Пособие по математике для самостоятельной работы студентов 1-го курса направления 08.03.01 - «Строительство»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Белгородский государственный технологический университет им В. Г. Шухова

Ю. А. Феоктистов

ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ

ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Утверждено ученым советом университета в качестве учебного пособия для студентов направления 08.03.01 – Строительство

Белгород

2017

ВВЕДЕНИЕ Самостоятельная работа студентов (СРС) является одной из

важнейших составляющих образовательного процесса. Основным принципом организации самостоятельной работы студентов является комплексный подход, направленный на формирование навыков репродуктивной и творческой деятельности студента в аудитории, при внеаудиторных контактах с преподавателем, при домашней подготовке.

Задачами организации СРС являются: развитие у студентов навыков самостоятельной учебной работы и формирование потребностей в самообразовании; освоение содержания дисциплины во внеаудиторное время в рамках тем, выносимых на самостоятельное изучение студента; использование материала, собранного и полученного в ходе самостоятельных занятий, на практических занятиях, для эффективной подготовки к итоговым зачетам и экзаменам.

В данном пособии рассматриваются темы первого семестра – линейные пространства, евклидовы пространства, линейные операторы, функции на линейном пространстве, билинейные и квадратичные формы на евклидовом пространстве, которые выносятся для самостоятельного изучения. По всем темам приведен теоретический материал (с доказательством основных теорем) и подробные решения типовых примеров и задач, что должно способствовать лучшему пониманию и усвоению предмета. В конце каждой главы приводятся задачи для самостоятельного решения для повторения и закрепления материала.

Практикум может быть использован для организации самостоятельной работы студентов для других технических направлений дневной и заочной формы обучения, желающих лучше изучить математику.

3

1.Линейные пространства

1.1.Понятие линейного пространства

Пусть имеется множество R элементов x, y, z... . Предположим:

1)каждой паре x и y этого множества ставиться в соответствие третий элемент z , который называется их суммой: x + y = z .

2)Каждому элементу x и действительному числу λ ставиться в

соответствие элемент этого множества λx, называемый произведением элемента на число. Множество R называется линейным пространством, если установленные для его элементов x , y , z ... операции сложения и умножения на число подчинены следующим аксиомам:

4. Для любого элемента x существует противоположный элемент(−x),

такой, что x + (− x) = 0.

5.1 x = x.

6.(αβ )x = α (β x).

7.α (x + y) = α x + α y.

8.(α + β )x = α x + β x, здесь α , β − любые действительные числа.

Элементы x , y , z ... линейного пространства называются

векторами. В сформулированном определении линейного пространства числа α , β брались из множества вещественных чисел,

поэтому определенное пространство естественно назвать вещественным линейным пространством.

Примерами линейного пространства могут служить множество квадратных матриц 3-го порядка, множество полиномов степени не выше n, множество трёхмерных векторов и т.д.

1.2. Базис и размерность линейного пространства

Рассмотрим понятие линейной зависимости векторов. Пусть имеются векторы x, y,..., z... . Линейной комбинацией будем называть выражение вида α x + β y + ... + γ z.

4

Элементы x, y,..., z... пространства R называются линейно

зависимыми, если найдутся такие вещественные числа α , β ,..., γ , из которых хотя бы одно отлично от нуля, что линейная комбинация элементов x, y, ..., z... с указанными числами равна нулевому элементу

независимыми, если линейная комбинация является нулевым элементом пространства R лишь при условии α = β = ... = γ = 0 .

Для того, чтобы элементы x, y,..., z... пространства R были

линейно зависимыми, необходимо и достаточно, чтобы один из этих элементов являлся линейной комбинацией других элементов.

Всякая система векторов из линейного пространства называется базисом этого пространства, если:

1.Векторы линейно независимы.

2.Любой вектор линейного пространства является линейной

базисе e1 , e2 ,..., en . Каждый вектор может быть разложен по данному базису единственным образом.

Линейное пространство Rn называется n – мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов, а любая система из

(n + 1) векторов линейно зависима. Число n называется размерностью

пространства. Размерность пространства обычно обозначается символом dim R.

Теорема. Любая система из n линейно независимых векторов является базисом в n – мерном пространстве.

5

координата в некотором базисе равна нулю. Для трехмерного пространства – прямые и плоскости, проходящие через начало координат, т.е. содержащие 0 вектор.

Размерность подпространства – число k , удовлетворяющее следующим двум условиям: 1. Существует k линейно независимых

7

векторов, принадлежащих этому подпространству. 2. Любая система (k + 1) векторов линейно зависима.

Если k=n, то L совпадает с Rn .

Базис подпространства – система векторов этого подпространства L, для которых выполняются следующие условия:

1. Векторы системы линейно независимы.

2) Любой вектор подпространства L является линейной комбинацией векторов данной системы.

Например, в подпространстве L векторов с 1-ой координатой, равной нулю, базисом будут векторы e2 , e3 ,..., en , входящие в базис пространства. Размерность равна n −1. Заметим, что размерность подпространства равна числу базисных векторов.

Теорема. Пусть e2 , e3 ,..., ek – базис подпространства L R n , причем k < n . Тогда можно дополнительно выбрать векторы ek +1 , ek + 2 ,..., en ,

ибо если сложить две линейные комбинации векторов из M , а также если умножить линейные комбинации таких векторов на число, то в обоих случаях опять получится некоторая линейная комбинация из

векторы M . Например, в трехмерном пространстве линейной оболочкой векторов i и j будет подпространство, состоящее из векторов, лежащих в плоскости векторов i и j , т.е. плоскость ХОY.

Иногда линейная оболочка системы векторов x1 , ..., xk называется подпространством, натянутым на данную систему векторов.

Теорема. Размерность подпространства L ( M ) , натянутого на

систему векторов M , равному рангу этой системы.

Доказательство. Пусть ранг системы векторов равен r. Возьмем r базисных векторов этой системы, они линейно независимы. Всякий вектор линейной оболочки L ( M ) линейно выражается через конечное

число векторов системы M , каждый из которых, в свою очередь, линейно выражается через r базисных векторов. Следовательно, любой

базисных векторов подпространства равно размерности этого подпространства, поэтому размерность L ( M ) равна r.

Пример. Рассмотрим систему М четырех векторов i , j ,x, y ,

9

Задача свелась, таким образом, к решению системы:

Решая систему методом Гаусса, приведем ее к виду:

следовательно, эти векторы – линейно зависимые.

a1 , a2 , a3 образуют базис.

Решение

Векторы a1 , a2 , a3 образуют базис, если они линейно независимы.