Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Пособие по математике для самостоятельной работы студентов 1-го курса направления 08.03.01 - «Строительство»

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

719 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

нулевое решение: λ1= λ2= λ3=0, т. е. векторы a1 , a2 , a3 образуют систему линейно независимых векторов и, следовательно, составляют

базис.
Пример	1.3.	Найти	координаты	полинома
Р(t ) = 3 + 2(t ) − (t ) 2	+ (t )3 в			базисе

е1 = 1, e 2 = (t −1), е3 = (t −1)2 , e 4 = (t −1)3 , , ,.

Решение

Пользуясь формулой Тейлора, разложим полином Р(t ) по степеням

(t − 1) :

P(1) = 3 + 2 1−12 +13 = 5;

Р'(t) = 2 − 2t + 3(t)2 ; Р'(1) = 3;

Р''(t) = −2 + 6t; Р''(1) = 4;
Р'''(t) = 6;	Р'''(1) = 6.
Р(t ) = 5 + 3(t − 1) + 2(t − 1)2 + (t − 1)3 .
Откуда следует, что координатами данного полинома						Р(t ) в
заданном базисе будут числа 5, 3, 2, 1.
Пример	1.4.	В	базисе	е1 , е2 , е3	заданы	векторы
h1 = {1;1; 0} , h2	= {1; −1;1}	и	h3 = {−3;5; 6} ,	образующие базис,		а также

вектор х = {4;−4;5} . Найти координаты вектора х в базисе h1 , h2 , h3 .

Решение Выразим связь между базисами:


h = е + е ,
	1		1			2
		= е1 − е2					+ e3
h2		= е1 − е2					+ e3	,

	h = −3е + 5е − 6е .
	3				1		2	3
	3				1		2	3
Матрица перехода от базиса е1 , е2 , е3																к базису h1 , h2 , h3 имеет вид:
		1 1					−3											1 3		2
														−1			1
А =			1		−1		5	. Вычисляем:				А			=			6	−6	−8	;
А =			1		−1		5	. Вычисляем:				А			=			6	−6	−8	;
			0 1				−6										4	1 −1 −2
			0 1				−6											1 −1 −2
x1					1		3	2 4				2						0, 5
				1							1
x2			=			6	−6 −8		−4	=			8			=		2	.
x2			=	4		6	−6 −8		−4	=	4		8			=		2	.
				4		1	−1 −2		5		4		−2
x3						1	−1 −2		5				−2				−0, 5

Т.е. новые координаты вектора х в базисе h1 , h2 , h3 есть 0,5; 2 и –

0,5 и вектор х может быть представлен в виде: x = 0, 5h1 + 2h2 − 0, 5h3 .

Задачи для самостоятельного решения.

1. Найти координаты вектора x в базисе базисе (e1 , e2 , e3 ) :


	e′1 = e1 + e2									− 3e3 ,

1.1 x = {1, 4, −8}	e′2 = (3 / 4)e1 − e2 ,

	e′3 = −e1 + e2 − e3 .


	e′1 = e1 + e2									− 3e3 ,

1.2. x = {1, −4, 8}	e′2 = (3 / 4)e1										− e2 ,

	e′3 = −e1 + e2 − e3 .

	e′		= e	+ e			+ (3 / 2)e						,
	1		1			2						3

1.3. x = {2, 4,1}	e2′		= 3e1		− e2 ,

	e′		= −e		+ e					+ e .

		3		1				2			3
		3		1				2			3
	e′		= e	+ e					+ (4 / 5)e					,
		1	1				2						3
1.4. x = {5, −5, 4}	e2′ = −4e1						− e2 ,

		e′	= −e			+ e					+ e .
		3		1					2		3
	e′		= e	+ e					− 4e			,
		1	1				2				3
1.5. x = {7, −5,10} e2′ = (4 / 5)e1											− e2 ,

		e′	= −e			+ e					+ e .
		3		1					2		3
	e′		= e	+ e					+ 5e			,
		1	1				2				3
1.6. x = {1, 4, 8}	e2′ = (5 / 4)e1										− e2 ,

	e′		= −e			+ e					+ e .
		3		1					2		3
	e′		= e	+ e					+		(5 / 6)e			,
	1		1			2							3
1.7. x = {6 , 6 , 2} .	e2′ = −54e1								− e2 ,

		e′	= −e			+ e					+ e .
	3			1					2		3

(e' ,e' ,e' ), если он задан в

1 2 3

	e′	= e	+ e				− 5e ,
	1	1				2				3
1.8. x = {1, − 6, 6} .	e2′ = (5 / 6)e1							− e2 ,

	e′	= −e			+ e			+ e .
	3			1			2			3
	e′	= e	+ e				+ 6e ,
	1	1				2				3
1.9. x = {2, 5,10} .	e2′ = (6 / 5)e1							− e2 ,

	e′	= −e			+ e			+ e.
	3			1			2
	e′	= e	+ e				+ (6 / 7)e						,
	1	1				2						3
1.10. x = {7 , 7 , 2} .	e2′ = −6e1					− e2			,

	e′	= −e			+ e + e .
	3			1			2			3
	e′	= e		+ e			+ 4e ,
	1	1				2				3
1.11. x = {1, 3, 6}.	e2′ = (4 / 3)e1							− e2 ,

	e′	= −e			+ e			+ e .
	3			1			2			3
	e′ = e			+ e			+ 7e				,
	1	1				2				3
1.12. x = {1, 6 ,1 2} .	e2′ = (7 / 6)e1								− e2 ,

	e′ = −e				+ e				+ e .
	3			1			2			3
	e′	= e		+ e			− 8e				,
	1	1				2				3
1.13. x = {1, − 9, 9} .	e2′ = (8 / 9)e1								− e2 ,

	e′	= −e			+ e				+ e .
	3			1			2			3
	e′	= e		+ e			+ (4 / 3)e						,
	1	1				2						3
1.14. x = {6, 3,1}.	e2′ = 4e1				− e2 ,

	e′	= −e			+ e			+ e .
	3			1			2			3
	e′	= e		+ e			+ 8e ,
	1	1				2				3
1.15. x = {−1, 7,14}. e2′ = (8 / 7)e1									− e2 ,

	e′	= −e			+ e				+ e .
	3			1			2			3
	e′ = e				+ e			− 9e ,
	1			1	2					3
1.16. x = {3, − 1 0 ,1 0} . e2′ = (9 / 10)e1 − e2												,

	e′ = −e					+ e				+ e .
		3			1			2			3

	e′	= e + e + (5 / 4)e						,
	1	1			2		3
1.17. x = {8, 4,1}.	e2′ = 5e1 − e2 ,

	e′	= −e		+ e			+ e .
	3		1			2	3
	e′ = e		+ e			+ (1 / 2)e			,
	1	1			2		3
1.18. x = { 2 , 4 , 3} .	e2′ = −e1 − e2						,

	e′ = −e			+ e			+ e .
	3		1			2	3
	e′	= e	+ e			+10e ,
	1	1			2		3
1.19. x = {1, 9 ,1 8} .	e2′ = (10 / 9)e1 − e2 ,

	e′	= −e		+ e + e .
	3		1			2	3
	e′ = e + e + (6 / 5)e ,
		1			2		3
1.20. x = {1 0, 5,1} .	e2′ = 6e1 − e2 ,
		= −e + e					+ e .
	e′	= −e + e					+ e .
	3		1			2	3
	e′	= e	+ e			+ (2 / 3)e		,
	1	1			2		3
1.21. x = {1 2 , 3, − 1} .	e2′ = −2e1				− e2 ,

	e′	= −e		+ e			+ e .
	3		1			2	3
	e′	= e	+ e			+ 3e ,
	1	1			2		3
1.22. x = {1, 2, 4}.	e2′ = (3 / 2)e1						− e2 ,

	e′	= −e + e + e .
	3		1			2	3
	e′	= e	+ e			+ (7 / 6)e			,
	1	1			2		3
1.23. x = {− 1 2, 6 ,1} .	e2′ = 7e1			− e2 ,

	e′	= −e		+ e			+ e .
	3		1			2	3
	e′	= e	+ e			− 6e ,
	1	1			2		3
1.24. x = {1, 7 , − 7} .	e2′ = (6 / 7)e1						− e2 ,

	e′	= −e + e + e .
	3		1			2	3
	e′	= e	+ e			+ 2e ,
	1	1			2		3
1.25. x = {6, − 1, 3} .	e2′ = 2e1			− e2			,

	e′	= −e		+ e			+ e .
	3		1			2	3

	e′	= e		+ e			− e ,
	1	1				2			3
1.26. x = {−3, 2, 4}.	e2′ = (1 / 2)e1								− e2 ,

	e′	= −e			+ e				+ e .
	3			1			2		3
	e′	= e		+ e			− 7e ,
	1	1				2			3
1.27. x = {3, − 8, 8} .	e2′ = (7 / 8)e1								− e2 ,

	e′	= −e			+ e				+ e .
	3			1			2		3
	e′ = e + e					+ (9 /10)e				,
	1	1			2				3
1.28. x = {1 0 ,1 0, 7} .	e2′ = −9e1				− e2 ,

	e′	= −e		+ e			+ e .
	3		1			2			3
	e′ = e		+ e			− 2e ,
	1	1			2				3
1.29. x = {2, 6, −3}.	e2′ = (2 / 3)e1							− e2 ,

	e′	= −e + e						+ e .
	3			1		2			3
	e′	= e		+ e			+ (8 / 9)e				,
	1	1			2					3
1.30. x = {1, 9, − 5}	e2′ = −8e1 − e2 ,

	e′	= −e + e						+ e .
	3			1			2		3

2.Исследовать на линейную зависимость систему векторов.

2.1.ex,e−x,e2x на (−∞,+∞).

2.2.a ={3,2,−4} ,b ={4,1−2} ,c ={5,2,−3} .

2.3.1, tg x, ctg x на (0,π / 2)

2.4.a ={1,2,3,} ,b ={6,5,9} ,c ={7,8,9}

2.5.1 + x + x 2 ,1 + 2 x + x 2 ,1 + 3 x + x 2 , на ( − ∞ , + ∞ )

2.6.x ,1 + x , (1 + x ) 2 на ( − ∞ , + ∞ )

2.7.a ={0,1,1} ,b ={1,0,1} ,c ={1,1,0}

2.8.a ={2,1,0} ,b ={−5,0,3} ,c ={3,4,3}

2.9.1, e x , shx на ( −∞ , + ∞ )

2.10. e x , xe x , x 2 e x на ( −∞ , + ∞ )

2.11.a ={5,−6,1} ,b ={3,−5,−2} ,c ={2,−1,3}

2.12.a ={2,0,2} ,b ={1,−1,0} ,c ={0,−1,−2}

2.13.1 / x, x,1 на (0,1)

2.14.e x , sh x , ch x на ( −∞ , + ∞ )

2.15.a ={7,1−3} ,b ={2,2,−4} ,c ={3,−3,5}

2.16.a ={−2,1,5} ,b ={4,−3,0} ,c ={0,−1,10}

2.17.a ={1,−1,2} ,b ={−1,1−1} ,c ={2,−1,1}

2.18.cos x, sin x, tg x на (−π / 2, π / 2)

2.19.x, x 2 , (1 + x ) 2 на ( −∞ , + ∞ )

2.20.a ={2,−3,1} ,b ={3,−1,5} ,c ={1,−4,3}

2.21.a = {1, 2 , 3} , b = { 4 , 5 , 6} , c = { 7 , 8 , 9}

2.22.2 sin x, sin 2 x, cos2 x на ( −∞ , + ∞ )

2.23. 1, x , x 2 , (1 + x ) 2 на ( −∞ , + ∞ )

2.24.a = { 5 , 4 , 3} , b = { 3 , 3 , 2 } , c = { 3 , 1, 3}

2.25.a = {1,1, 1} , b = {1, 2 , 3} , c = {1, 3, 6}

2.26.1,π , sin x на ( −∞ , + ∞ )

2.27.cos x, sin x, sin 2x на (−π / 2, π / 2)

2.28.a = {1,1,1} , b = { 0 ,1,1} , c = { 0 , 0 ,1}

2.29.a = {3, 4 , − 5} , b = {3, 7 , − 2} , c = { 2 , − 1, 8}

2.30. e x , e2 x , e3 x на ( −∞ , + ∞ )

3. Установить, являются ли следующие множества линейными пространствами.

3.1.Множество всех геометрических векторов в трехмерном пространстве.

3.2.Множество всех n-компонентных векторов x = ( x1 , ..., xn ) .

3.3.Множество действительных чисел.

3.4.Множество действительных функций x = x (t ) действительного

аргумента, непрерывных на отрезке a ≤ t ≤ b с естественным образом введенными операциями сложения функций и умножения их на числа.

3.5.Множество всех многочленов степени, меньшей или равной n с естественным образом введенными операциями сложения многочленов и умножения их на числа.

3.6.Множество всех матриц размера m × n .

3.7.Множество всех геометрических векторов, коллинеарных фиксированной прямой.

3.8.Множество всех геометрических векторов, исходящих из начала координат, концы которых лежат на фиксированной прямой.

3.9.Множество всех геометрических векторов, удовлетворяющих

условию | x | > a , a > 0 – фиксированное число.

3.10.Множество всех сходящихся последовательностей.

3.11.Множество всех расходящихся последовательностей.

3.12.Множество всех функций, интегрируемых на отрезке [ a , b ] .

3.13.Множество всех преобразований поворота трехмерного пространства геометрических векторов вокруг фиксированной оси.

3.14. Множество действительных функций x = x (t )

действительного аргумента, дифференцируемых на отрезке a ≤ t ≤ b

с естественным образом введенными операциями сложения функций и умножения их на числа.

3.15. Множество функций x = x (t ) действительного аргумента,

образующих совокупность всех элементарных функций.

3.16. Множество функций x = x (t ) действительного аргумента,

образующих совокупность всех неэлементарных функций.

3.17.Множество всех геометрических векторов, исходящих из начала координат и расположенных в первом октанте.

В задачах 3.18–3.20 необходимо ответить на вопросы.

3.18.Может ли линейное пространство состоять из одного вектора?

3.19.Может ли линейное пространство состоять из двух векторов?

3.20.Может ли линейное пространство состоять из трех векторов? В задачах 3.21–3.30 установить, являются ли заданные множества

подпространствами в соответствующих пространствах. В случае положительного ответа найти их размерность.

3.21.Множество всех геометрических векторов в трехмерном пространстве, компланарных фиксированной плоскости.

3.22.Множество всех геометрических векторов в трехмерном

пространстве, удовлетворяющих условию x a = 0, a – фиксированный вектор.

3.23.Множество всех геометрических векторов в трехмерном пространстве, удовлетворяющих условию | x |= 1.

3.24.В трехмерном пространстве плоскости, проходящие через начало координат.

3.25.В трехмерном пространстве плоскости, не проходящие через начало координат.

3.26.В трехмерном пространстве прямые, проходящие через начало координат.

3.27.В трехмерном пространстве прямые, не проходящие через начало координат.

3.28. Найти базис и размерность		подпространства решений
3x1 + 2 x2 + 4 x3 + x4 + 2 x5 = 0,
однородной системы уравнений 3x1	+ 2 x2	− 2 x3 + x4 = 0,
	+ 2 x2	+ 16 x3 + x4 + 6 x5 = 0.
3x1

3.29. Найти базис и размерность	подпространства решений
x1 + x2 + x3 + 2x4 + x5 = 0,
однородной системы уравнений x1 − 2x2	− 3x3 + x4 − x5 = 0,
	− 2x3 + 3x4 = 0.
2 x1 − x2	− 2x3 + 3x4 = 0.

3.30. Найти базис и размерность	подпространства решений
x1 + x2 + x3 + 2x4 + x5 = 0,
однородной системы уравнений x1 − 2x2	− 3x3 + x4 − x5 = 0,
	− 2x3 + 3x4 = 0.
2 x1 − x2	− 2x3 + 3x4 = 0.

2.Линейные операторы

2.1.Понятие линейного оператора

Рассмотрим линейное пространство R n . Пусть каждому вектору

по некоторому правилу

сопоставляется вектор

образом

т.е. задана векторная функция y

= A x . Вектор y называется

вектора x .

Оператор

называется линейным, если выполняются равенства:

A( x1

+ x2 )

Ax1

+ Ax2

, A(λ x ) = λ Ax ,

где

x 1

и х 2

– любые

векторы

пространства R n , а λ

–

любые

вещественные числа.

Примеры линейных операторов.

1)В плоскости XOY поворот всех векторов на угол 90º.

2)		Оператор			ˆ	,	который каждый вектор	x преобразует в
					A
	,	т.е.	ˆ
вектор λ x			A x	= λ x .

2.2. Общий вид линейного оператора

Пусть

e , e ,..., e

– базис линейного пространства R n ,

в котором

задан линейный оператор

Подействуем линейным оператором на

A .

базисные векторы:

Ae1

= f1 = a11e1

+ a21e2 + ... + an1en ,

= f2

= a12 e1 + a22 e2 + ... + an 2 en ,

Ae2

.....................................................

= fn

= an1e1 + a2n e2 + ... + ann en .

Aen

Возьмем произвольный вектор x Rn

и разложим его по базису:

x = x1 e1 + x2 e 2

+ ... + xn e n .

Подействовав на вектор x

линейным

оператором, получим:

+ ...

Aх

A( x1e1

+ x2 e2

+ xn en ) =

A( x1e1 )

A( x2 e2 ) +

... + A( xn en ) =

= x1 Ae1

+ x2 Ae2 + ... + xn Aen

= x1 (a11e1

+ a21e2 + ... + an1en ) +

+ x2 (a12 e1 + a22 e2 + ... + an 2 en ) + ... + xn (an1e1 + a2 n e2

+ ... + ann en ) =

= e1 (a11 x1

+ a21 x2

+ ... + an1 xn ) + e2 (a12 x1 + a22 x2

+ ... + an 2 xn ) + ... +

+en

(an1 x1

+ a2 n x2 + ... + ann xn ) = у = y1e1 + y2 e2

+ ... + yn en .

В силу единственность разложения вектора у получим

= a

x + a

+ ... + a

x ,

= a21 x1 + a22 x2 + ... + a2 n xn ,

............................................

(2.1)

= a

x + a

n 2

+ ... + a

матричной

форме равенство

(2.1)

запишется

в виде:

Y =

(2.2)

где Y =

y2 ,

X =

...

Линейному оператору	ˆ	ставится в соответствие матрица
	A

a	a ...a
11	12 1n
A = a21a22 ...a2n		,		ˆ
................			называемая матрицей линейного оператора	A	в


an1an2 ...ann
базисе	e1 , e2 ,..., en .		В этой матрице первый столбец состоит		из

координат образа первого базисного вектора, второй столбец состоит из координат образа второго базисного вектора и т.д. Пусть теперь А – произвольная квадратная матрица, порядок которой равен размерности

	ˆ	где координаты вектора у
пространства. Положим y	= Ax ,	где координаты вектора у
вычисляются по координатам вектора		x с помощью формул (2.1) при

фиксированном базисе. Таким образом, формула (2.1) дает общий вид линейного оператора в конечномерном пространстве.

2.3. Действия над линейными операторами

Пусть

–

линейные

операторы,

действующие

пространстве

R n , имеющие

базис

e , e ,..., e

матрицы

В.

Операторы

, если

для

считаются равными A

= B

A x

B x

любого x Rn .

Суммой

операторов

называется оператор C

A +

B ,

= (

действующий по правилу: C x

A+ B) x

= Ax

+ Bx.

Проверим,

что

оператор

–

линейный.

Пусть

= λ 1 x 1

+ λ 2 x 2

. Тогда

C(λ1x1

+λ2 x2 ) = A(λ1x1 +λ2 x2 ) + B(λ1x1

+λ2 x2 ) = λ1 Ax1 +λ2 Ax2

+λ1B x1

+λ2B x2 =

ˆ ˆ	ˆ	ˆ	ˆ	ˆ
= λ1 ( Ax1 + Bx1 ) +λ2	( Ax2	+ B x2 ) = λ1C x1		+λ2C x2 .

Матрица оператора Сˆ равна сумме матриц

Произведением линейного оператора ˆ

A и B : С=А+В.

на число λ называется

линейный оператор	ˆ	ˆ		ˆ		ˆ
	B = λ A , действующий по правилу: B x				= λ A x .
При умножении линейного оператора			ˆ	на число λ		матрица
			A

линейного оператора умножается на это число.

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]