, под регулятором в форме обратной связи по состоянию понимается регулятор вида

здесь g Rm – заданные (программные) сигналы, внешние по отношению

к синтезируемой системе (см. рисунок 5.1).

После замыкания объекта (5.6) регулятором (5.9) получаем следующие уравнения замкнутой системы

1)матрица K влияет на расположение корней характеристического полинома замкнутой системы, а V – не влияет;

2)при заданной K выбор матрицы V влияет на коэффициенты

передачи Hc(s).

Таким образом, процедуру расчёта матриц K и V регулятора (5.9) можно разделить.

По теореме 5.2, для полностью управляемого объекта,выбором матрицы K всегда возможно обеспечить заданное расположение корней характеристического полинома замкнутой системы.

Нахождение матрицы V (при известной K) сводится к решению матричного уравнения

а Vet Rm×m – заданная матрица желаемых коэффициентов передачи замкнутой

системы. Очевидно, что данное матричное уравнение не всегда разрешимо относительно искомой матрицы V.

Поскольку свойство устойчивости определяется расположением корней характеристического полинома, в следующих параграфах основное внимание уделяется расчёту матрицы K.

Пример 5.1. Проверить управляемость и наблюдаемость объекта управления (см. пример 1.2):

38

где

Решение. Порядок объекта (5.14) равен 4. По формуле (5.2) находим матрицу управляемости

её ранг равен 4. Следовательно, система полностью управляема. По формуле (5.8) вычисляем матрицу наблюдаемости

её ранг равен 4. Следовательно, система полностью наблюдаема.

Пример 5.2. Проверить управляемость и наблюдаемость дискретного объекта управления (см. пример 3.2):

40