Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Пособие по математике для самостоятельной работы студентов 1-го курса направления 08.03.01 - «Строительство»

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

719 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>


Найти: (В(2 A + В)) x.

1.16. Пусть x = {x1 , x2 , x3 }, Ax = {x2 − x3 , x1 , x1 + x2 }, B x
	2
Найти: ( А	−	В) x.

1.17. Пусть x = {x1 , x2 , x3 }, Ax = {x2 − x3 , x1 , x1 + x2 }, B x
4
Найти: В	x.

1.18. Пусть x = {x1 , x2 , x3 }, Ax = {x2 − x3 , x1 , x1 + x2 }, B x
2
Найти: А	x.

1.19. Пусть x =					{x1 , x2 , x3 }, Ax = {x2 − x3 , x1 , x1 + x2 }, B x
Найти: ( 2		+		2
Найти: ( 2	А3	+		В		) x .

1.20. Пусть x = {x1 , x2 , x3 }, Ax = {x2 − x3 , x1 , x1 + x2 }, B x
	2			2
Найти: ( А	+	В			) x.

1.21. Пусть x = {x1 , x2 , x3 }, Ax = {x2 − x3 , x1 , x1 + x2 }, B x
2
Найти: В	x.

1.22. Пусть x = {x1 , x2 , x3 }, Ax = {x2 − x3 , x1 , x1 + x2 }, B x

Найти: ВАx.

1.23. Пусть x = {x1 , x2 , x3 }, Ax = {x2 − x3 , x1 , x1 + x2 }, B x

Найти: В(2 А		− В)x.

1.24. Пусть x = {x1 , x2 , x3 }, Ax = {x2 − x3 , x1 , x1 + x2 }, B x
	2
Найти: (В	+	А)x.

1.25. Пусть x = {x1 , x2 , x3 }, Ax = {x2 − x3 , x1 , x1 + x2 }, B x

Найти: 2( A В +				2 A) x.

1.26. Пусть x = {x1 , x2 , x3 }, Ax = {x2 − x3 , x1 , x1 + x2 }, B x
			2
Найти: ( А	− В)			x.

1.27. Пусть x = {x1 , x2 , x3 }, Ax = {x2 − x3 , x1 , x1 + x2 }, B x
		−
Найти: A(2 В		−	A) x.

1.28. Пусть x = {x1 , x2 , x3 }, Ax = {x2 − x3 , x1 , x1 + x2 }, B x

Найти: 2

В A x .

={x2 , 2x3 , x1} .


1.29. . Пусть x =								{x1 , x2 , x3 }, Ax = {x2 − x3 , x1 , x1 + x2 }, B x = {x2 , 2x3 , x1} .
Найти:			2	+
Найти:			(3 A	+		В) x.

1.30. Пусть x = {x1 , x2 , x3 }, Ax = {x2 − x3 , x1 , x1 + x2 }, B x = {x2 , 2x3 , x1} .
Найти:							2
Найти:			( В −	2 A			) x.
2. Линейный оператор														задан матрицей А в базисе										(e1 ,e2 ,e3 ).
2. Линейный оператор													A	задан матрицей А в базисе										(e1 ,e2 ,e3 ).
Найти	матрицу						этого					оператора				в	базисе		(e' ,e'			,e' ),	если		заданы
																			1		2	3
выражения базисных векторов														(e' ,e' ,e' )			через векторы базиса (e ,e ,e ).
														1	2	3								1	2	3
	2		1		0
2.1.		1 0			1					e′	=e −e +e ,e′					= −e +e −2e ,e′						= −e +2e +e .
		1 0			1		;			1		1	2	3 2			1	2	3 3			1	2		3
		1	−1		1
		1	−1		1
	2		1		0
2.2.		1 0			1			e′ = e −e +e ,e′ = −e +e −2e ,e′													= −e +2e +e .
		1 0			1	;			1		1		2	3 2			1	2	3 3			1	2		3
		1	−1		1
		1	−1		1
	2		−1			0
2.3.		−1 0				1			;	e′ =e −e +e ,e′						= −e +e −2e ,e′						= −e +2e +e .
		−1 0				1			;	1		1	2	3 2			1	2	3 3			1	2		3
		1	1
		1	1		−1
	0		2	3
2.4.		4 1						e′		=e −e +e ,e′					= −e +e −2e ,e′					= −e +2e +e .
		4 1		0 ;				1			1	2		3 2		1		2	3 3			1	2	3
		2	−1
		2	−1	−2
	1		1	0
2.5.		1 1		1				e′		=e −e +e ,e′					= −e +e −2e ,e′					= −e +2e +e .
		1 1		1	;			1			1	2		3 2		1		2	3 3			1	2	3
		0	2	1
		0	2	1
	1		1	3
2.6.		1	0	1		; e′			=e −e +e ,e′						= −e +e −2e ,e′					= −e +2e +e .
								1		1		2	3 2			1	2		3 3			1	2	3
	2		0	1
	0		3		2
2.7.		2	1							′					′					′	= −e +2e +e .
2.7.		2	1	−1 ;					e =e −e +e ,e = −e +e −2e ,e												= −e +2e +e .
										1		1	2	3 2			1	2	3 3			1	2	3
	0		−1		2
																										32

	0		1
2.8.		0	2

		−1	2

1 ;

e′ =e −e +e ,e′					= −e +e −2e ,e′				= −e +2e +e .
1	1	2	3	2	1	2	3	3	1	2	3

2			0	0
2.9.	1		−1	1	; e′ =e −e +e ,e′ = −e +e −2e ,e′ = −e +2e +e .
								1	1	2	3 2	1	2	3 3	1	2	3
	−1		2	1
	−1		2	1
	0		1	2
2.10.		4	0	1			; e′		=e −e +e ,e′			= −e +e −2e ,e′			= −e +2e +e .
								1	1	2	3 2	1	2	3 3	1	2	3
	−1		−2 1
	2		0	1
2.11.		1	1 1			;		e′	=e −e +e ,e′			= −e +e −2e ,e′			= −e +2e +e .
		1	1 1			;		1	1	2	3 2	1	2	3 3	1	2	3
		0	2
		0	2	−1
	0		0	1
2.12.		2	1					′			′			′	= −e +2e +e .
2.12.		2	1	−1 ;				e	=e −e +e ,e			= −e +e −2e ,e			= −e +2e +e .
								1	1	2	3 2	1	2	3 3	1	2	3
	−1		1	1
	3		0	1
2.13.		1	−1	0		; e′ =e −e +e ,e′						= −e +e −2e ,e′			= −e +2e +e .
								1	1	2	3 2	1	2	3 3	1	2	3
		2	1
		2	1	−1
	0		1	1
2.14.		−1				;	e′ =e −e +e ,e′ = −e +e −2e ,e′ = −e +2e +e .
		−1	0 1			;		1	1	2	3 2	1	2	3 3	1	2	3
		1	−1
		1	−1	1
	2		0	1
2.15.		0	1	−1			; e′		=e −e +e ,e′			= −e +e −2e ,e′			= −e +2e +e .
								1	1	2	3 2	1	2	3 3	1	2	3
		1	1
		1	1	−1
	2		1	0
2.16.		3	0	4 ;				e′	=e −e +e ,e′			= −e +e −2e ,e′			= −e +2e +e .
								1	1	2	3 2	1	2	3 3	1	2	3
	1		−1 2
	1		1	1
2.17.		2	0				′				′			′
2.17.		2	0	1 . e1				= e1 −e2 +e3,e2 = −e1 +e2 −2e3,e3 = −e1 + 2e2 +e3.
		0	−1
		0	−1	1

	1		0	2
2.18.		3	−1	0				′						′						′	= −e +2e +e .
2.18.		3	−1	0			; e		=e −e +e ,e						= −e +e −2e ,e						= −e +2e +e .
								1		1	2		3 2			1	2		3 3				1	2	3
	1		1	−2
	2		0	1
2.19.		3	0	2			; e′		=e −e +e ,e′						= −e +e −2e ,e′						= −e +2e +e .
								1		1	2		3 2			1	2		3 3				1	2	3
	−1		1	2
	1		0		2
2.20.		3	0	−1				; e′		=e −e +e ,e′						= −e +e −2e ,e′						= −e +2e +e .
								1			1	2	3 2			1		2	3 3				1	2	3
		1	−2
		1	−2		1
	1		2		2
2.21.		3	0	−1				;	e′ =e −e +e ,e′ = −e +e −2e ,e′														= −e +2e +e .
									1		1	2	3 2				1	2	3 3				1	2	3
		2	1
		2	1	−1
	2		1	2
2.22.		3	0	2	; e′ =e −e +e ,e′									= −e +e −2e ,e′						= −e +2e +e .
								1		1	2	3 2				1	2		3 3				1	2 3
		1	0	1
		1	0	1
	0		1	1
2.23.		1	1	0		; e′ =e −e +e ,e′								= −e +e −2e ,e′						= −e +2e +e .
								1		1	2		3 2			1	2		3 3				1	2	3
		2	1	1
		2	1	1
	1		3		0
2.24.		2	1	−1				; e′ =e −e +e ,e′								= −e +e −2e ,e′							= −e +2e +e .
									1		1	2	3 2			1		2	3 3				1	2	3
		0	2		1
		0	2		1
	2		1	1
2.25.		0	0		2			; e′		=e −e +e ,e′						= −e +e −2e ,e′						= −e +2e +e .
									1		1	2	3 2			1		2	3 3				1	2	3
		1	3
		1	3	−1
	0		2	1
2.26.		0	3		2			; e′		=e −e +e ,e′						= −e +e −2e ,e′						= −e +2e +e .
									1		1	2	3 2			1		2	3 3				1	2	3
		1	1
		1	1	−1

	1		1	0
2.27.		0	−1 1		;	e′ =e −e +e ,e′				= −e +e −2e ,e′			= −e +2e +e .
		0	−1 1		;	1	1	2	3 2	1	2	3 3	1	2	3
		2	3	1
		2	3	1
	1		1	2
2.28.		0	2	1	; e′		=e −e +e ,e′			= −e +e −2e ,e′			= −e +2e +e .
						1	1	2	3 2	1	2	3 3	1	2	3
	1		−1	0

2 1 −1

2.29. −1 3 1 ;0 1 0

e′ =e −e +e ,e′					= −e +e −2e ,e′				= −e +2e +e .
1	1	2	3	2	1	2	3	3	1	2	3

2.30. 0−1

2	1
2	0	;

1	1

e′ =e −e +e ,e′					= −e +e −2e ,e′				= −e +2e +e .
1	1	2	3	2	1	2	3	3	1	2	3

3.Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей.

	3		−2	2			3		−2 2				5 −4			4
			−1						−1
3.1.		2	−1	2	.	3.2.		2	−1	2	.	3.3.		2	1	2	.
		2	−2	3				2	−2 3					2 0		3
		2	−2	3				2	−2 3					2 0		3
	7		−4	4			2		0	−1			5		−2	2

3.4.		2	3	2	.	3.5.		1	1	−1 .		3.6.		0	5	0	.
		2	0 5											0	2	3
		2	0 5				−1 0			3				0	2	3

	13			2	−2			5		1	−1		7 −6			6


3.7.		6		9	−6		3.8. 2			4 −1 .			3.9. 2		3	2 .
						.
		2		−2	5						6
								−2 1					2 2			3
	15			0	0			3		−2 2			9 0			0


3.10.		2		13	−4		3.11. 0			3	0 .		3.12. 2		7	−4 .
						.
		2		−2	11					2	1			2	−2	5
								0
	2 1				−1			7		−6 6			4 1			−1
										−1						−2
3.13.			1	2	−1 .		3.14.		4		4	.	3.15.	2	3		.
			0 0		1				4	−2 5				1	−1	2

f (x )

	6		1 −1				7		2	−2				5		0 0
				−2						−2
3.16.		2	5	−2	. 3.17.			4	5	−2	.		3.18.		1	4	−1 .
		1	−1 4					0	0	3
		1	−1 4					0	0	3						−1 4
	7		−4	−2			19		2 −2					5		−2 −4
		−2		−2				−2		−6
3.19.		−2	5	−2		. 3.20.		−2	15	−6		.	3.21.		0	3	0	.
		0	0 9					0	−2 11						−2	2 7
		0	0 9					0	−2 11						−2	2 7

	4		−2 −1				3		0 0				3		1 −1
		−1				. 3.23.
3.22.		−1	3	−1		. 3.23.		1	2	−1 .		3.24.		2	2 −1 .
		1	−2 2					1	−1 2					−2 1		4
		1	−2 2					1	−1 2					−2 1		4
	6		−2	−1			9		−6		−6		4		1 0
							9		−6		−6		4		1 0
3.25.		−1	3			. 3.26.		−2		5	−2	. 3.27.		1	4	0
3.25.		−1	3	−1		. 3.26.		−2		5	−2	. 3.27.		1	4	0	.
		1	−2 4					−2		2	−13
		1	−2 4					−2		2	−13				1	3
													−1		1	3
	2		1 0				3 −1			−1			2		−1 0
														−1
3.28.		1	2	0	.	3.29.		0	2	−1 .		3.30.		−1	2	0		.
		−1	1 3					0	−1 2					1	−1 1
		−1	1 3					0	−1 2					1	−1 1

3.Функции на линейном пространстве

3.1.Линейные формы

Если каждому вектору x из линейного пространства Rn сопоставляется определенное число из этого поля, то говорят, что на линейном пространстве Rn задана числовая функция α =

векторного аргумента x .

Числовая функция векторного аргумента по определению не зависит от выбора базиса. Если пространство Rn – n–мерное, то эта функция сводится к функции n числовых переменных – координат

вектора	x.	Числовая функция	α = f (x ) называется линейной
формой, если выполняется условие			f (λ1 x1 + λ2 x2 ) = λ1 f ( x1 ) + λ2 f ( x2 ) ,
где –	x1 , x 2 − любые векторы из линейного пространства Rn ,
λ1 , λ 2	−	любые действительные числа.
			36

Пусть e1 , e2 ,..., en – базис n–мерного линейного пространства Rn ,

тогда для произвольного вектора x справедливо разложение по базису:

x = x1e1 + x2 e2 + ... + xn en	n
	= ∑ xi ei .	Подставим это		разложение в
	i =1
линейную форму и	воспользуемся		свойством	ее линейности:
f ( x ) = f ( x1e1 + x2 e2 ... + xn en ) = x1 f (e1 ) + x2 f (e2 ) ... + xn f (en ) .
Положим: a1 = f (e1 ) , a2	= f (e2 ) ,..., an = f (en ) , тогда:
f ( x ) = a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn ,		f ( x )
т.е. значения линейной формы			линейно выражаются через

координаты вектора x.

Рассмотрим преобразование коэффициентов линейной формы при

изменении базиса. Пусть			e1 , e2 ,..., en и l1 , l 2,..., l n			– базисы n–мерного
линейного пространства			Rn .	Векторы	l	j	выразим	через
						j
					n
базис e1 , e2 ,..., en : l j	= p1 j e1	+ p2 j e2		+ ... + pnj en =	∑ pkj ek .		Пусть	при

k =1

базисе e1 , e2 ,..., en : f ( x ) = a1 x1

f ( x ) = aɶ1 xɶ1 + aɶ2 xɶ2 + ... + aɶn xɶn ,

получаем, что:

+ ... + an xn , а при базисе l1 , l 2,..., l n :


где		ɶ	= f (l j ). Тогда
	ai = f (ei ), aj

				n
ɶ
ɶ	= f ( p1 j e1 + p2 j e2		+ ... + pnj en ) = p1 j a1 + p2 j a2 + ... + pnj an = ∑ pkj ak .
a j	= f ( p1 j e1 + p2 j e2
				k =1
Следовательно,		ɶ	= ∑ pkj ak .
Следовательно,		a j	= ∑ pkj ak .

Мы доказали теорему: при переходе от одного базиса к другому коэффициенты линейной формы преобразуется так же, как и векторы базиса. Коэффициенты линейной формы преобразуются при изменении базиса «ковариантно», т.е. так же, как векторы базиса.

3.2.Билинейные формы

Будем сопоставлять каждой паре векторов линейного пространства

определенное число.			Числовая функция f (x , y ) двух	векторных
аргументов x и	y	называется билинейной формой, если при каждом
фиксированном	y	она является линейной формой от x, а при каждом
фиксированном		x	она является линейной формой	от y .
				37

Или: f (α 1 x1 + α 2 x

2 ;

y ) = α 1 f ( x1 ; y ) + α 2

f ( x

2 ; y )

f ( x , β 1 y1 + β 2 y 2 ) = β 1 f ( x ; y1 ) + β 2 f ( x , y 2 ) .

Пусть e1 , e2 ,..., en

– базис, f (x , y ) – билинейная форма, тогда

f ( x, y ) = f ( x1e1 + ... + xn en , y1e1 + ... + yn en ) =

= x1 y1 f (e1 , e1 ) + x1 y2 f (e1 , e2 ) + xn yn f (en , en ) = ∑∑ x j yk f (e j , ek ).

j =1 k =1

Положим f (e j , ek

) = a jk

, тогда f ( x, y ) = ∑ ∑ a jk x j yk .

j =1 k =1

Числа a jk

являются

значениями билинейной

формы на

парах

базисных векторов.

a11a12 ...a1n

...a2n

a21a22

Квадратная

матрица

A = ...............

состоящая из этих

чисел,

...ann

an1an2

называется матрицей билинейной формы.

Если X = ...

Y = ...

, тогда

f ( x

, y ) = X

A Y .

При переходе от одного базиса к другому коэффициенты билинейной формы преобразуются ковариантно (т.е. так же, как базисные векторы).

Если P − матрица перехода от одного базиса к другому, то матрица билинейной формы в другом базисе выражается формулой:

Aɶ = PT A P.

3.3. Квадратичные формы

Пусть f (x , y ) – билинейная форма на линейном пространстве Rn .

Квадратичной формой на линейном пространстве		Rn называется
числовая функция	f ( x, x ) от вектора x Rn ,	получаемая из
билинейной формы	f (x , y ) заменой вектора y на вектор x .
		38

Общий	вид	квадратичной	формы	в	n-мерном
		n n
пространстве: f ( x, x ) = ∑∑ a jk x j xk .
		j =1 k =1
Матрица квадратичной формы симметричная, т.е. a jk					= akj .
Пример.		Записать	матрицу		квадратичной

формы: f ( x, x ) = 2 ( x1 )2 + 3 ( x2 )2 − 4 ( x3 )2 + 4x1 x2 − 6x1 x3 + 2x2 x3 .

Учитывая тот факт, что матрица квадратичной формы

симметрична, получаем, что, например,	a	= a =	4	= 2 . Тогда

	21	12	2

		2	2	− 3
матрица квадратичной формы:
матрица квадратичной формы:	A =	2	3	1	.
		− 3	1	− 4
		− 3	1	− 4

3.4. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов методом Лагранжа

Пусть в n – мерном пространстве квадратичная форма в некотором базисе имеет вид: f ( x, x ) = ∑ x j xk a jk . Мы будем говорить о переходе к

j , k

новым координатам

xɶi , в которых квадратичная форма будет

равняться

сумме

квадратов:

f ( x, x ) = λ1 xɶ12 + λ2 xɶ2

2 + ... + λn xɶn 2 .

Предположим,

что первый коэффициент a11

≠ 0 . Сгруппируем члены,

содержащие х

f = (a

x 2

+ 2a

x x

+ 2a x x

+ ... + 2a

x x ) + ...

11 1

12 1 2

13 1 3

1 n

Выделим

этом

выражении

полный

квадрат:

(a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn )2

+ f1 ( x , x ) , f1 ( x, x ) – это квадратичная

a11

форма, которая не содержит членов с х1. Выполним преобразование

a11x1 + a12 x2 + ... + a1n xn		= y1,
	x2	= y2 ,

координат:		Матрица преобразования Q
...........................................

	xn	= yn .

a11

a12 ...

a1n

1 ...

имеет вид: Q =

;

ее определитель:

= a1 1 ≠ 0 ,

...

... ...

...

0 ...

поэтому

числа

y i

называются

координатами вектора

в новом

базисе, полученном

из исходного

с помощью матрицы перехода

Q − 1 = P . Подставляя вместо

их выражения через

y , найдем

f ( x, x ) =

y12 + f1 ( x, x ) . К

получившейся форме

f1 ( x , x )

можно

a11

применить аналогичные преобразования и выделить ещё один полный квадрат и т.д. Таким образом, за конечное число преобразований мы придем к тому, что в некотором новом базисе квадратичная форма будет записана в виде суммы квадратов.

Рассмотрим случай, когда все элементы главной диагонали матрицы квадратичной формы ( a11 = a22 = ... = ann ) равны нулю. В этом случае можно использовать следующие преобразования координат:

x1 = y1 − y2 ,
	= y1 + y2 ,
x2	= y1 + y2 ,
	= y3 ,
x3	= y3 ,
..................

x	= y	n	.
n		n

Матрица этого преобразования невырожденная, т.к. ее

определитель

отличен

от

нуля,

тогда

получаем:

f = 2a

( y − y

)( y + y

) + ... = 2a

− 2a

+ ... ,

т.е. в

квадратичной

форме появились квадраты координат с отличными от нуля коэффициентами.

3.5. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов методом Якоби

Пусть f ( x, x ) – симметричная квадратичная форма на n-мерном линейном пространстве, тогда ajk = akj = f (ej , ek ) , т.е. ее коэффициенты зависят от выбора базиса.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]