Потоки в лесопромышленной логистике. Учебное пособие

Появление новых поставщиков и потребителей приводит к необходимости введения новых поставок от этих поставщиков к новым потребителям. Обозначим такие поставки через xk1k2 , xl1l2 , xr1r2 ,

а удельные приведенные затраты, соответственно, через Сk1k2 ,Cl1l2 ,Cr1r2 .

Поскольку номер k, l и r присваивается любому складу, постольку возможны два варианта сочетания номеров: k1 и k2, l1 и l2, r1 и r2. Пер-

вый – когда номера складов совпадают(xk1k1 , xl1l1 ,xr1r1 ), это означает,

что условие поставки осуществляется внутри одного склада. Второй случай отвечает условию, когда поставки идут от одного склада к

другому (xk1k2 , xl1l2 , xr1r2 ). Такие поставки в принципе недопустимы,

поскольку требуют перевозки леса с одного верхнего склада на другой, с одного сезонного склада на другой или с одного нижнего склада на другой. Для запрета таких поставок введем их блокировку высокими единичными стоимостями:

склада, то они бессмысленны, хотя и не требуют никаких затрат: Сk1k2 =Cl1l2 =Cr1r2 = 0 . В то же время такие поставки в данной задаче

имеют определенное экономическое содержание. Действительно, если на каком-то складе продукция адресуется самому себе, то это означает, что в соответствии с заданным критерием она никому не нужна и является излишней. Следовательно, оптимальная мощность такого склада может быть определена в виде выражений

Для предотвращения возможности встречных поставок заготовленной древесины с промежуточных складов обратно в лес типа xlk, xrk и xrl введем их блокировку с высокой единичной стоимостью:

Для получения сбалансированной закрытой модели линейного программирования введем фиктивный потребитель В4n+1 со спросом b4n+1, составляющим

Введение фиктивного потребителя В4n+1 в физическом смысле предполагает перенос соответствующих лесосечно-транспортных работ на следующий год. При этом появляются и фиктивные поставки xi, 4n+1; xk, 4n+1; xl, 4n+1 с соответствующими удельными приведенными затратами Сi, 4n+1; Сk, 4n+1; Cl, 4n+1; Cr,4n+1. При назначении последних необходимо исходить из экономического содержания задачи.

При необходимости полного освоения годового лесосечного фонда поставки типа xi, 4n+1 блокируется высокой единичной стоимостью Сi, 4n+1=М; в противном случае, т. е. при возможности оставить часть лесосек в рубку на следующий год, Сi, 4n+1 = 0.

Аналогично для условия, при котором на верхнем сезонном или нижнем складе на конец года не останется заготовленного леса, имеем Сk, 4n+1 = Cl, 4n+1 = Cr, 4n+1 = M, в противном случае Сk, 4n+1 =

= Cl, 4n+1 = Cr, 4n+1 = 0.

Для компьютерной реализации модели необходимо иметь предварительно подготовленную сводную матрицу исходных данных (см. табл. 2.1). Она содержит 16 условных частей (квадрантов).

В первом квадранте (табл. 2.2) содержатся грузопотоки древесины, связанные с заготовкой леса и ее складированием на верхнем складе. Единичная стоимость Cik (i = 1, m; k = 4i–3, 4i) включает удельные приведенные затраты на валку леса, обрезку сучьев, строительство трелевочных волоков и трелевку. Они дифференцированы по сезонам года (зима, весна, лето, осень). Все остальные поставки в этом квадранте блокированы высокой единичной стоимостью М для предотвращения грузопотоков с одной лесосеки (верхнего склада) на другую.

Второй квадрант (см. табл. 2.1) содержит удельные приведенные затраты при поставках леса с лесосек на сезонные склады. Такие поставки осуществляются обычно транспортом первой ступени при ступенчатой технологии лесотранспортного процесса и предназначены для создания сезонного запаса древесины у дорог постоянного действия. Единичные стоимости в этом квадранте содержат удельные приведенные затраты на валку леса, обрезку сучьев, трелевку леса, строи-

62

тельство технологических путей (волоков и усов) из i-й лесосеки, погрузки леса на подвижной состав транспорта первой ступени, транспортировки леса и его выгрузки на промежуточном сезонном складе. Единичные стоимости лесосечно-транспортных работ во втором квадранте Cil (i = 1, m; l = 1,4p) дифференцированы по сезонам года и разрабатываемым лесосекам.

Таблица 2.2

Матрица исходных данных лесных грузопотоков «лесосека – верхний склад» (квадрант 1 матрицы исходных данных)

с i-й лесосеки на r-й нижний склад. Единичные стоимости квадранта Cir(i = 1, m; l=1,4p) содержат удельные приведенные расходы на валку леса i-й лесосеки, обрезку сучьев, трелевку, строительство технологических путей, погрузку, перевозку, выгрузку леса, раскряжевку и штабелевку на нижнем складе. Стоимости дифференцированы по сезонам года и лесосекам.

Четвертый квадрант (см. табл. 2.1) содержит лесные грузопотоки при сортиментной заготовке леса в i-й лесосеке с доставкой автотранспортом во двор потребителя. Единичные стоимости этого квадранта Cij(i = 1, m; l = 1,4d) содержат удельные приведенные затраты на валку леса харвестером, обрезку сучьев, раскряжевку, строительство технологических путей для форвадера, перевозку сортиментов форвадером до дороги постоянного действия, погрузку леса на автотранспорт, перевозку леса и его выгрузку во двор потребителя. Для фик-

63

тивного потребителя В4n+1единичные стоимости Cij (i = 1, m; l = 1,4n+1) равны нулю, если условием задачи допускается неполное освоение годового лесосечного фонда в расчетном году, в противном случае единичные стоимости фиктивного потребителя в четвертом квадранте принимают значение сколь угодно большего наперед заданного числа М.

Пятый (табл. 2.3), десятый и пятнадцатый квадранты содержат грузопотоки между условными верхними складами Qk[1] и Qk[2], сезон-

ными складами Sl[1] и Sl[2] и нижними складами Nr[1] и Nr[2] . Как уже отмечалось, здесь допустимы только поставки внутри одного и того же склада, причем удельные приведенные затраты применительно к таким поставкам равны нулю. Одни и те же склады соответствуют клеткам, лежащим на главной диагонали этих квадрантов. Все остальные поставки здесь блокированы высокой единичной стоимостью М (матрицы с фиктивной диагональю).

Таблица 2.3

Матрица исходных данных лесных грузопотоков «верхний склад – верхний склад» (квадрант 5)

На главной «нулевой» диагонали пятого, девятого и пятнадцатого квадрантов в результате решения задачи будут указаны излишние

64

мощности по хранению и переработке лесоматериалов на верхних, сезонных и нижних складах. Следовательно, оптимальные мощности по складированию и переработке лесоматериалов на верхних Хk, сезонных Хl и нижних складах Хr должны быть уменьшены, по сравнению с их заданным верхним пределом, на величину излишних мощностей «нулевой» диагонали.

Шестой, седьмой и восьмой квадранты (табл. 2.4) содержат лесные грузопотоки с k-го верхнего склада на l-й сезонный, r-й нижний склад и j-му потребителю. Единичные стоимости шестого квадранта (табл. 2.4) Ckl (k = 1, 4m; l = 1,4p)включают удельные приведенные расходы на строительство технологических путей (усов) с k-го верхнего склада, погрузку, перевозку и выгрузку древесины на l-й сезонный склад.

Таблица 2.4

Матрица исходных данных лесных грузопотоков «верхний склад – сезонный склад» (квадрант 6)

l = 1,4d) включают удельные приведенные расходы на строительство технологических путей (усов) с k-го верхнего склада, погрузку, пере-

65

возку, выгрузку древесины на r-й нижний склад, раскряжевку и штабелевку лесоматериалов.

Единичные стоимости восьмого квадранта Ckj (k = 1, 4m; l = 1,4n) содержат удельные приведенные расходы на раскряжевку хлыстов в лесу на k-м верхнем складе, строительство технологических путей (усов), погрузку, перевозку леса автотранспортом и его выгрузку во двор j-го потребителя.

Следует отметить, что поставки с верхнего склада на сезонный, нижний склад или во двор потребителя возможны лишь с момента появления заготовленного леса на верхнем складе, что обеспечивается блокировкой таких преждевременных поставок высокой единичной стоимостью М (табл. 2.4 юго-западные части шестого квадранта).

Блокируются и поставки леса с верхнего склада на сезонный, нижний и во двор потребителю при продолжительности срока хранения леса в запасе на верхнем складе более нормативного, обусловленного интенсивностью потери качества древесины при хранении в открытых штабелях в теплое время года. Что касается единичных стоимостей фиктивного потребителя Ckj (k = 1,4m; j = 1,4n+1), то при условии допустимости некоторого остатка заготовленного леса на верхнем складе на следующий год Ckj = 0 (k = 1, 4m; l = 1,4n+1), в противном случае Ckj = М.

Девятый, тринадцатый и четырнадцатый (табл. 2.4) квадранты содержат встречные грузопотоки с сезонного склада на верхний, с нижнего склада на сезонный. Такие лесные потоки недопустимы, по-

Одиннадцатый и двенадцатый квадранты содержат лесные грузопотоки с сезонного склада на нижний и во двор потребителю.

Удельные приведенные расходы при перевозке леса с l-го сезонного склада на r-й нижний Clr (l = 1,4p; r = 1,4d) включают затраты на погрузку леса на сезонном складе, его перевозку автотранспортом, выгрузку на r-й склад, раскряжевку леса и его штабелевку.

Единичные приведенные расходы при перевозке леса с l-го сезонного склада во двор j-му потребителю будут содержать удельные приведенные расходы на раскряжевку хлыстов на сезонном складе, погрузку и перевозку леса автотранспортом с выгрузкой во двор j-му потребителю.

Фиктивные перевозки леса с сезонных складов до момента его фактической доставки на сезонный склад с лесосеки или верхнего

66

склада блокируются высокой единичной стоимостью. Блокируется также и долговременное хранение лесоматериалов на сезонных складах, что связано с потерей качества заготовленной древесины.

Единичные стоимости поставки леса с сезонного склада фиктивному потребителю В4n+1 блокируют при запрете на наличие остатка лесоматериалов на сезонных складах на конец планируемого года: Clj(l = 1,4p; j = 1,4n+1), в противном случае Сlj = 0.

Шестнадцатый квадрант матрицы исходных данных содержит грузопотоки с r-го нижнего склада j-му потребителю. Единичные стоимости здесь содержат расходы на погрузку древесины в вагоны, перевозку леса железнодорожным транспортом и его выгрузку во двор потребителю. При наличии альтернативной доставки леса с r-го нижнего склада во двор j-му потребителю автотранспортом используют известный прием условного разделения запаса леса на нижнем складе на запас к поставке железнодорожным и автотранспортом. Последнее несколько увеличивает размерность решаемой задачи, но позволяет оптимизировать объем транспортировки леса с нижнего склада потребителю по железной дороге и автомобилями.

Перевозки леса с нижнего склада до момента его фактической доставки с лесосеки, верхнего склада и сезонного склада блокируются высокой единичной стоимостью. Блокируется также и долговременное хранение лесоматериалов на нижних складах во избежание значительной потери качества заготовленной древесины.

Что касается единичных стоимостей поставки леса с r-го нижнего склада фиктивному потребителю В4n+1, то их значения принимают равными нулю. Это обеспечивает допустимость остатка лесопродукции на нижнем складе на конец года.

Предложенный метод преобразования рассмотренной модели и построения сводной матрицы исходных данных позволяет решить поставленную задачу алгоритмом транспортной задачи линейного программирования. Решение содержит сезонные (зима, весна, лето, осень) объемы заготовки и перевозки лесоматериалов, что обусловлено прежде всего необходимостью снижения размерности поставленной задачи и обеспечением непрерывности лесозаготовительных работ в каждой лесосеке.

Математическая модель задачи помесячного планирования лесных грузопотоков. Для решения задачи помесячной организации лесосечно-транспортных процессов при известном объеме сезонной заготовки метод динамического программирования. Последний осно-

67

ван на общей идее пошаговой оптимизации, проходимой в одном направлении «условно», а в другом «безусловно».

Сформулируем поставленную задачу помесячного планирования грузопотоков «поставщики-потребители» в терминах общей задачи динамического программирования. При этом в качестве поставщиков для верхних складов рассматриваются только лесосеки xil, запланированные в рубку в данном сезоне, при решении поставленной выше транспортной задачи линейного программирования. Для потребителя «верхний склад» в качестве поставщиков заготовленного леса будут грузопотоки с верхнего склада хil. Для потребителя «нижний склад» в качестве поставщиков рассматриваются грузопотоки с лесосеки хir, верхнего склада хkr и сезонного склада хlr. Наконец, для настоящих, а не условных потребителей лесопродукции, рассматриваются грузопотоки из лесосеки хij, верхнего склада хkj, сезонного склада хlj и нижнего склада хkj. Во всех случаях сущность задачи оптимального распределения известных сезонных грузопотоков по трем месяцам каждого сезона не имеется; изменяется лишь размерность поставленной задачи. Сформируем математическую модель поставленной задачи на примере потребителя «верхний склад».

Имеется запланированный в рубку в расчетном сезоне лесосечный фонд, включающий m лесосек с соответствующими запасами ликвидной древесины в лесосеке Qi (i = 1, m). Каждая лесосека характеризуется своими таксационными, грунтово-гидрологическими условиями, местоположением. Известны также требуемые помесячные объемы поставок заготовленной древесины на верхний склад Вj (j = 1, n).

Любая из лесосек может быть запланирована в рубку в любой из трех календарных месяцев сезона, однако, эффективность проведения лесосечно-транспортных работ, обусловленная прежде всего климатом региона, будет при этом различной. Проведение лесосечных работ в каждой лесосеке должно осуществляться в один прием, без календарных перерывов. К концу сезона все лесосеки должны быть освоены, а заготовленный лес стрелеван на верхний склад.

Предполагая, что i-я лесосека планируется в рубку в j-м месяце в объеме x(ji) кубометров ликвидной древесины, будем рассматривать

данное распределение как реализацию некоторого управления Uj. Таким образом, управление Uj состоит в том, что на j-м шаге в первой

лесосеке планируется в рубку x(ji) кубометров и т. д. Совокупность

68

В качестве критерия оценки качества выбора отводимого в рубку леса, т. е. реализуемых управлений, взяты суммарные сезонные приведенные расходы на лесосечные и лесотранспортные работы, которые зависят от всей совокупности управлений W = W(U1, U2, U3). Следовательно, задача заключается в выборе таких управлений U1*, U2*, U3*, в результате реализации которых за n шагов перейдет из начального состояния систем x(0) в конечное х(n), и при этом целевая функция примет начальное значение:

где xj–1 – исходное состояние систем на j-м шаге; uj – выбранное состояние систем на j-м шаге; Wj(xj–1, uj) – расходы на лесосечнотранспортные работы на j-м шаге; xij – объем заготовки леса в i-й лесосеке в j-м месяце; Qi – сезонный объем леса, заготавливаемый в i-й лесосеке; Bj – помесячный объем поставки заготовленной древесины на верхний склад в j-м месяце.

Из принципа оптимальности Белламана следует, что оптимальную стратегию управления можно получить, если предпоследний шаг, т. е. какая последняя лесосека осталась, и с учетом этого выбрать управление Un0 , обеспечивающее минимальное значение функции Wn (x(n–1), Un). Это управление, выбранное при определенных предположениях о том, как окончится предпоследний шаг, называется условнооптимальным.

Последовательно осуществляя описанный выше итерационный процесс, дойдем, наконец, до первого шага. На этом шаге нам известно, в каком состоянии может находиться система. Тогда уже не тре-

69

буется делать предположений о допустимых состояниях системы, а остается только лишь выбрать управление, которое является наилучшим с учетом условно оптимальных управлений, уже принятых на всех последующих шагах.

Чтобы найти оптимальную стратегию управления, т. е. определить искомое решение задачи, нужно теперь пройти всю последовательность шагов оптимального варианта, только на этот раз от начала к концу. В частности, на первом шаге в качестве оптимального управления U1* возьмем найденное условно-оптимальное управление U10 .

На втором шаге найдем состояние x1* , в которое переводит систему управления U1* . Это состояние определяет найденное условнооптимальное управление U20 , которое теперь будет считаться оптимальным. Зная U2* , находим x2* , а значит, определяем U3* и т. д. В результате этого находим решение задачи, т. е. минимально возможные приведенные расходы и оптимальную стратегию управления U*, включающую оптимальное управление на отдельных шагах U* (U1*,U2*,…,Un*).

Алгоритм помесячного планирования лесных грузопотоков. Известно, что не существует общего универсального алгоритма решения задачи методом динамического программирования. Каждая задача при ее реализации методом динамического программирования требует своего особого алгоритма.

Процедуру условной оптимизации будем разворачивать в обратном направлении от конца сезона к началу. Прежде всего произведем условную оптимизацию последнего шага. Для этого рассмотрим всевозможные допустимые состояния системы на предпоследнем шаге, когда не освоена лишь одна лесосека из общего их количества в сезонном лесосечном фонде. Предположим вначале, что это лесосека 1, тогда у нас нет выбора (управление вынужденное) и надо планировать эту лесосеку в рубку, определяя для нее соответствующие приведенные расходы на проведение лесосечно-транспортных работ. Предположив далее, что на предпоследнем шаге условной оптимизации осталась лишь лесосека 2, мы также вынуждены направлять ее в рубку, определив при этом соответствующую целевую функцию. Далее процесс повторяется по всем m отведенным в рубку лесосекам в рассматриваемом сезоне. Таким образом, мы получаем условнооптимальное управление на последнем шаге и соответствующее значение целевой функции при любом допустимом состоянии систем.

70